從“學(xué)會”走向“會用”

王月秋

[摘 要]在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，乘法分配律是教學(xué)的重點與難點，因為對于學(xué)生來說，徹底理解乘法分配律的原則與算理是件很困難的事情。通過分析學(xué)生在運(yùn)用分配律進(jìn)行計算時常出現(xiàn)的錯誤，采用提高鞏固和拓展延伸等措施進(jìn)行教學(xué)，從而提高教學(xué)效率。

[關(guān)鍵詞]乘法分配律；難點；策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）17-0020-03

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。”其中， 運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。

乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個非常重要的運(yùn)算定律，合理使用乘法分配律可使計算簡便，大大提高學(xué)生的計算效率，提升學(xué)生的計算能力。由于乘法分配律的變式很多，一直都是學(xué)生掌握不好的內(nèi)容。

【錯例1】概念理解不清，造成丟三落四。

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【錯例2】為了湊整而湊整，生搬硬套。

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【錯例3】對乘法分配律理解錯誤，造成計算錯誤。

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【錯例4】混淆乘法分配律和乘法結(jié)合律。

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在課堂上幾乎所有的學(xué)生都表現(xiàn)出能夠理解和運(yùn)用乘法分配律，獨(dú)立作業(yè)時怎么會出現(xiàn)這五花八門的錯誤呢？我陷入了思考：

①乘法分配律到底難在哪？如何突破這些難點呢？

②是我的教學(xué)存在問題嗎？

③如何在教學(xué)之初改進(jìn)，并在錯誤發(fā)生之后進(jìn)行矯正呢？

基于此，我對自己以往的教學(xué)經(jīng)歷及學(xué)生各種類型的錯誤進(jìn)行一一分析，同時深入研究教材的編排和知識的結(jié)構(gòu)，得出學(xué)生在乘法分配律應(yīng)用計算過程出現(xiàn)錯誤的原因有以下幾方面。

第一，復(fù)雜。乘法分配律不但符號復(fù)雜，形式也復(fù)雜。乘法交換律“a×b=b×a”和乘法結(jié)合律“（a×b）×c=a×（b×c）”都只有一種乘號運(yùn)算符號，不管怎么變，運(yùn)算符號始終不會變，而且等式兩邊的數(shù)字個數(shù)都不變。乘法分配律“（a+b） ×c=a×c+b×c”含有加號和乘號兩種運(yùn)算符號，且等號兩邊的符號、數(shù)字的個數(shù)及運(yùn)算順序也不完全一致。這樣，形式上的復(fù)雜多樣，給學(xué)生的理解和記憶增添了難度。

第二，抽象。乘法交換律和乘法結(jié)合律直觀而形象，學(xué)生幾乎看著公式就能準(zhǔn)確描述出定律。乘法分配律文字語言表述為“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加。”既是“分別相乘”，又是“再相加”等關(guān)鍵詞語，學(xué)生覺得抽象又復(fù)雜，難以歸納，造成記憶負(fù)擔(dān)。

第三，多變。乘法交換律和乘法結(jié)合律在應(yīng)用中模式固定，最多是交換一下位置，改變一下運(yùn)算順序。如25×7×4×9=（25×4）×（7×9）=100×63=6300。乘法分配律在應(yīng)用上變化多樣，有基本應(yīng)用的，如36×55+64×55=（36+64）×55、（125+41）×8=125×8+41×8；還有各種變式應(yīng)用的，如99×35、38×99+38、26×36+13×28……這樣在“變”中找“不變”，又在“不變”中找“變”，對學(xué)生提出了很高的要求。

如何才能讓學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用乘法分配律，為學(xué)生將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)呢？

一、在比較中贏得探究

探究學(xué)習(xí)是學(xué)生不斷經(jīng)歷猜想、驗證、思辨的過程。在探究學(xué)習(xí)時，教師提供的探究學(xué)習(xí)材料是學(xué)生進(jìn)行有效探究的前提和基礎(chǔ)。

以往的教學(xué)都是從一道題目入手（如學(xué)校購買校服，上衣每件35元，褲子每條25元，買3套，一共需要多少元？），引導(dǎo)學(xué)生得到35×3+25×3和（35+25）×3，進(jìn)而讓學(xué)生觀察、舉例、總結(jié)、應(yīng)用。這樣的教學(xué)素材缺少了對內(nèi)在運(yùn)算意義的引導(dǎo)，忽視了對乘法分配律和結(jié)合律的聯(lián)系和比較，使得學(xué)生的注意力只放在算式的形式結(jié)構(gòu)變化上，而這樣的記憶猶如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干擾就立刻散架，甚至無法復(fù)原。為此，我重新設(shè)計學(xué)習(xí)材料。

1.引入

題目：城西文具店有練習(xí)本2箱，每箱4包，每包有25本，一共有多少本練習(xí)本？

（1）學(xué)生列式后計算：（2×4）×25或2×（4×25）。

（2）這里運(yùn)用了什么運(yùn)算定律？

（3）乘法結(jié)合律中，什么變了，什么沒變？

（4）括號中的乘法能不能變成加號？為什么？

引導(dǎo)學(xué)生明確：“2”表示“2箱”，“4”表示“4包”，“25”表示“每包25本”，單位不同，不能相加；乘法結(jié)合律中的乘號不能變成加號。

2.展開

題目：城西文具店有練習(xí)本2包，每包25本。又采購了同樣的練習(xí)本4包，現(xiàn)在一共有多少本練習(xí)本？

（1）學(xué)生列式后計算：25×（2+4）或25×2+25×4。

（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2+4）這個算式中加號能否改成乘號？為什么？

引導(dǎo)學(xué)生明白：“2”表示“2包”，“4”表示“4包”，單位相同，可以相加。“2+4”表示一共有6包練習(xí)本；這里的加號不能變成乘號。

小結(jié)：2×4和2+4雖然只是一個小小的運(yùn)算符號不同，但代表的是2和4之間完全不同的兩種關(guān)系。“2×4”表示“2箱一共8包”，“2+4”表示“2包加上4包，一共有6包”。

（3）如果把25×（2+4）中的括號去掉，得到25×2+4，這里發(fā)生了什么變化？結(jié)合每個數(shù)表示的意義和數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解釋。

小結(jié)：要正確解答這道題，括號不能去掉。

3.進(jìn)一步討論

（1）25×（2+4）要去掉括號應(yīng)該寫成什么？寫一寫并解釋為什么。

（2）同樣是去括號，為什么25×（2+4）=25×2+25×4中，“25”出現(xiàn)了兩次，而2×（4×25）=2×4×25中，“25”只出現(xiàn)了一次？

（3）比較2×4×25和25×（2+4），每個數(shù)表示的意義是什么？2×4和2+4表示的意義相同嗎？

4.歸納總結(jié)

（1）25×（2+4）=25×2+25×4算式的左右什么變了，什么沒變？為什么可以這樣變？

（2）用自己的話說說算式的特點，再用自己喜歡的符號表示出來。

（3）揭示概念：這個運(yùn)算定律叫作“乘法分配律”。

……

兩組探究材料的設(shè)計，注重數(shù)學(xué)材料內(nèi)在的層次性和邏輯性，由學(xué)生已經(jīng)掌握的乘法結(jié)合律的特點和內(nèi)在意義引出乘法分配律，再將兩種運(yùn)算定律結(jié)合具體事例進(jìn)行了解釋和反復(fù)對比，最后在形式結(jié)構(gòu)上進(jìn)行比較。比起以往的教學(xué)，雖然沒有過多地強(qiáng)調(diào)外在形式的簡單記憶，但無論算式的外在形式怎樣變化，學(xué)生的思維始終圍繞運(yùn)算的意義進(jìn)行理解。

二、在理解中掌握內(nèi)涵

很多學(xué)生能熟記公式，但不會靈活運(yùn)用。因此，乘法分配律的教學(xué)既要注重外形結(jié)構(gòu)，更要注重內(nèi)涵本質(zhì)：a×（b+c）=a×b+a×c中，為什么等式兩邊是相等的？

1.從解決問題的角度

根據(jù)以上問題情境可知，25×（2+4）是先求練習(xí)本的總包數(shù)，再求練習(xí)本的總本數(shù)；而25×2+25×4是分別求原來2包和又采購了4包的本數(shù)，再求總本數(shù)，因此得出25×（2+4）=25×2+25×4。

2.從乘法意義的角度

以25×（2+4）=25×2+25×4為例，左邊表示6個25，右邊表示2個25加4個25，一共是6個25，因此等式兩邊是相等的。

3.從數(shù)形結(jié)合的角度

如圖1，求大長方形的面積，既可直接用“長×寬”，也可分別求出兩個小長方形的面積后再相加，因此可得25×（2+4）=25×2+25×4。

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圖1

4.從乘法豎式計算的角度

兩位數(shù)乘兩位數(shù)，如24×12，即求12個24是多少，等于10個24與2個24的和，列式為24×（10+2）=24×10+24×2=240+48=288。（如圖2）

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圖2

讓學(xué)生思考：三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式是不是也符合這個乘法分配律？如150×12，學(xué)生會順著前面的思路，很快得出150×12就是求12個150是多少，就是等于10個150加上2個150，即150×12=150×10+150×2=1500+300=1800。這樣，通過乘法豎式計算就能幫助學(xué)生有效鞏固乘法分配律的算理和算法。

三、在多變中更易鞏固

利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡單計算時，由于題目形式多樣，學(xué)生出現(xiàn)計算錯誤是在所難免的，尤其是在學(xué)習(xí)乘法分配律之后，如何靈活使用運(yùn)算定律，常常讓許多學(xué)生苦惱。為此，引入“一題多解”題型，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。要注意的是，練習(xí)題要少而精，要富有思維含量，從而點燃學(xué)生思維的火花，達(dá)到鞏固知識的目的。

題目：簡便計算：25× 。你能將題目補(bǔ)充完整嗎？

生1： 25×44=25×4×11=1100。

生2： 25×44=25×（40+4）=25×40+25×4=1000+100=1100。

生3： 25×99=25×（100-1）=25×100-25×1=2475。

生4： 25×102=25×（100+2）=25×100+25×2=2525。

生5：25×4+75×4=4×（25+75）=4×100=400。

生6：25×32×125=（25×4）×（8×125）=100×1000=100000。

生7：25×56+50×22

=25×56+（50÷2）×（22×2）

=25×56+25×44

=2500。

……

不同的學(xué)生就有不同的補(bǔ)充方法。接著，要求學(xué)生給這些題分一分類，并說一說是根據(jù)什么分類的。

在這一環(huán)節(jié)中，不同層次的學(xué)生可以量力而為，即使是學(xué)困生也能寫出一兩題。由于題目是學(xué)生自己設(shè)計的，這使得他們在計算時更加投入，應(yīng)用運(yùn)算定律也更加仔細(xì)，教學(xué)效果顯著。

四、在練習(xí)中拓展延伸

要讓學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的知識解決實際問題。教師就需要對教材的內(nèi)容進(jìn)行再加工，從而加深學(xué)生對知識的理解，拓寬學(xué)生的思路，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

1.初步拓展

出示：57×102-57×2。

引導(dǎo)： 57×102與57×2各表示什么意思？57×102-57×2又表示什么意思？ 100個57是怎樣得到的？

這樣，學(xué)生很快就明白此題怎樣算才比較簡便，很快就解答出來了。在此基礎(chǔ)上教師可繼續(xù)提問：“這一個題目與我們前面學(xué)的有什么不一樣？你準(zhǔn)備怎么辦？”

學(xué)生在練習(xí)本上舉例驗證，并相互交流，最后提煉出a×b-a×c =a×（b-c）。

2.總結(jié)延伸

出示：79×67+79×31+79×2。

有了前面的基礎(chǔ)，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)a×m+b×m+c×m= （a+b+c） ×m。

引導(dǎo)：難道只限于三個數(shù)嗎？四個數(shù)、五個數(shù)，或者更多呢？

學(xué)生紛紛動手嘗試，通過激烈的討論，得出了：

a×m+b×m = （a+b） ×m

a×m+b×m+c×m= （a+b+c） ×m

a×m+b×m+c×m+d×m= （a+b+c+d） ×m

……

通過這樣的引申，學(xué)生在深刻理解乘法分配律內(nèi)涵與外延的同時，感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力，從而產(chǎn)生了濃厚的求知欲。

五、在堅持中培養(yǎng)習(xí)慣

學(xué)生在作業(yè)中常出現(xiàn)各種錯誤，如125×25×8×4=（125×8）+（25×4）=1000+100=1100。學(xué)生看到紅紅的大叉后往往會說：“我為什么把‘×寫成了‘+呢？”

可見，要提高作業(yè)的正確率，良好的作業(yè)習(xí)慣是保障。教師除了要求學(xué)生認(rèn)真審題、書寫規(guī)范之外，還要培養(yǎng)學(xué)生在進(jìn)行簡算時，結(jié)合遞等式“每一步都相等”的特點，一步一回頭，每做一步都要思考變化的依據(jù)是什么，前后是否相等，這樣做有沒有道理，等等。通過這樣的習(xí)慣培養(yǎng)，學(xué)生的解題思路以及自我審查、自我反思等能力都會得到不斷提高。長此以往，不僅學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣得到培養(yǎng)，學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性及邏輯性也會得到發(fā)展。

最后，“教無定法”，只要我們有心，一切問題都不是問題。我相信：教育從心開始！

（責(zé)編 金 鈴）