淺述幾何概型

穆俊峰

摘 要：由于新課改北師大版高中數學教材中，對幾何概型的介紹相對較少，因此幾何概型總讓人覺得晦澀難懂，不像古典概型那樣清晰規(guī)范。在這樣的實際背景下，就幾何概型的定義及常見題型和易錯題型做了簡單的分析、敘述。

關鍵詞：幾何概型；概率；計算

一、幾何概型的含義及計算公式

如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability），簡稱為幾何概型。在幾何概型中，事件A的概率計算公式為：

P（A）=

對幾何概型的認識和理解要不同于古典概型。因為在古典概型中，概率P=0的事件一定是不可能事件，而對幾何概型而言，即使某事件的概率P=0，該事件仍有可能發(fā)生（在[0，1]中任選一數，該數為1的概率為0，顯然，這并不是不可能事件。）；同樣的對幾何概型而言，概率P=1的事件也不一定就是必然事件。表面上看這是由于基本事件的個數與區(qū)域測度的計算方法不同所致，其實根本原因就是離散與連續(xù)的不同。

二、幾何概型的常見類型

1.“長度”化類型

例1.若一根繩長為3米，在任意位置剪斷，則剪得的兩段繩長都不少于1米的概率是多少？

解：記剪得兩段繩子的長都不小于1米為事件為A，如圖1，把繩子三等分，于是當剪斷位置處在第二段（中間一段）時，事件A發(fā)生，由于中間一段的長度等于繩長的 ，所以事件A發(fā)生的概率為 。

P（A）= =

2.“面積”化類型

例2.兩人相約在8∶00至9∶00之間會面，并且先到者必須等候另一人20分鐘方可離去。如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在8∶00至9∶00各時刻見面的可能性相等，求兩人在約定的時間內會面的概率。

解：設兩人分別在8：00之后的x分鐘和y分鐘到達見面地點，記A為兩人能成功會面這一事件。要使兩人能在約定的時間范圍內會面，當且僅當|x-y|≤20分鐘。如圖2正方形區(qū)域ω={（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}表示兩人到達會面地點的所有可能結果形成的區(qū)域。陰影部分的范圍表示兩人能在約定的時間內會面的結果形成的區(qū)域，所以兩人在約定的時間內相遇的概率是：

P（A）= =

圖2

3.“體積”化類型

例3.在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1內任取一點P，則點P到正方體各個面的距離都不小于1的概率為多少？

解：如圖3所示，所有基本事件組成的區(qū)域就是正方體ABCD-A1B1C1D1組成的封閉幾何體，則以正方體的中心為中心，棱長為1的小正方體圍成的區(qū)域

符合題中的要求，從而其概率P= 。

通過以上簡單例題我們可以看出，處理幾何概型問題的一般步驟為：（1）根據題意，準確分析出事件對應的幾何量所表示的區(qū)域。（2）計算出對應的測度。（長度、面積、體積）（3）根據幾何概型的概率計算公式求出比值。由于幾何概型是基本事件為無限且連續(xù)條件下的等可能概型，有限無限的判斷顯而易見，因此把基本事件轉化為等可能條件的幾何量就自然而然成為幾何概型問題的關鍵所在了。

三、幾何概型中的易錯題型

例4.函數f（x）=x2的定義域為（-2，3），則函數值在[0，1]內的概率是多少？

錯誤解法：函數的值域為[0，9），其區(qū)間長度為9，而[0，1]區(qū)間的長度為1，因此，函數值在[0，1]內的概率為P= 。錯誤的原因是，值域取值不滿足等可能性。

正確解法：定義域為（-2，3），其長度為5，而函數值在[0，1]的自變量x取值的區(qū)間為[-1，1]其長度為2，因此，函數值在[0，1]的概率為P= 。

在不確定是以自變量長度為準還是以函數值的長度為準時，可以舉特例來感受到底誰滿足等可能性。如：f（x）=x，x∈（0，1）0，x∈（1，2），則，函數值為0的概率是多少？顯然函數值的取值是非等可能的。這樣就避免犯錯了。

例5.如圖4，在直角三角形ABC中，A=30°，過直角頂點C作射線CM，交線段AB于點M，則使得AM>AC的概率是多少？

錯誤解法：設以A為圓心，AC長度為半徑的圓交線段AB于點D，則此時射線的位置使得AM=AC，因此當交點在線段BD內時，就滿足AM>AC，此時BD=AB-AC。從而AM>AC的概率為P= 。錯誤的原因是此隨機試驗是以角度為變量，而不是以線段的長度為變量。這類問題很多資料都有解釋，觀點也各有不同，根本原因還是隨機試驗本身不同，最典型的例子就是貝特朗悖論，各種算法都沒有錯，只是隨機試驗不同而已。最能說清問題的做法是把例5中，“作射線CM”改為“在線段AB上取點M，使得AM>AC”，這樣變量的選取問題就豁然開朗了。

正確解法：設以A為圓心，AC長度為半徑的圓交線段AB于點D，此時射線的位置滿足AM=AC，當射線CM在∠BCD時就滿足AM>AC，此時，∠BCD=150，從而AM>AC的概率為P= = 。

參考文獻：

盛驟.概率論與數理統計[M].高等教育出版社，2001.

編輯 李建軍