猜想點燃激情探究夢想成真

劉海濤

[摘 要] 等腰三角形是特殊的三角形，是平面幾何學研究的重要圖形之一，本文通過對等腰三角形性質教學同課異構的比較研究，尋找最佳的教學設計，提高幾何教學的有效性.

[關鍵詞] 等腰三角形；猜想；探究；比較研究

平面幾何學是研究圖形形狀、大小和相互位置關系發生變化下不變性質的科學. 三角形是最基本的幾何圖形，許多復雜圖形的問題都可轉化為以三角形為工具進行研究的問題，因此三角形知識是初中平面幾何教學的重點之一. 等腰三角形是一類特殊的三角形，是繼三角形一般性質研究后，重點研究的三角形. 因為等腰三角形的性質可借助全等三角形的理論加以研究，故教材把其放在全等三角形學習之后進行. 等腰三角形教學是初中幾何內容教學的轉折點，學生經過平行線和全等三角形學習后，具備了一定的推理論證基礎，等腰三角形是學生經歷以全等三角形為工具研究幾何學的開端. 同時等腰三角形是后續研究線段垂直平分線、垂徑定理等的基礎. 通過等腰三角形的學習，一是可積累運用全等三角形理論研究幾何學的經驗，為后續研究四邊形打好基礎；二是進一步豐富學生證明角相等、線段相等和垂直的方法；三是學生第一次經歷運用推理論證方法研究圖形性質，對研究幾何學經驗積累非常重要. 那么在等腰三角形性質教學中，怎樣進行教學設計才能達到課標的要求呢？本文選取兩段等腰三角形性質教學實況進行比較研究，以找到最佳的教學設計.

“兩底角相等”教學

1. 教學過程

（1）教師A的教學過程

在復習等腰三角形概念的基礎上，引入課題，然后展示一個準備好的如圖1所示的等腰三角形紙片，并指出所謂性質是指邊與邊、角與角、邊與角等關系及圖形的對稱性等，首先來研究等腰三角形邊有什么性質. 教師提出等腰三角形的兩條腰相等，由此來引導學生觀察圖形，猜想等腰三角形兩底角之間的關系. 然后引導學生用準備好的等腰三角形紙片進行翻折加以驗證，再由教師引導學生運用規范的語言得出等腰三角形的兩底角相等. 最后，引導學生運用邏輯推理的方法證明定理.

（2）教師B的教學過程

首先讓學生在練習本上用直尺、圓規畫一個等腰三角形，然后教師設問：如果讓你研究等腰三角形的性質，你會從哪些方面進行研究？學生回答：可從兩個底角出發研究，從等腰三角形兩腰上的中線研究，還可以從等腰三角形頂角平分線、底邊上的高及底邊上的中線加以研究等. 教師總結歸納并加以表揚，提出我們現在主要從兩底角關系，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高加以研究，縮小研究的范圍. 接著用準備好的等腰三角形紙片對折來研究兩底角的關系與頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高之間的關系，中間有學生小組討論，最后把命題用規范的推理進行證明.

2. “兩底角相等”教學比較研究

相同點是兩位教師的教學過程基本上是相同的. 運用的都是首先觀察猜想，點燃學生的求知欲望，然后運用等腰三角形紙片進行操作驗證，并由此得出兩底角相等，最后引導學生探究，通過全等三角形證明命題的正確性. 上海市數學課程標準實驗稿指出：讓學生經歷從直觀經驗幾何、實驗幾何到推理幾何的演進過程. 因此兩位教師的教學符合課程標準的理念要求.

不同的是，A教師在等腰三角形性質觀察前，就首先確定從等腰三角形的幾個要素上去研究其性質；B教師則沒有提前給學生畫一個等腰三角形，而是讓學生自己根據經驗確定從哪些要素上去研究等腰三角形的性質. 這兩種不同的處理方法，哪種對培養學生的思維能力和創新能力更有利呢？顯然，A教師在學生觀察前，就確定了讓學生進行重點觀察的方向，這樣學生在觀察時，就有了明確的目標，更容易直接發現等腰三角形的兩個底角相等. 而B教師則把重點放在了發揮學生的主觀能動性及研究問題能力的培養上，讓學生自由發揮，開闊思維，把學生放在了研究問題的主體上. 學生可根據觀察，發揮自身的聰明才智，激活潛伏在自己頭腦中數學家的思維，進行創新，發表自己的觀點. 兩位教師的處理方法都符合課程標準的理念，學生作為課堂的主人，認知的主體，讓他們去發現問題，研究問題，從而提高學生的創新能力. 但在具體教學中，要根據學生的能力，才能確定運用哪種方式更好. 如果學生認知能力比較強則選B教師的方法，如果學生認知能力達不到要求，選擇A教師的方法. 但筆者的教學實踐表明，一是學生在學習等腰三角形的性質前，只是有全等三角形的一些知識，還沒有真正地研究過某個具體的幾何圖形，因此對研究幾何圖形方法的認知基本是空白的，不能進行類比. 二是依據范希爾的幾何思維層次理論，學生在學習等腰三角形時，思維基本停留在二級水平，達不到運用幾何概念、公理、定理研究幾何圖形性質的水平，還停留在直觀水平. 因此在教學過程中對學生要多加啟發，才能達到理想的教學目的.

“三線合一”教學

1. 教學過程

（1）教師A的教學過程

在前面研究了等腰三角形第一個性質的基礎上，設問等腰三角形還有其他的性質嗎？并提出問題：我們是利用△ABD≌△ACD得到了∠B=∠C，還可以得出其他結論嗎？然后進行小組討論，得出等腰三角形三線合一的性質，并引導學生通過推理論證的方法加以證明.

（2）教師B的教學過程

在探究等腰三角形兩底角相等的對折過程中，由學生同時發現等腰三角形三線合一的性質，然后加以啟發引導，證明命題的正確性.

2. “三線合一”教學比較研究

相同點是兩位教師引導學生證明的過程是相同的.

不同點在于，教師A對三線合一的性質獲得是運用學生在探究問題過程中，發現問題的方法進行處理的，通過小組合作討論的形式完成. 應該說數學中有很多的定理以及新的發現都是人們在探究問題的過程中被發現的，這也是培養學生發現問題、提出問題很好的方法. 這一點在數學的發展史上得到了證明，如費馬大定理的證明過程就充分說明了這一點. 希爾伯特說：費馬大定理是“一只會下蛋的雞”，數學家在研究費馬大定理的過程中，發現了很多新的數學規律. 可見在探究過程中，提出猜想是科學向前發展的重要途徑之一. B教師是運用觀察操作發現的方法，發現問題. 總的來說這兩種方法都是比較好的研究問題的方法.

研究結論與思考

第一，兩位教師都能依據新的課程標準理念進行平面幾何的教學，教學中充分地發揮學生的主體地位，創設認知情境，學生主動地進行認知，建構幾何認知結構，并使學生經歷知識的發生、發展、形成過程. 蘇霍姆林斯基說，“人的內心里有一種根深蒂固的需要，總想感到自己是發現者、研究者、探尋者”，學生親自體驗“實驗—歸納—猜測—論證”的過程，能夠感受數學發現、創造的歷程. 在創設的情境中，激活學生的求知欲望，通過猜想點燃學生心中發現者的火花，再經過操作驗證，最后經邏輯推理證明自己的猜想，使自己的夢想變為了現實. 同時，使學生對幾何知識的發生發展過程有了親身體驗，豐富了學生的過程性知識.

第二，兩位教師在教學過程中時刻注意培養學生的數學思想方法. 此課中，通過添加輔助線轉化問題，把說明角相等的問題轉化為說明三角形全等的問題. 數學思想方法是數學的靈魂，是人類長期實踐總結出來的基本方法，教學中要特別加以培養. 另外，兩位教師都非常注重培養學生幾何語言的表達能力，都規范地讓學生掌握一個文字敘述的幾何命題證明過程. 教學實踐表明，文字敘述的幾何命題的證明是教學中的難點，因為沒有圖形，已知、求證要由學生獨立完成，所以教學中要加以培養. 再者，兩位教師均選用了啟發式與小組討論相結合的方法進行教學，對本節課來說這是比較科學的教學方法.

第三，兩位教師在教學過程中，A教師運用的是頂角為銳角的等腰三角形，B教師運用的是頂角為鈍角的等腰三角形，這樣對學生來說都容易形成一種思維定式. 因此教學過程中，學生觀察時，應提供頂角為銳角和頂角為鈍角的兩種等腰三角形，以使學生充分感知，明白等腰三角形分頂角為銳角和鈍角兩類，以利于后續分類討論問題. 在等腰三角形三線合一性質獲得后，教師可運用幾何畫板軟件制作一個三線合一的動畫，讓學生觀察，豐富學生的表象表征. 演示一個三角形一邊上的三個主要線段，原本分開，當拖動頂點變化時，三個主要線段跟著變化，當三角形頂點拖到某個位置，變為等腰三角形時，三條線段變為一條，然后繼續拖動頂點，使三條線段再次分開. 這樣以使學生能夠更加充分地對性質2進行多元表征，形成動畫表象與圖形表象和語言文字表征.

第四，在探索等腰三角形三線合一定理的過程中，還可以運用如下方法，有利于學生發現三線合一性質. 當學生添加頂角平分線AD后，證明了性質1，教師可引導學生一題多解，除了添加頂角平分線，還可以如何添加輔助線？讓學生思考，學生會考慮添底邊上的中線或底邊上的高，并且會發現底邊上的中線是可以的（上教版教材兩直角三角形全等判定在此節后面），獲得兩種證明等腰三角形兩底角相等的方法，此時教師設問：為什么兩種方法都可證明兩個三角形全等，即△ABD≌△ACD，從而得到∠B=∠C，所添輔助線的本質是否相同？這樣讓學生思考，學生會總結出，原來添加的兩條輔助線其本質是同一條線段，進而類比發現高線也與頂角平分線重合，并總結出等腰三角形三線合一的性質. 即進行了一題多解，培養了學生的發散思維能力，同時又能使學生在總結頂角平分線與底邊上中線重合的情況下，類比發現高線與頂角平分線重合，培養學生類比創新能力.