零點分區(qū)法解不等式

董呂修

[摘 要] 在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)軸標(biāo)根法是解一元高次不等式的常用手段. 而這種方法是建立在多項式理論的基礎(chǔ)上得到的，因此有一定的局限性. 本文利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，作為數(shù)軸標(biāo)根法的一種推廣，給出了初等不等式（基本上可包括幾乎所有類型的不等式）的一種統(tǒng)一解法（筆者將此法稱為“零點分區(qū)法”），并結(jié)合幾個例子來談?wù)勊诓坏仁街械膽?yīng)用，以期對大家有所啟示.

[關(guān)鍵詞] 不等式；連續(xù)函數(shù)；介值定理；零點；分界點；統(tǒng)一解法

[?] 零點分區(qū)法及證明

為給出其證明，需要用到下面的引理：

引理1（介值性定理） 設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b），則對介于f（a）與f（b）之間的任意一個實數(shù)μ，都至少存在一點x0∈（a，b），使得f（x0）=μ.

為方便討論，用符號I表示區(qū)間，它可以是9種區(qū)間類型中的任何一種. 用不等式f（x）>0（或<0，≥0，≤0）表示初等不等式，它包括有理不等式（即整式不等式和分式不等式），無理不等式（特例絕對值不等式等），超越不等式（如對數(shù)不等式、指數(shù)不等式、三角不等式和反三角不等式）.

結(jié)合引理1及連續(xù)函數(shù)圖像的幾何直觀可以立即得到下列推論，它為零點分區(qū)法解不等式提供了理論依據(jù).

推論1 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，且f（x）≠0，?x∈I，則f（x）在I上恒正或恒負(fù).

注：（1）由于連續(xù)函數(shù)在相鄰兩個零點（如果有的話）之間的區(qū)間上處處不為0，因此它在該區(qū)間（不包括端點）上保號；

（2）可由區(qū)間I內(nèi)任意一點的函數(shù)值符號確定函數(shù)f（x）在I上的符號.

事實上，高中階段接觸到的函數(shù)主要是初等函數(shù)，而初等函數(shù)在其定義域的各子區(qū)間上連續(xù)，因此對絕大多數(shù)函數(shù)而言，推論1的連續(xù)性條件是滿足的.

基于上述理論可以歸納出如下用零點分區(qū)法解初等不等式的一般步驟：

（1）求出不等式的定義域（即為不等式兩邊函數(shù)的定義域的交集）；

（2）解不等式對應(yīng)的方程f（x）=0，求出其根（注意驗根）；

（3）用方程的全部根將定義域分成若干個子區(qū)間；

（4）在各子區(qū)間內(nèi)任取一點求出其函數(shù)值，根據(jù)推論1確定函數(shù)f（x）在各子區(qū)間上的符號；

（5）根據(jù)函數(shù)f（x）在各子區(qū)間上的符號，寫出不等式的解集.

注：從上述步驟可以看出，解不等式的實質(zhì)就是解方程. 即不等式的解集的端點只可能是定義域的分界點或不等式相應(yīng)方程的根.

[?] 零點分區(qū)法在不等式中的應(yīng)用