離散數(shù)學教學探討

張艷群++汪楚嬌++王虎++韓麗霞

【摘要】針對離散數(shù)學本科教學的特點，本文從學生學習角度分析課程學習現(xiàn)狀，針對性地提出解決方案，切實從課堂教學上做出改革，用以轉(zhuǎn)變學生的學習觀念、激發(fā)學生的學習興趣以及加深學生對課程體系的認識，有效促進離散數(shù)學教學質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學；課程體系；教學改革；課堂質(zhì)量

【教改項目】2015年，中國礦業(yè)大學校級教改項目：離散數(shù)學教學改革，項目編號：2015YB26.

一、引言

離散數(shù)學作為一門研究離散量的數(shù)學工具，主要研究離散量的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，計算機本身就是一個離散的結(jié)構(gòu)，故離散數(shù)學對計算機的發(fā)展、計算機科學的研究起著非常重要的作用，是計算機專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課.

離散數(shù)學分為集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、數(shù)理邏輯四部分，其中布爾代數(shù)理論用于研究開關(guān)電路，對應(yīng)的數(shù)字邏輯理論對計算機的邏輯設(shè)計起了很大的作用；用自動機理論研究形式語言；用代數(shù)結(jié)構(gòu)研究編碼理論；利用謂詞驗算研究程序正確性問題；利用能行性理論研究計算機中的可計算性問題等[1].這些內(nèi)容旨在培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，以適應(yīng)后續(xù)的計算機專業(yè)理論和編寫算法程序的學習.

二、離散數(shù)學教學現(xiàn)狀

中國礦業(yè)大學計算機學院將離散數(shù)學開設(shè)在第二學期，離散數(shù)學之前開設(shè)的專業(yè)課只有高級語言程序設(shè)計，因此，專業(yè)知識不夠充實再加上離散數(shù)學體系松散、理論性較強的特點，每一屆學生在離散數(shù)學的學習上都會存在各種問題，本文分別對在校2013級、2014級和2015級的300名學生進行問卷調(diào)查，考查學生對離散數(shù)學的認識，結(jié)果見下表.

結(jié)合表1和日常交流中學生們的反饋對離散數(shù)學教學中存在的問題總結(jié)如下：

（一）學生對離散數(shù)學的作用理解不到位，認為在專業(yè)學習中沒有必要

針對該問題，各代課教師在緒論時就把離散數(shù)學的重要性、基本應(yīng)用以及和其他后續(xù)課程的聯(lián)系介紹得很清楚，但是學生沒有接觸過核心專業(yè)課，因此，專業(yè)知識基本上沒有積累，不能很好地理解這一點.在授課過程中，因為離散數(shù)學概念定義多，抽象程度高，課程內(nèi)容和實際結(jié)合不多，除了做題學生沒有其他形式能看到學習成果，也缺乏趣味性.本科階段的學生普遍認為計算機專業(yè)最直觀的學習成果就是編程，離散數(shù)學的作用實際上體現(xiàn)在理論層次的研究和應(yīng)用上，所以，學生的學習積極性不高，即便在課程結(jié)束后也有不少計算機專業(yè)的學生認為離散數(shù)學沒有開設(shè)的必要性，究其原因，就是對離散數(shù)學課程的認識不深刻.

（二）離散數(shù)學注重方式方法，解題難度較大

離散數(shù)學題目邏輯性強抽象程度高，解題難度大，大一學生還沒有完全脫離高中階段的學習模式，沒有完全掌握這種靈活深入注重方式方法的學習.下面舉例子說明：

請證明：素數(shù)階群必為循環(huán)群.

該題目已知條件很簡單：群中元素個數(shù)為素數(shù)，要證明的是元素個數(shù)為素數(shù)的群是循環(huán)群.很多學生拿到題目無從下手，但是仔細分析就能得出很多其他條件，比如，素數(shù)和群這兩個概念在一起會派生出什么，結(jié)合所學內(nèi)容就是群和子群的聯(lián)系，素數(shù)是只能被1和它本身整除的整數(shù)，因而，素數(shù)階群只有兩個子群：單位元群和素數(shù)階群本身，然后怎么把這幾個概念聯(lián)系在一起從而得出結(jié)論呢，這里就要用到群的一個定義：群的任意一個元素a都能生成一個該群的循環(huán)子群.素數(shù)最小為2，所以，在群中存在一個非單位元元素a生成一個循環(huán)子群，綜合以上得出該循環(huán)子群必是該群本身，題目也就得以證明.

從這個題目可以看出，離散數(shù)學解題方法很強，要求學習熟練掌握教材內(nèi)容及知識點之間的聯(lián)系，如果沒有對知識點的熟練掌握和思路，很難正確地解答問題.

（三）理論結(jié)合實踐方面不到位，解決實際問題的能力較差

離散數(shù)學教學的最終目的就是為了提高學生的抽象思維能力和解決實際問題的能力，離散數(shù)學在計算機理論研究方面和實際生活中的應(yīng)用非常廣泛，其很大一部分是建模能力的培養(yǎng)，例如，請證明：在任何兩個或兩個人以上的組里，存在兩個在組內(nèi)有相同個數(shù)的朋友.這個題目重點和上個例子完全不同，這個題目關(guān)鍵需要將應(yīng)用題和解題知識點對應(yīng)起來，如果知識點掌握不扎實，解題基本上沒有思路.這里將組看成一個圖，組內(nèi)的人為一個頂點，如兩人為好友則在兩點之間生成一條邊，至此，該題的本意就是求證兩個頂點以上的簡單圖中存在兩個相同度的頂點.

該題求證用反證法，假設(shè)圖G中所有頂點（頂點數(shù)v）度都不相同，簡單圖中頂點最大的度為v-1，那么最小頂點度為0才能滿足所有頂點度互不相同的條件；但是度數(shù)為v-1的頂點又需要和其他每個結(jié)點都有聯(lián)系，因此，和其中一個頂點度為0矛盾.故題目得證.離散數(shù)學中有很多該類型的題目，強調(diào)的不只是知識點本身，更重要的是抽象建模的能力，即解決實際問題的能力.

（四）例題和課后練習題偏少

離散數(shù)學教材中例題大同小異，課時受限制，學生接觸的題量和題型都很受限制，再加上課后和代課教師的溝通較少，因此，學生學習的主動性和積極性都受到很大的影響，沒有足夠的練習，自然在理解上就不到位，對離散數(shù)學的精髓也就不甚明了.

三、擬采用改革措施

針對離散數(shù)學教學中存在的主要問題，課題組多次展開教學研討，為了更好地提高課堂效果，提高課堂教學效果，為學生學習后續(xù)專業(yè)課程打下扎實的基礎(chǔ)，課題組提出了以下解決方案.

（一）引導學生轉(zhuǎn)變學習觀念，激發(fā)學習興趣

離散數(shù)學內(nèi)容散、概念多、邏輯性強、知識關(guān)聯(lián)度高，其教學目的除了提高學生的邏輯推理能力和抽象思維能力之外，還要使學生掌握這個數(shù)學工具，為后續(xù)計算機專業(yè)課程的學習做好準備，具有一定的思辨能力和專業(yè)基礎(chǔ).

因此，授課教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學觀念，從機械式填鴨式、轉(zhuǎn)變?yōu)橹匾暲斫馑伎己蛻?yīng)用，注重理論體系的把握而不是把注意力僅僅集中在知識點本身上，對數(shù)學運算的理解進行再認識和深度提升，如，代數(shù)系統(tǒng)（S，+）中的“+”可以是任意滿足條件的操作，對單位元1和零元0的認識要區(qū)別它們在整數(shù)集中的性質(zhì)，深入理解代數(shù)系統(tǒng)之后學生可以根據(jù)實際需求構(gòu)建自己的規(guī)則庫以及在規(guī)則庫上的操作；循環(huán)群同構(gòu)可以簡化對循環(huán)群的研究，無限循環(huán)群同構(gòu)于整數(shù)加群，周期為m的循環(huán)群同構(gòu)于剩余類加群，故而對于滿足相同特征的循環(huán)群歸結(jié)為對這兩種群的研究上，強化了循環(huán)群之間的聯(lián)系，同時也簡化了研究的難度和強度；集合論中偏序關(guān)系用≥表示，和數(shù)學中的大于等于的含義完全不同；等價關(guān)系和相容關(guān)系主要研究個體間的同一性，給模式分類提供了理論模型；數(shù)理邏輯中對于日常生活中沒有因果關(guān)系的命題也可以進行邏輯運算和推理等，通過對比分析讓學生對離散數(shù)學的理解不再只局限于知識點本身而是建立完整的知識體系，強化例子的理解培養(yǎng)學生的抽象思維能力和針對實際問題的數(shù)學建模能力.

（二）離散數(shù)學中具體知識點和實際應(yīng)用聯(lián)系起來

圖論、關(guān)系等應(yīng)用在復雜網(wǎng)絡(luò)和大數(shù)據(jù)研究中越來越廣泛和深入.代數(shù)系統(tǒng)中群、環(huán)、域等理論知識應(yīng)用在信道編碼中糾錯方面.圖論中貨郎擔問題就是車間生產(chǎn)模具中走刀問題的數(shù)學模型；分組可用二分圖，電路布圖可用平面圖，城市間建立高速網(wǎng)高鐵網(wǎng)可用最優(yōu)二叉樹；圖論中的哈夫曼壓縮是一種無損壓縮，可用于指令系統(tǒng)的設(shè)計與改進.離散結(jié)構(gòu)和算法思想對應(yīng)于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的邏輯結(jié)構(gòu)和其基本操作[3].笛卡爾積和二元關(guān)系理論用于關(guān)系數(shù)據(jù)庫的查詢與維護功能、關(guān)系分解的無損連接性分析等.邏輯推理和布爾代數(shù)為人工智能研究領(lǐng)域打下了良好的數(shù)學基礎(chǔ).

（三）解題方法和技巧的培養(yǎng)

離散數(shù)學具有獨特的特點，比較重視可行性問題的研究，課程中涉及很多原理，如，鴿巢原理、容斥原理、數(shù)的可數(shù)性問題等，除了強調(diào)這些原理的應(yīng)用，還要在證明方法上再用另外的方法證明，引導學生從不同的角度理解問題，證明過程中注意引導學生主動思考，深入理解基本定理和結(jié)論；除此之外多學、多看，認真分析典型例題的解題過程，再加上多練習，逐步解決學生解題難的問題，也能激發(fā)學生的學習興趣.

學習離散數(shù)學的最大困難是其抽象性和邏輯推理的嚴密性.解一道題或證明一個命題，應(yīng)首先讀懂題意，然后，尋找解題或證明的思路和方法，當找到了解題或證明的思路和方法，把它嚴格地寫出來.下面舉例說明.例如，集合A={a，b，c，d}上的劃分是S={{a，c}，{b，d}}，求由S導出A上的等價關(guān)系.

這個問題考查的是對等價關(guān)系和等價類之間關(guān)系的理解，大部分學生能從集合的等價關(guān)系求出等價類，但是反過來從等價類求對應(yīng)的等價關(guān)系就無從下手.教材中有一個定理：給定集合X的一個劃分（覆蓋）A={A1，A2，…，An}，由它確定的關(guān)系R=A1×A1∪A2×A2∪…∪An×An是等價（相容）關(guān)系.這個例題用該定理就很容易解決，只要將集合{a，b}和{c，d}相乘求笛卡爾積就是對應(yīng)的等價關(guān)系，即等價關(guān)系R={a，b}×{c，d}={（a，a），（b，b），（c，c），（d，d），（a，c），（c，a），（b，d），（d，b）}.代課教師要對這一類的題目進行歸類分析，引導學生多接觸方法性解題思路，課堂積累到一定程度，再加上布置課后作業(yè)，慢慢地也就能掌握到一定的解題方法和技巧.

（四）提供多溝通渠道，擴展輔導與答疑途徑

對于代課教師來說，可以從以下幾個途徑和學生進行溝通：課堂上對知識點特別是重要的知識點結(jié)合多個例題進行講解，了解知識點的各種應(yīng)用，加之接觸的題量多、題型也多，對知識點的理解也就比較到位，相應(yīng)的積累的解題經(jīng)驗也就豐富起來；課后對應(yīng)每一章節(jié)布置作業(yè)，作業(yè)類型盡量覆蓋各種題型，難度也要注意平衡，在學生作業(yè)中選擇有代表性的解題方法對比講解，讓學生從不同角度理解知識點的應(yīng)用和解題方法的變換，啟發(fā)學生思維，激發(fā)學習的積極性；開展開放式自學平臺，除了教材提供的例題和習題，課題組還按照章節(jié)整理大量習題以網(wǎng)頁的形式面向?qū)W生開放，這部分習題都附帶解題思路和答案，提供給學生充足的學習資源，提高學生解題的熟練度.

四、結(jié)束語

離散數(shù)學的教學對于信息類相關(guān)專業(yè)學生的專業(yè)學習非常重要，本文從四個大的方面入手，切實提高學生對離散數(shù)學課程的認識，激發(fā)學習興趣，提高教學質(zhì)量.該項目由中國礦業(yè)大學教務(wù)處資助，為學生更好地學習專業(yè)課程打下堅實的基礎(chǔ).

【參考文獻】

[1]徐潔磐.離散數(shù)學導論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]杜林鈺.離散數(shù)學在計算機學科中的應(yīng)用[J].科技教育，2015（11）：464.

[3]左孝凌，李永監(jiān)，劉永才.離散數(shù)學[M].上海：上海科學技術(shù)文獻出版社，2004.