基于“統整理念”的高中數學概念課教學策略分析

顧海榮

[摘 要] 概念是數學知識大廈的根基，概念教學的質量關系到學生數學核心素養水平的高低，基于統整理念的高中數學概念課教學應該對概念本身有多維度的認識，

[關鍵詞] 整體性；高中數學；概念課教學

高中數學教學的質量如何提升？筆者認為，應該從整體上關注數學概念的教學，尤其是“核心概念”的教學. 從數學概念出發引導學生抓住數學對象的本質屬性，是幫助學生準確地、系統地領悟高中數學知識的重要源泉，是提升學生數學核心素養水平的重要抓手. 那么，如何統整？如何優化我們的高中數學概念課教學呢？本文就該話題進行簡單的分析.

[?] 多維度對數學概念進行分析

數學概念學習困難在哪里？從教學實踐經驗來看，相當一部分學生存在著對數學概念的定義理解不全面，雖然能夠從感性的認識角度對概念有初步的認識，能夠記住概念的文字表征，但是概念本質屬性的理解不到位，難以站到整個數學概念系統之中去聯系著上、下位關系去分析數學概念，找不準其在知識結構中所處的位置，這些認知上的缺失導致了學生在應用概念解決實際問題時出現了障礙. 筆者認為，我們在概念學習過程中，應該對概念有多個維度的分析與認識.

1. 抓住核心概念這一知識主線

從高中數學知識的整體性來看，我們的概念并非零散的，彼此之間存在著聯系，而能夠將多個概念凝聚在一起的那些概念，我們稱之為核心概念. 核心概念是高中數學知識的“控制中心”，是高中數學知識的主要生長點，抓住核心概念由此向外發散可以滲透數學思想和方法，同時體驗知識轉化、規律發現的過程.

例如，“函數”這個數學概念顯然是中學數學階段的核心概念，我們以此為主線可以將多個概念和數學思想“統整”過來，從上、下位關系來看，在“函數”這個核心數學概念下，冪函數、對數函數、三角函數、指數函數等多個具體的下位函數概念. 我們在課堂教學中，對于具體的下位概念如何展開教學，可以從上位概念“函數”的定義出發，思考該下位概念所涉及的具體情境，從而引導學生根據其所具有的特征對具體的函數類型進行歸納.

除了上、下位關系外，我們在教學過程中還應該關注概念本身所具有的本質特征，如該概念具有怎樣的特點？數學思想方法如何？能否向外延展和轉化？仍以“函數”為例，“變化”是函數最為本真的性質之一，我們在教學過程中完全可以引導學生從“變化”的思想入手對數學對象進行觀察、分析，找尋“不變”和“變”，最終在實現“不變”到“變”的轉變過程中認識和理解“單調性”“奇偶性”等函數性質.

2. 抓住核心概念之間的關聯

在不具備上、下位關系的概念之間也是可以有關聯的，甚至于在高中數學教學中的多個核心概念之間也可以具有關聯. 在教學過程中注重核心概念之間的關聯性，能夠深化理解概念，同時體驗建模這一數學化過程.

比如，“函數”這個核心概念與高中課程中的多個核心概念有著關聯，如“數列”這個概念，我們在教學過程中如果將其視作為一個特殊的函數，我們就可以將函數的思想方法遷移過來，深化理解數列的通項公式，同時很多的數列問題也都可以借助于函數的思想方法來分析、處理和解決.

[?] 從整體的視角厘清概念的發展脈絡

既然我們站在整體的角度來學習數學概念，那么認識概念的上、下位關系，找到概念之間的關聯就不能浮于表面，應該站在整體的角度，以關聯性為起點對概念間的整體聯系有一個結構性的分析.

例如，我們在和學生一起學習向量的時候，就可以以“三角函數”與“向量”這兩個概念之間的關聯性作為教學研究的起點. 那么，他們之間存在著怎樣的關聯呢？

關聯1：數學思想方法的統一. “三角函數”這個概念，學生在初中就有所涉及，從數學思想方法來看，初中在定義銳角三角函數時借助于“長度的比值”，其本質即為“互化”——長度與角度的互化，到了高中階段是如何深入研究的呢？借助于坐標系，任意角的三角函數得以推廣和刻畫. 這種數學思想方法在向量的研究中同樣被應用，向量的概念是“方向”“大小”這兩個要素，那么在向量的研究中是如何展開對這兩個要素的研究的呢？同樣可以引入“坐標系”，借助于坐標的多維度性質來刻畫向量，從而感受數學思想方法的統一.

關聯2：代數、幾何間的橋梁式關聯性. 從所用的思想方法上，上面兩者均在研究時有統一性，如果我們從思維科學角度來進行分析，不難發現兩者是聯系代數和幾何的橋梁，有了兩者人們對相關數學內容的研究實現了從定性到定量的進一步深化，同時兩者交匯之處促成了向量、坐標、復數三個重要的概念構成一體，提升了相關運算技巧，而且長度與角度的轉化與聯系變得更為明晰. 在幾何研究中，直線的斜率、曲線與方程等問題的研究越來越接近于數學規律的本質，“三角函數、向量”作為數與形之間轉化的橋梁，讓兩者學習時更具統一性.

[?] 從應用的視角歸納解決問題的方法

在數學學習過程中不可回避“解題”和“應試”，解題和應試的過程是學生應用數學概念解決問題的過程，透過這個窗口，我們可以將數學概念與數學方法統整到一起.

例如，“導數零點問題”是我們學生在解題和應試時往往會遇到障礙的一類數學問題，這里涉及的就是“導數”這個數學概念的具體應用. 在應用過程中，根據不同的設問涉及多種數學思想方法，在平時的教學過程中要抓住典型問題與學生一起進行解決數學問題方法的歸納，那么涉及哪些方法呢？直接求根法，此類函數的導函數零點是學生常見的方程，導數零點可直接通過解方程獲得；利用重要的函數不等式，教材中的例題和習題也常常會涉及這個方法，同時在平時教材習題的解決中所用到的經驗和方法可以拿來作為基礎性結論為新問題的解決提供思路. 數形結合法，回避導函數的零點，這種方法的應用能夠將學生所掌握的常見函數的圖像及其性質等數學知識很好地應用到問題的解決中來，有助于學生基本功的強化. 在學生認知水平提升到一定程度后，我們還可以滲透設而不求法，虛擬設根，整體代換，以及巧妙分離函數法、特殊值代入法等.

在提供了典型的問題，學生解決完后，我們還應該引導學生站在“統整”的視角，對相關方法進行客觀的評價與歸納，比如“導函數零點”的問題求解涉及哪些呈現形式？對應著我們可以運用哪些方法去求解？有這樣的思考，學生分析問題、解決問題的能力才會得到真正意義上的提升. 從呈現形式上看，這類問題主要有可求零點、不可求零點和無零點的三種呈現方式. 對于“可求零點”這種形式的數學問題，在方法的選擇上我們可以選擇直接求解，也可以選擇用特殊值法代入求解；對于“不可求零點”這種形式的問題，在方法的選擇上一般采用的是“設而不求”的解決辦法；對一些含超越方程形式的導函數零點問題，我們會發現選擇“等價轉化”這種解決問題的方法能夠起到很好的化簡運算的作用.

一言以概之，我們在概念的應用和習題講評環節，如果我們能夠引導學生對遇到的數學問題及其解決問題的方法加以整理與概括，學生的視角會高于知識本身，站在解決某一類數學問題涉及的方法的頂端，達到“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”的境界.

[?] 結語

基于“統整理念”的高中數學概念課教學需要我們從多維度著眼，從整體的角度思考，從多種解決問題的方法著手，那么，我們的學生如何實現呢？筆者結合多年的教育教學經驗歸納出如下兩點.

1. 充分掌握課本上的知識點

教材是我們教學資源之本. 高中數學課本本身就是我們學習知識的基礎知識點，也是我們解答的基礎，同時也是我們在解題過程中獲取思路的重要途徑，也是我們學習數學概念、思想方法的基礎，因而我們首先應該對課本上的內容進行深度地挖掘，才能搞清楚整個數學教材的結構、脈絡，知道哪些概念屬于核心概念、基礎概念，找準概念間的聯系，意識到復雜的、難的知識點也是在基礎知識點上發展起來的.

2. 從題型中找到概念的應用

正如前文所述，概念的應用過程是統整理念應用于數學學習的一個重要方面，當我們學習完概念之后，只有在練習的過程中，才能加深我們對數學概念、數學方法的理解，同時應用概念也能幫助學生進一步記憶概念的多維表征. 在解題的過程中，我們學習掌握其他的思維方式，重要的也是對解答思路的分析，涉及的多種數學思想方法在解題后反思的過程中得以歸納、統整.