基于“最值”問題，開展變式教學

賈林

[摘 要] 新課標大綱注重問題的變式探究，變式問題的本質是圍繞教材的基本概念和原理開展的，這對教師的教學備課提出了更高的要求，筆者認為作為教師有必要圍繞教學內容進行設計和變式教學，提升學生的探究能力. 本文整理了最近的一次關于“解析幾何最值問題”的教學設計，與同行研討.

[關鍵詞] 解析幾何；最值；變式探究

解析幾何的最值問題是教材內容的變式拓展，在考題中出現的頻次很高，考查學生的變式探究能力，這也是當下課改的主體思想，作為教師也需要關注變式問題，并以此進行教學設計，圍繞相關的問題開展變式教學，培養學生的變式思維.

[?] 教學流程

1. 問題引入

在公路a兩旁有兩所學校S和T，現將要在公路上建一個公交站臺B，讓兩所學校的學生到這個站臺的距離之和為最小，現設計該站臺的具體位置，并說出理由.

預設問題：解決最值問題的基本原理是什么？兩點之間線段最短如何證明？有人提出應該放在三角形中進行求解，你是如何思考的？

預設意圖：本節主要學習解析幾何中的最值問題，通過生活中的實際問題，讓學生對最值問題有個初步的認識，理解最值問題的基本原理，然后以此為線索開展課題，提高學生的學習興趣，以學生為教學的主體，這樣的設計有助于培養學生的思考能力，以及變式思維，為今后的教學做準備.

探究：當定點S和T位于動點所在直線的異側時可求距離之和，解決最值問題，可以根據原理：兩點之間線段最短，證明上可借助三角形的兩邊之和不小于第三邊.

解析：如圖1所示，連接直線ST，線段ST和直線a的交點為B′，在直線a上任取一點B，則根據三角形邊的關系有：SB+TB≥ST，所以SB+TB的最小值就是線段ST的長度.

[?] 典例講評與變式

預設問題：動點M和N的軌跡是什么樣的曲線？如果當點P靜止的時候，線段PM和PN的大小有聯系嗎？求PM+PN的最小值，是否可以實現PM和PN都達到最小值？

預設意圖：由生活中的最值問題轉化為解析幾何中常見的求解動點的最值問題，通過逐步的設問來引導學生培養正確的解題思路，這里以圓上的動點為例，引導學生進行數形結合，通過分析判斷求解最值問題的特定情形.

（3）經過點F1（-2，0）作兩條互相垂直的直線，直線分別交橢圓C于A，B和D，E點，求AB+DE的最小值.

設計意圖：經過對解析幾何最值問題的基礎講解以及變式后，有必要對學生進行視野拓展，通過對高考歷年真題的賞析使學生深入理解解析幾何中的最值問題的考查要求，扎實基礎，進一步提升綜合解題能力.

[?] 教學立意的進一步解讀

1. 重視概念，重視原理

學習概念和數學原理是求解問題的基礎，在理解原理的基礎上才可以實現變式拓展，例如題課中關于最值問題，兩點之間線段最短則是最值問題的理論依據. 在教學過程中不可忽視數學概念的教學，即使是原本枯燥無味的概念原理課，通過精心的課程設計也可以變得生動，在教授過程中要有準備有意識地引導學生去發現、創造，筆者認為新課標更應該注重教材的原理和概念教學，重視問題的外延本源，從問題的出發點進行教學更加有利于學生掌握基礎，拓展變式. 在講授解析幾何問題時要研究曲線的性質以及求解方法的原理. 解題的步驟是：作圖、分析、化簡、求解. 問題的產生和發展都應以教材的概念和原理作為載體，所以課堂教學必須以教材的基礎知識作為出發點.

2. 探究問題，拓展變式

解析幾何的問題都可以在教材中找到原理依據，僅對一道例題的講解是無法使學生掌握原理，理解教材概念的. 特別是解題背后所蘊含的數學思想和方法技巧，所以對于教材的探究則變得非常重要. 在本節課的教學環節進行了典題變式和銜接高考真題，都是為了使學生在理解最值的基礎上進行深入探究，在訓練中抓住問題的本質，理解高考命題策略. 對問題的拓展，都是對問題的進一步解讀和探索；對新問題的思考，將問題的條件和結論進行類比和聯想，都可以使學生產生新的解題思路，這是變式的核心內容. 探索問題的過程是一種發掘的過程，可以徹底地理解課本原理，拓展學生的思維，提升解題能力.

3. 系統思考，總結歸納

問題的產生是一個系統的過程，所以解題的目的也是為了通過思考分析，層層推進，形成一個系統的思維體系. 在教學過程中，教師要善于利用教學資源，讓學生以一個研究者的身份去思考問題，敏銳觀察，系統歸納，讓教學成為一個系統探究的過程. 教師要讓學生學會總結歸納，發現問題的內在聯系，學會從不同的角度進行分析和綜合，從整體上把握解題思路，只有從整體出發，進行的創作認知才可以透過問題的表象深入精髓. 在數學解題中要鼓勵學生去深入探究，每一次思考都是一次成功的探究，每一次總結歸納都可以獲得思維上的提升，讓學生學會系統的思考才是教學的重點.

[?] 寫在最后

教學設計是教師能力的體現，一堂好的教學課可以使學生在理解基本知識的基礎上，獲得探究能力的提升，對于解析幾何的相關問題，筆者認為應該落實到課堂中，每一次課堂講授都值得精心設計.