不一樣的計算

張宏偉

[摘 要]以獨特的視角發掘了乘法筆算與空間圖形的新聯系，開發了另辟蹊徑的“形算結合的課程”，由“指算、畫線算、方格算、十字相乘法和‘鋪地錦”五個項目課程的研究學習，讓學生學會了用“形”來表達算理和算法，實現了“數與代數”和“圖形與幾何”在筆算乘法中的有效整合，開闊了學生的視野，改變了學生對計算的觀念和情感，讓學生感受到計算也可以很形象、很好玩、很美麗、很優雅。

[關鍵詞]兩位數乘兩位數；形算結合；指算；畫線算；方格算；十字相乘法；鋪地錦

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）17-0006-03

一、緣起

去年四月底，青島城陽實驗小學邀請我去上一堂高年級的研討課，負責人詢問我：“要上一節什么課？需要學校做哪些準備？”我回復：“看看學生想上什么課吧?！辈⒄埶麄兇覍λ哪昙墝W生進行調查：

“有位北京的老師來和你們一起上一節數學課，請選出你想上的內容：A.應用題；B.圖形、位置與方向；C.統計；D.計算；E.量的計量；F.數的認識?！?/p>

四（6）班42名學生，選擇計算的僅1人。于是，我決定上一節計算課，以期改善學生對計算的認識。

二、課堂

1.回應調查

我出示調查單：“同學們，我們班只有1人選了計算課。為什么那么多同學都不喜歡計算？”

學生的意見：“計算很枯燥?！薄昂軟]意思?！薄安恍⌒木统鲥e?！薄熬褪侵貜偷厮闼闼悖瑹o聊死了?！薄疤焯於家?，很煩的。”……

“聽你們這么一說，計算真是不太討人喜歡呢。唯一喜歡計算的同學是哪位？請你談談喜歡的理由。”

這個學生還沒站起來，就有人說道：“他就計算好，別的都不行。”

我說：“能先讓他談談自己的想法嗎？”

但是，那個學生再也不愿意說了。

我鼓勵他：“計算是數學最重要的基礎，計算好，其他內容你一定也能學好?！保ㄎ覜_著那個學生豎起大拇指，但是看得出，其他同學并不認同）

“計算不是你們認為的這個樣子，它其實是非常奇妙、非常有意思的。只是你們不讀書，不研究，不知道，才這樣認為的。信嗎？”

沒想到全班學生竟異口同聲拉著長音答道：“信——”我知道他們口是心非，只不過是習慣使然，配合我罷了。

2.“袖里乾坤”——指算

“我們先來做個游戲，你們隨便說一個個位大于十位的兩位數?！保ㄎ野蚜邆€學生說的兩位數，都寫在黑板的一側）

“把這些數乘9。不用口算，不用筆算，不用計算器，我也能算出來，你猜我會怎樣算？”

學生一臉懷疑和茫然。

“我用手指頭就能算，信嗎？”

學生：“信！”（他們很驚奇，但確是真相信。）

“初次見面，就對我這么相信！真感動！”

“請全體起立，我們一起‘指算27乘9！”

“雙掌并列；個位是7，就從左起，彎下第七指；十位是2，就從左起數出兩根手指捏在一起。最后，這樣看結果：幾根手指捏在一起就是幾百；百和彎下的那指之間有幾根手指，就是幾十；最右側剩下幾指就是幾。因此從手上就可以看出27×9=243?！保▓D略）

學生立刻自發地用筆算或口算的方法進行驗證，看到得數確實是243后，都露出難以置信的驚奇表情，要求我再講講怎么彎指計算，于是我帶著學生又一起指算了69×9（圖略）。

學生又陸續算了幾個，盡皆正確，他們無不欣喜若狂，嘖嘖稱奇：“手竟然是天生的乘法計算器?！?/p>

忽然有個學生喊出來：“ 53×9算不出來?！?/p>

“是的，只能是個位比十位大的兩位數。”

“不乘9，乘其他數可以嗎？”有學生問道。

“你試試?！?/p>

學生很快發現做不到，有些遺憾和失望。

我說：“別急，古代有很多手指算法，因為古代衣袖很長，一般都是手不出袖，悄悄計算，所以將這種指算稱為‘袖里乾坤。你們回去可以上網查查，很好玩的。我這里還有一種對任何乘法計算都能用的奇妙方法，想不想試試？”

學生毫不懷疑，興奮地說：“好！好！好！”

3.“穿針引線”——畫線算

“這個奇妙的方法叫畫線算，有知道的嗎？”（學生皆搖頭）

“那請同學們先出個題。”

我以32×12為例，和學生一起操作：

先畫線來表示32（左邊畫三條線表示十位的3，右邊畫兩條線表示個位的2）。如果你手里有足夠的小棒或者筆，也可以用它們代替線，用手擺一擺。（個別學生選擇了擺）（如圖1）

再畫12，和剛才方向相反，十位和十位對應，個位和個位對應，覆蓋在剛才畫的線的上面。（如圖2）

然后，把所有的交點按照各自的位置分成三個區域。（如圖3）

最后把從左到右三個區域的點依次寫下來，即3、8、4，積就是384。（如圖4）

學生用筆算驗證后，非常吃驚，紛紛試著計算剛才自己提出的乘法算式。這樣，在試算中就解決了“每個分區的點數滿幾十就向前一個區域進幾”的問題。幸福、喜愛、興奮寫在學生臉上。

4.“圈地運動”——方格算

我說：“我這里還有一種計算方法呢！我稱它為‘圈地運動，也叫方格算，想不想試一試？”

這時的學生個個都充滿了激情，摩拳擦掌，準備嘗試。

我先讓他們從方格中圈出32乘12，然后試著將這些方格劃分成幾個能很快口算出結果的區域，最后用算式表達自己的操作過程，分享自己計算經過和思路。學生研究的結果，不僅出現了圖5所示的兩種情況，還出現了諸如：10×10+10×10+10×10+30×2+2×2+10×2的情況，可謂“百家爭鳴，異彩紛呈”。

我引導學生把算式和圖形進行比較，讓學生感悟數形之間的內在聯系：“32是我們圈的這塊地的什么？12是這塊地的什么？384又是這塊地的什么？”

因為四年級學過面積計算，學生即刻就想到了長方形的面積公式：長×寬=面積。

5.“團結互助”——十字相乘法

我讓學生觀察因數和積的關系（如圖6）后，研究如何用因數的4個數字計算出3、4和8。有了方格算的經驗，學生很快就發現了其運算規律（如圖7）。

此時，學生都自覺舉例驗證，并在試用中解決了十字相乘中的進位問題。

最后，我引導學生把十字相乘法和畫線算法進行比較（如圖8），學生很快就發現它們之間的內在聯系和本質的一致性，感受到計算的和諧、一致與美麗。

三、余音

“同學們，時間過得真快，馬上就要下課了，我們就要告別了，我想了解一下，現你對計算有什么看法？”

“沒想到計算還有這么多方法！”

“計算原來也很有意思。”

“這樣比光算好玩多了。”

“我喜歡這樣計算。”“我開始喜歡計算了。”

……

我自豪地問：“怎么樣，張老師聰明吧？”

學生無限欽佩地表示：“聰明！”并自發地給我鼓起了掌！

“錯了，張老師一點都不比你們聰明，張老師只是比你們多看了一點關于計算的書，多上網查了資料而已。只要平時多閱讀有關計算的書籍，多做些計算的研究，你們就會發現，計算并不是原來認為的樣子，它一點都不枯燥，而是很好玩、很有趣、很美妙。”

“最后，我推薦一本書，書的名字叫《算得快》，作者劉后一，推薦的理由是：讓你的計算超過計算機！”

“另外，我還打印了介紹‘格子算法的資料（見附件）。格子算法與方格算法名字相近，但絕對不同。資料里詳細介紹了格子算法的操作流程，請你課后仔細研究，研究出來后，教教你的父母和附近的伙伴。你們也可以登錄這個網站看有關視頻：http：//v.ku6.com/show/DywgC8YQZf9GSED_.html。”

四、續貂

兩、三位數乘兩位數的筆算，傳統的課程編排一般不會突破“數與代數的領域”，只在“計數單位的累積，以及數與數的關系”上進行運作，并依此對算理進行理解和闡釋，對算法進行規范和演繹。我在研究本部分內容時，發現了乘法筆算與空間圖形的新聯系，開發了另辟蹊徑的“形算課程”，引入了指算、畫線算、方格算、十字相乘法和鋪地錦，讓學生學會用“形”來表達算理和算法，打通了“數與代數”和“圖形與幾何”的關系，實現了這兩個區域在筆算乘法中的有效整合，為學生打開了計算的另外幾扇窗，改變了學生對計算的陳舊認識，開闊了學生的視野，讓學生感受到計算也可以很形象、很好玩、很美麗。