彰顯數形結合之妙凸現水乳交融之美

李姝璇

函數、導數和不等式部分內容在高考中的考查可以說是全方位的，從考查要求來講，它不僅有基礎知識、基本技能的考查，更有數學思想、數學本質的考查，從考查內容來看，它不僅有函數知識內部的顯性考查，更有與其他主干知識相結合的隱性考查.合與分、動與靜、直與曲、有限與無限、常量與變量及函數、局部與整體等是數學中分析與研究的常用辯證觀，從這些觀點出發，給高考壓軸題的研究帶來許多啟迪.正因為其涉及內容較廣、表現形式多樣、思維層次較高，因而，倍受命題者的青睞.下面我們談一談高考中一類函數、導數與不等式綜合問題的新解法.

首先，介紹一條引理：

引理函數y=f（x）及其導函數y=f′（x）在定義域D內可導，且y=f″（x）>0（或f″（x）<0）在定義域D內恒成立，y=g（x）=kx+m為曲線上任意切線，則f（x）≥g（x）或f（x）≤g（x））恒成立，有且僅有一個x0∈D使得f（x0）=g（x0）.

下面看看其應用：

例1（2013年全國新課標Ⅱ卷21題）f（x）=ex-ln（x+m）.當m≤2，證明f（x）>0.

證明y=ex在（0，1）處切線方程為y=x+1，y=ln（x+2）在（-1，0）處切線方程為y=x+1，即y=x+1為y=ex與y=ln（x+2）的公切線，而y=ex為下凸函數，y=ln（x+2）為上凸函數，故ex≥x+1≥ln（x+2）恒成立，而對于y=ln（x+m），當m≤2，ln（x+m）≤ln（x+2）恒成立，故當m≤2，ex-ln（x+m）≥0恒成立.

例2（2013年全國新課標卷21題）f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+112x2.① 求f（x）解析式和單調區間；② f（x）=112x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.

解① 求得f（x）=ex-x+112x2，② 由① ex≥（a+1）x+b.設g（x）=exy=（a+1）x+b，要使ex≥（a+1）x+b在實數集上恒成立，只需y=（a+1）x+b是曲線g（x）=ex的切線，設切點（x0，ex0），則g（x）=ex在（x0，ex0）處切線方程為y=ex0（x-x0）+ex0.故a+1=ex0，b=ex0（1-x0），故（a+1）b=e2x0（1-x0）.設h（x0）=e2x0（1-x0），則h′（x0）=e2x0（1-2x0）.令h′（x0）=0，得x0=112，所以h（x0）在-∞，112為單調增函數，在112，+∞為單調減函數，故h（x0）max=e12，即當a=-1+e112，b=112e112時，（a+1）b最大值為e12.

例3（2010年全國Ⅱ卷第22題）設函數f（x）=1-e-x.

（Ⅰ）證明當x>-1時，f（x）≥x1x+1；

（Ⅱ）設當x≥0時，f（x）≤x1ax+1，求a的取值范圍.

（Ⅰ）證明為了證當x>-1時，f（x）≥x1x+1，只需證1-e-x≥x1x+1，即證1-x1x+1≥e-x.即證ex≥x+1，而f（x）=ex為凹函數且g（x）=x+1為f（x）=ex在（0，1）處切線，顯然ex≥x+1，故當x>-1時，f（x）≥x1x+1.

（Ⅱ）解由題設，問題轉化為當x≥0時，1-e-x-x1ax+1≤0，求a的取值范圍.令g（x）=1-e-x-x1ax+1，則問題又轉化為當x≥0時，g（x）≤g（0）.求a的取值范圍.當x≥0時，只需g′（x）≤0，即1-e-x-x1ax+1′≤0，即e-x（ax+1）2-11（ax+1）2≤0，注意到分母（ax+1）2>0，故只需e-x（ax+1）2-1≤0，即（ax+1）2≤ex.

若a>0，∵x≥0，則ax+1>0，∴只需ax+1

若a=0，（ax+1）2

若a<0，x>-11a時x1ax+1<0，而此時f（x）≥0，

∴與f（x）≤x1ax+1矛盾.

綜上，0≤a≤112為所求.

例4（2007福建理）f（x）=ex-kx，x∈R，若k>0，f（|x|）>0恒成立，求k的范圍.

解由f（|-x|）=f（|x|）知f（|x|）為偶函數，于是f（|x|）>0對任意x∈R成立，即f（x）>0，即ex>kx對任x≥0成立.顯然，g（x）=ex為凹函數，且g′（x）=ex，切線方程為y-ex0=ex0（x-x0）.當切線過原點時，x0=1此時切線方程為y=ex.

因此，只需e>k，∴0

可見，“不等式”，即“等與不等”“數與形”水乳交融般和諧美的體現.我國著名數學家華羅庚對“數”與“形”之間的密切聯系有過一段精彩的描述：“數與形本是相依，焉能分作兩邊飛，數缺形少直覺，形少數難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫分離.”寥寥數語，把“數形結合”之妙說得淋漓盡致.