為有源頭活水來

康鑫

[摘 要]數學概念的建立是解決數學問題的前提，學生在運用數學概念進行推理、判斷后要得出正確的結論，首先要正確地掌握概念、理解概念。以北師大版數學六年級下冊“正比例”的教學為例，通過體會概念的發生之源、探究抽象的經驗之源、解決問題的應用之源，讓學生對數學概念既知其然，又知其所以然。

[關鍵詞]整體認知；豐厚情境；過程抽象；應用之源

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）17-0025-02

正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。而忽略了概念的背景或源頭，學生的概念學習如無源之水、無本之木。如何才能從“源頭”出發，幫助學生理解數學概念？下面就從北師大版六年級下冊“正比例”的教學說起。

一、忌空中樓閣，重知識源頭

所謂源頭，就是指教學的起源。正、反比例是重要的函數關系，要讓學生能夠體會函數思想，就需要豐富的教學情境。為此，教材在“正比例”之前安排了“變化的量”，意在拓寬學生理解正、反比例的背景。“正比例”這一課時，教材首先給出了正方形的周長與邊長以及面積與邊長的表格，讓學生研究面積與邊長以及周長與邊長變化中的相同和不同后，再結合對路程與時間的變量關系的研究，抽象出正比例的意義。不難看出，對于前一課時“變化的量”，學生雖然體會到生活中存在著大量的相互依存的變化的量，但沒有對變化量的變化方向進行研究與分類，而“正比例”這一課呈現的只是變化方向一致的變量，沒能很好地讓學生明晰知識的源頭，這樣就會對學生后續學習反比例有一定的影響。為了讓學生從整體上認知正、反比例，讓學生體會知識發生之源是很有必要的。

【片斷一】研究變化的量，找相同與不同

課件呈現五個表格的信息。

師：上節課我們學習了變化的量，知道研究變化的量可以從三個方面入手，請說說是哪三個方面？

生1：有哪些變化的量。

生2：是怎么變化的。

生3：是怎么描述的。

師：老師又給大家帶來了一些變化的量，請你們從這三個方面思考，然后在小組內說一說這些表格中的量有什么相同的地方，又有什么不同的地方。

學生思考后得出：

相同：都有兩個變量，一個量變化，另一個量也變化。

不同：變化的情況有的相同，有的不相同。

問題：你能根據變量的變化情況將表A、B、C、D、E進行分類嗎？

生4：我們分了三類。一類是表A、B、C，每個表中的兩個變量都是“一個量增加，另一個量也隨著增加，一個量減少，另一個量也隨著減少”；第二類是表D、E，每個表中的變量都是“一個量增加，另一個量反而減少，一個量減少，另一個量反而增加”。

師：大家的意見老師也同意，可以說表A、B、C中兩個量的變化方向都是一致的，表D、E中兩個量的變化方向都是相反的。今天這節課，我們先來研究變化方向一致的兩個量的關系。

學生借助研究“變化的量”獲得的經驗，在研究五個有代表性的表格信息后，明晰了互相依賴的變化量的變化方向有的是一致的，有的是相反的，體會到變化的量多而復雜，但有規律，體會到本課學習內容源自生活中變化的量，體會到探究的方法來自之前習得的研究經驗。

二、忌形式抽象，重過程抽象

概念形成的過程就是抽象的過程。教師要引導學生在操作活動或分析、比較等思維活動中，體會不同材料的共性變化，逐層抽象出概念的共同屬性，再通過解釋、思辨等學習活動掌握概念的本質。教材在研究“正方形周長與邊長、面積與邊長的變化規律”后，并未揭示正比例的意義，而是在研究了“路程與時間的變化規律”后，才描述正比例的意義。可見，讓學生經歷抽象過程的意圖是明顯的，路徑是清晰的，即通過在相同中找不同、不同中找相同，歸納正比例的意義，學習路徑是直線形的。為此，教師可在把握正、反比例的整體上，引導學生經歷找相同與不同、找不同與相同的數學化過程，進而抽象出正比例的意義。這樣的抽象過程更豐厚，更利于學生理解所學概念的本質。與此同時，通過反思總結，學生更能深刻體會到，探究知識的經驗之源能為學習后續知識積累豐富的活動經驗。

【片斷二】研究變化的量，找不同與相同

1.深入分析，找出不同

師：表A、B、C中的兩個量變化方向都是一致的，它們的變化有什么不同嗎？

學生討論后得到：

表A中兩個量的變化好像沒有規律。

表B中周長總是邊長的4倍。

表C中面積除以邊長的得數不一樣。

師（追問）：表B中，周長為什么總是邊長的4倍？表C中，面積除以邊長的得數為什么不固定？

生1：正方形周長等于邊長乘4，所以周長與邊長的比值一定，而正方形面積等于邊長乘邊長，面積除以邊長等于邊長，因為邊長在變，所以得數不固定。

2.研究中再感知

一輛汽車以90千米/時的速度行駛，行駛的路程與時間如下所示。把下表填寫完整，你能從表中發現什么？

F.汽車行駛的路程與時間的變化情況

學生獨立填表后交流。

生2：路程隨時間變化而變化，變化方向相同，而且路程與時間的比值一定，也就是速度一定。

3.比較中找相同，揭示意義

師：比較表F和表B中變量的變化情況，有什么相同的地方？

生3：都有兩個變量，變化方向一致，兩個變量的比值都是一定的（不變的）。

師：像這樣的兩個量的關系就是正比例關系，這樣的兩個量成正比例。

4.解釋變化的量，建構意義

師：周長和邊長成正比例嗎？為什么？表F的路程和時間成正比例嗎？為什么？正方形面積和邊長成正比例嗎？為什么？怎樣的兩個量成正比例？

師（歸納）：兩個變量如果變化方向一致，比值一定，它們就是正比例關系。

師：你是怎樣理解這里“正”的意思的？這里的“比例”在哪能找到？

生4：“正”就是變化方向一致，比例有很多，比如表B中，4∶1=8∶2，8∶2=16∶4，1∶4=2∶8，1∶2=4∶8。

5.回顧反思，積累研究經驗

師：我們是怎樣研究正比例關系的？

生5：先分析變量的變化規律，然后通過比較找出它們的相同之處。

學生通過研究變化方向一致的變量的變化規律，經歷了五個層次的學習思維活動后，逐步抽象出正比例的意義，體會到概念的抽象性。

三、忌偏重技能，重內化理解

數學概念形成的核心是理解。教材的第一課時安排了兩道練習題，這兩道練習題都是通過表格呈現兩個變量的幾組對應的數據，讓學生判斷兩個量是否成正比例，并說出原因。其用意是讓學生通過在具體情境中的判斷進一步理解正比例的意義，而不是急于落實技能目標。由于正比例知識屬于主觀性知識范疇，讓學生經歷知識的形成過程、理解知識的本質尤為重要，但體會知識產生的必要性不可或缺。只有明白了知識在哪里用、怎么用，學生對概念的本質才能做到真正理解，才有利于學生數學素養的形成與發展。因此，概念課的教學既要設計幫助學生內化理解的練習，也要設計源自生活的問題，讓學生切實體會學習的價值。

【片斷三】練習應用，內化本質

師：我們已經理解了正比例關系，現在來解決一些問題吧！

1.學校科學小組在同一時間、同一地點進行觀察實驗，測得竹竿的高與竹竿的影長如下表所示：

（1）說一說竹竿的影長與竹竿的高的變化關系。

（2）寫出竹竿的影長與竹竿的高的比，有什么發現？

（3）竹竿的高與竹竿的影長是不是成正比例？為什么？

2.出示PPT：

學生閱讀、思考、討論、交流。

學生觀察后能夠發現同時同地竹竿的高和竹竿的影長的關系，再次理解了正比例的意義，為反比例的學習與研究打下了堅實的基礎。在解釋與探究測量金字塔高度的原理與方法的過程中，學生能感悟學習正比例的必要性，體會數學知識的應用之源，達到了對正比例既知其然，更知其所以然的教學效果。

（責編 童 夏）