對三角函數“誘導公式”幾種導入方案的對比評說

馬娟平

[摘 要] 本文記錄在一次區級的評優課中幾位參賽選手引入“誘導公式”的不同方案，然后筆者深入分析不同方案的優劣以及適用性，提出針對不同的學生要有不同的“課堂引入”，讓“引入”能提高學生的學習興趣，提高學生對新知識的接受能力和理解能力，最終提高學生對數學的理解.

[關鍵詞] 誘導公式；課堂引入；教學方案；教學方案評說

在一次針對必修4中“1.2.3三角函數誘導公式”（第一課時）數學評優課中，幾位選手的設計，在自然、思維及有效性等方面各有千秋. 我們知道，良好的開端是成功的一半，那么如何設計課堂導入更能貼近學生，更能激發學生的興趣，更趨合理？以下選取幾節有代表性的課堂導入，談談筆者的一些想法，與同行交流.

[?] 教材簡析

三角函數的誘導公式是三角函數的基礎，誘導公式的認知基礎是終邊所對角的三角函數定義、單位圓坐標表示、三角函數線. 教學目標是借助單位圓推導出正弦、余弦的誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，并解決有關三角函數的求值、化簡及證明問題.方法是從特殊推廣到一般，涉及轉化思想、數形結合思想.

[?] 方案呈現

1. 方案1：復習引入

（1）在平面直角坐標系中，任意角α的正弦、余弦、正切是如何定義的？

學生由任意角的三角函數定義得：sinα=_____，cosα=_____，tanα=_____.

（2）為簡單起見，取r=1，選取角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）.

則sinα=_____，cosα=_____，tanα=_____. 此時P點的坐標可表示為_____.

探究新知：

請在單位圓中作出390°角的終邊，交圓周于點P，并根據任意角三角函數的定義求出：

sin390°=______________；

cos390°=______________；

tan390°=______________.

探究一：角的終邊與角α的終邊相同的三角函數值之間的關系. （略）

2. 方案2：問題串引入

的值嗎？

教師（解說）：大家可以看到，這兩個角的特征，一個大于360°，一個小于0°，這類角的三角函數值，該如何求？

讓學生探索1～2分鐘，說說想法.

通過畫圖，發現390°的終邊與30°的終邊相同.

教師：終邊相同的角的三角函數值有什么關系？

學生：相同.

教師：為什么？

過渡句：公式一可以將任意角的三角函數值，轉化為[0，2π]內的角的三角函數值.那么對于[0，2π]內非銳角的三角函數，能否轉化成銳角三角函數呢？

3. 方案3：教材引入

由三角函數的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數值相等，即

sin（α+2kπ）=__________（k∈Ζ）；

cos（α+2kπ）=__________（k∈Ζ）；

tan（α+2kπ）=__________（k∈Ζ）.

除此之外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊關系，如關于坐標軸對稱、關于原點對稱等，那么它們的三角函數值有何關系呢？如果角α的終邊與角β的終邊關于x軸對稱，那么α與β的三角函數值之間有什么關系？

然后，設α與β與單位圓交于點P，P′，則P，P′關于x軸對稱，點P的坐標是（cosα，sinα），點P′的坐標是（cosβ，sinβ），則cosβ=cosα，sinβ=-sinα. 得到sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.

其他的類似可以求得.

4. 方案4：談話式導入

教師：前面，我們已經學習了任意角，范圍擴大到大于360°或小于0°，學習了三角函數的定義、象限角及同角三角函數的關系式，研究三角函數的一個重要問題就是求值. 對于0～90°的角，借助數表或計算器都能求它們的三角函數值；對于90°～360°的角，大于360°的角，小于0°的角，該如何求它們的三角函數值呢？

我們先研究如何求大于360°的角和小于0°的角的三角函數值.

比如，sin390°=______. 請你嘗試解決一下.

學生畫出390°，部分學生聯想到單位圓，在單位圓上作出390°的角，其終邊交圓周于點P.

教師巡視，問：對你畫出的角有什么發現？

學生會發現390°的角的終邊與30°的角的終邊相同，教師要接著問“終邊相同的角的三角函數值有什么關系”.

生：根據任意角三角函數的定義，可得sin390°=sin30°.

教師：那么cos390°=_____，tan390°=_____.

學生輕松得出. （略）

教師：這個結論能推廣嗎？30°改成銳角α可以嗎？

學生不難得出：sin（360°+α）=sinα；cos（360°+α）=cosα，tan（360°+α）=tanα.

教師：當α為任意角時，公式還成立嗎？

……

[?] 對四種課堂導入方案的對比評說

新課程的基本理念是以學生的發展為本，一個好的教學方案，必須符合教學目標，符合學生的認知特點，因為數學學科的一個重要任務是培養學生的思維能力. 因此，課堂導入是否能產生思維的憤悱狀態，是否有利于學生進行思維訓練，是非常關鍵的. 而“強扭的瓜不甜”，學生對不自然的導入不容易接受，因此，要考慮課堂引入的自然性；又“興趣是最好的老師”，故課堂導入要考慮是否能激發學生的學習興趣；當然，課堂導入還要有益于學生理解數學，所以還應考慮引入的有效性.由此，對以上四種方案進行簡要對比評說.

方案1是先復習舊知，從任意角的三角函數定義到單位圓上點的坐標，然后從單位圓中作出390°角的終邊進行探索.這樣從已知到未知，并融入數學文化：從布龍克爾（英）名句“圓是第一個最簡單、最完美的圖形優化設計”，循序漸進，學生循著教師的步伐“走”，很容易走穩，對知識容易理解，但都是教師事先安排好的，適宜于層次較低的學生.不足點：鋪墊偏多，留給學生思考的余地不大，長此以往，學生就會產生思維上的惰性，在面臨新問題時束手無策，缺乏經驗，容易形成畏難心理. 方案1對學生的思維訓練顯得不足，有教師牽著學生走之嫌.

方案2是基于哈爾摩斯的名言“問題是數學的心臟”進行的問題驅動，先后提出了兩個富于挑戰性的計算問題. 問題1旨在研究對于大于360°的角或小于0°的角的三角函數求值，從解決問題的需要研究新知；問題2是為了引出需要求解在第四、第二、第三象限的角的三角函數值的問題而設置的，若設角α是第一象限角，則讓學生說出-α，π-α，π+α分別是第幾象限角. 問題1和問題2的共同點都是為了解決學習這五組誘導公式的必要性問題. 弄清了為什么要學習新知，明確了方向，就會產生自覺的行動. 問題3是誘導公式的基礎，也是學生理解的難點，即（cosα，sinα）. 若問題3解決了，則三個角-α，π-α，π+α的終邊都可以用三角函數值表示. 這三個問題解決好了，這五組誘導公式的意義建構就完成了. 這種方案是從解決問題的角度出發的，促使學生產生憤悱的狀態，產生解決問題的愿望，凸顯其必要性. 這種方案有益于培養學生的思維能力，這種方案適宜于層次中等或中等以上的學生.

方案3是通過兩個角α，β特殊的對稱關系，求出單位圓上對應的坐標關系，得出誘導公式. 提出的問題很自然，敘述簡約、清楚，也有利于學生理解數學，適宜層次中等及中等以下的學生.其不足點是沒有問題驅動來得強烈，不利于學生求知欲的激發.

方案4是對教材方法的一種改造，通過與學生的對話引入. 其一，從已知逐漸過渡到未知，順應學生的認知基礎，符合學生的認知規律，與學生做朋友，容易激發學生的興趣，形成了和諧的課堂氛圍；其二，引入、過渡很自然，亦步亦趨，易于學生操作，有益于教學生學會學習，今后遇到類似問題，學生也會類似地解決；其三，注重知識的前后聯系，其后教師的提問“當α為任意角時，公式還成立嗎？”為誘導公式的理解、記憶做好了鋪墊.

我們知道，鋪墊有益于學生的理解，但不利于培養學生的思維；跳躍思維不利于學生的理解，但能促使學生思考，培養他們的思維. 限時的課堂教學實踐表明：教學需要一定的鋪墊.因此，要求教師基于學情，把握好鋪墊的度，而這個鋪墊（即導入）是教師譜寫優美教學樂章的前奏，是師生情感共鳴的第一個音符，也是課堂教學藝術的重要組成部分. 著名特級教師于漪曾說過：“課的第一錘要敲在學生的心靈上激發他們思維的火花，就像磁石一樣把學生牢牢吸住.” 由此可見，導入對于一堂課的成功與否非常重要，所以我們要重視課堂的導入.