從原型到模型：讓學生經歷幾何抽象的過程

◎李 芳

從原型到模型：讓學生經歷幾何抽象的過程

◎李 芳

抽象出射線、直線的幾何特征，理解其本質含義對學生而言并不容易。教學過線段、射線、直線相關內容的教師往往會有這樣的經驗：學生會誤認為線段就是一根毛線，射線就是激光筆發射出的光線，認為黑板上所畫的直線長度是有限的，當學習射線、直線的時候，二年級學過的線段又有所遺忘。因此，在教學中，有必要對線段的相關知識做簡要復習，并進一步幫助學生認識線段、射線、直線的幾何模型本質。那么如何選擇合適的線段、射線、直線的幾何原型？在具體教學中，怎樣從原型抽象為模型又不為原型所困惑？

一、選擇幾何原型，需要從學生出發，以史為鑒

（一） 要尊重兒童認知規律和生活經驗

中高年級小學生思維呈現的特點是從具體形象思維向抽象思維過渡，他們的抽象邏輯思維依然需要與感性經驗相聯系。

蘇教版教材在二年級“認識線段”的設計上，就采取了用一段拉直的毛線幫助學生提取線段的典型特征；到了四年級“認識射線”時，又借助了激光的形象，幫助學生認識射線。對于直線，則采用了延長線段兩個端點的方法幫助學生來認識。這樣處理確實有其合理性。但在實際教學中，學生對于直線的認識往往存在困難。因此，有必要為學生提供生活中一些近似直線的原型，幫助學生理解直線的特征。

（二） 要以數學史的發展為藍本

當今的數學界普遍認為，幾何發源于古代埃及，是埃及人在丈量土地的需要中產生的。而幾何中線段、射線、直線的幾何雛形則伴隨著人類繪畫的產生而產生，古人用近似線段的短線表示物體的邊沿，用近似射線的線條表示太陽發出的光線，用近似直線的線條來表示地平線。可以說，沒有的現實雛形，就沒有幾何圖形的誕生。但線段、射線、直線卻并非這些線本身。根據量子物理學的發展可知，光子在宇宙中的運行并非沿直線運動的，而是會發生偏折的。因此，線段、射線、直線在現實世界中是無法給出精確定義的。從本質而言，幾何學是人腦推理的產物，數學是對客觀世界的理性、抽象思考的產物，我們畫下來的線段、射線、直線只是線段、射線、直線的一種表示方式。

（三） 要做出合理解釋

鑒于以上兩點，我借鑒了教材中射線的原型，并采用了海天交界線，地平線的直線原型。在這里需要解決一個問題，幾乎所有的學生都知道地球是圓的，也知道海和大地都是有邊際的，這個素材要如何使用呢？一方面需要借助學生的感性經驗，很多學生都看過大海，借助海天交界線、地平線的圖片，幫助學生喚起感性認識。另一方面，播放古人對海天交界線、地平線的認知：古人認為天圓地方，并在繪畫中用一條貫穿畫面的線表示海天交界線和地平線。通過這樣的方法，幫助學生形象的認識直線，并為進一步抽取直線的本質特征做準備。使用這個素材，還有一個好處，就是幫助學生理解海平線、地平線并非直線本身，激光筆射出的光線、拉直的毛線也并非射線、線段本身。學生能更容易地區分什么是數學中的線段、射線、直線，什么是線段、射線、直線的表達方式。

二、運用幾何原型，需要從多方面著手，破立融合

教師依次展示三組生活中的圖片，讓學生分別表示出看到的共同的線。

生活中線的形象我的表示（盡量簡潔）①兩手拉直一段毛線弓的弦②激光燈射向空中的光線激光筆射向天空的光線③天與海的交界線天與地的交界線

（一） 學生獨立畫一畫、寫一寫

教師巡視的過程中用紅筆在作品旁邊進行編號。請學生小組交流，說說自己為什么這樣畫。在交流過程中，教師請A、B、C三組匯報的學生做好發言準備。

抽象需要建立在一組原型的基礎上，在這里，每一組至少要給出兩組原型。同時要給學生充足的時間進行獨立思考和操作。把按幾何圖形抽象程度的不同從低層次的抽象到高層次的抽象編寫序號，例如A①A②……這樣在進行介紹時，材料的呈現就是有序的。

（二） 全班交流

按照順序，分別交流自己畫出的線是什么，并說一說自己為什么這么畫。

（A組學生用的筆是粗細不同的，有水彩筆，也有鉛筆。）

生：我畫的是線段，這里是線段的端點。

師：（追問） 同學們用的筆顏色不一樣，粗細也不一樣，但為什么畫出來的都是線段呢？

生：因為都有兩個端點，直的。

師：線段能量出長短嗎？

生1：能，因為有兩個端點。

師：線段可以無限延伸嗎？

生：不能，因為再長的線段，只要有端點就截止了，不能無限延伸下去。

師：同學們能用動作或手勢表示線段嗎？

（學生用各種動作和手勢表示線段。）

師：掌聲送回A組同學。

（A組回的同時，B組上臺展示。B組學生按照次序展示自己的作品，并說說自己為什么這樣畫。）

生1：（畫了一個點表示激光筆，并畫了一束光，旁邊標注：無限長） 這個點就是激光筆，這束光就是激光。

師：還能再簡潔一些嗎？

（生1沒想出來，教師請生2展示。生2畫一條射線，畫到紙的邊沿。）

生2：我覺得可以畫到紙的邊，因為激光可以射到很遠的地方。

（學生們表示同意）

師：（追問） 畫到紙的盡頭了，你想表達什么？

生2：還可以繼續畫下去。

師：你能比劃一下嗎？

（生2繼續比劃，劃出課桌）

生：還可以畫出教室，畫出地球，畫出宇宙。

生3：（畫了一條射線，旁邊寫了無限長） 我雖然畫的很短，但是它是無限長的。

師：（追問） 不寫字，能看出無限長嗎？

生：能！只要不畫另一個端點就行了。

師：這樣的線，給它起個什么名字呢？

生：射線。

師：同學們能用動作或手勢表示射線嗎？

（有的學生放平胳膊，用一端握拳，一端放平來表示射線。也有的學生用手指指向天空來表示射。請B組回的同時讓C組有序地擺。C組畫之前教師再次展示大海的PPT大圖。）

生：哇！真美啊！

師：這條海天交界線，大家也畫出來了，一起來欣賞吧。

生1：（畫的直線到了紙的邊沿） 這是我畫的線，我覺得海天交界線和地平線都是直的，沒有邊際的，所以我用一條直的線來表示。

生2：（畫出一條直線，標注無限長）我覺得一張紙是畫不下的，所以我沒有畫滿，標注了無限長。

師：如果讓你繼續畫你會怎么做？

生2：繼續向紙的外面畫，還可以繼續畫，畫出教室，畫出中國，還能畫出宇宙呢！可是沒有那么大的紙。

師：你這輩子能畫完嗎？

生2：畫不完，無窮無盡的。

生3：（畫出一條線段，并將兩端延伸）我覺得直線就是把線段延伸得到的，只要不給直線的兩端點上端點，就能表示一直延伸下去。

師：問下面的同學，你們有什么問題嗎？

生4：我畫的是一條線段，因為我覺得大海是有邊界的，大地也是有邊界的。

師：你的知識可真豐富，你猜古人知道大海和大地是有邊界的嗎？

生4：不知道，古人認為天圓地方，大地是沒有盡頭的。

師：古人看到大海的時候，心中也是發出了這樣的感慨，所以就想表示出這種一望無際感覺，如果畫下來，你猜會怎么做？

生4：如果我是古人，我畫一條直的線來表示，不會給它點上端點。

師：你是個有思想的學生，不僅能認識到自然界大海是有邊際的，又能想到可以這樣表示無邊無際的感覺。

師：這樣的線，你叫它什么線？

生：直線。

師：誰能用手勢比劃一下直線？

（學生用各種方法比劃直線，有的把手臂伸平，有的用指尖像兩端指……）

在學習這節課時，很多學生都知道了射線、直線的名稱，但對于射線、直線的本質，認識并不深刻。在這個環節，學生先復習線段的相關知識，喚醒對線段認識的經驗，并借助已有經驗進一步認識射線和直線。調動學生多感官觀察、體驗、思考線段、射線、直線的本質特征，學生就會更容易理解線段、射線、直線沒有顏色、粗細，它們都是抽象的。在教學直線的過程中，處理好直線的原型很重要，應把生4的畫法放在最后展示，這樣不僅不會影響學生對直線的抽象過程，避免前攝抑制，還能順利向下個環節過渡，引出對原型、模型的對比思考。

（三） 區別原型與模型，從幾何本質認識線段、射線、直線

師：由于科學技術的發展，我們知道大海、大地都是有邊界的，那么海平線、地平線是直線本身嗎？

生：不是。

師：那么激光筆射出的光線是射線本身嗎？

生1：我認為是的，因為激光筆射出的光線是無限延伸的，可以射到宇宙中去。

生2：不是，因為激光筆的光柱有粗細，而且也不能無限延伸下去，因為會沒電。

（學生掌聲表示同意）

師：那么拉直的毛線是線段本身嗎？

生：不是，因為毛線就算拉直了，上面也是不平的。

師：孩子們，你們真會思考。生活中這些事物，并不是線段、射線、直線本身。那么老師在黑板上畫的線段、射線、直線是它們本身嗎？

生：應該也不是，因為如果放大鏡看，肯定不是直的。

師：如果我在黑板上畫1米的直線，可能嗎？

生：不對，因為直線不可能一米長，老師在黑板上畫的，是直線的樣子。

師：是的，黑板上所畫的，是線段、射線、直線的一種表示方式。我們借助生活中的這些事物更好地理解線段、射線和直線，并用繪畫、語言、手勢來描述它們。

通過追問，讓學生理解原型和模型的關系，進一步區別原型和模型。

（四） 感受三線的關系

師：（指著黑板上的名稱） 它們看起來很像，卻又不一樣，你能說清楚它們的相同點和不同點嗎？（讓學生小組內說一說。教師巡視，請最先完成的組匯報。）

生1：它們的共同點是，都是直的。

生2：不同點是，線段有2個端點，射線有1個端點，直線沒有端點。

生3：我來補充，線段是有限長的，射線和直線都是無限長的。

生4：我還發現，把線段一端延長，就得到一條直線，把射線反向延長就得到一條直線，射線和直線上都能截取出線段。

讓學生在觀察思考中理解三線之間的內在聯系，深化對線段、射線、直線的認識。

（五） 展示平面幾何學產生的歷史

師：（展示一列生活中的線，再展示一列數學中的線） 這是我們得到線段、射線、直線的過程，誰能總結一下數學中的這些線，是怎么得到的？

生：從生活中得到的。

師：是呀，數學就是源于生活，由高于生活的，它因人類的好奇，表達的需要而產生，是我們對世界高度抽象、概括的結果。（微視頻播放幾何學產生的歷史。）

早在五千多年前的古埃及和古巴比倫，人們在祭祀、生產、生活中想用簡潔的符號表示自己看到的和想到的，就有了最初的線和圖形，有了數學圖形這門“語言”，人類在表述時，就變得非常簡潔。

從原型到模型的幾何抽象過程易于被學生接受，通過層層追問，讓學生進一步理解原型并非模型本身，了解數學原型都有其產生和發展的歷史，從而培養學生的數學思維能力和對數學的興趣。

（作者單位：江蘇省南京市孝陵衛中心小學）

（責任編輯：楊強）