基于離散小波變換的梯度下降優(yōu)化算法的壓縮感知研究

陸澤茜+嚴(yán)春滿

摘 要 在壓縮感知的研究中，測(cè)量矩陣的優(yōu)化是其中很重要的一個(gè)領(lǐng)域。基于此提出一種離散小波變換的梯度下降優(yōu)化算法，首先構(gòu)造Gram矩陣，定義相關(guān)系數(shù)以其表征采樣效率，引入小波分解對(duì)原信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，在逐層分解中表現(xiàn)稀疏性。采用經(jīng)典分簇網(wǎng)絡(luò)模型作為研究基礎(chǔ)。在梯度所搜索的方向增加一個(gè)方向向量，達(dá)到優(yōu)化測(cè)量矩陣性能的目的。選擇高斯隨機(jī)矩陣，部分哈達(dá)瑪矩陣為測(cè)量矩陣，比較不同優(yōu)化算法，在實(shí)驗(yàn)?zāi)M的結(jié)果中，本文方法都有一定的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞 壓縮感知 測(cè)量矩陣 離散小波變換 互相干系數(shù)

中圖分類號(hào)：TN92 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1基于離散小波變換的梯度下降優(yōu)化算法

針對(duì)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中傳統(tǒng)測(cè)量矩陣方法無法滿足數(shù)據(jù)采集需求的問題。本文提出一種基于離散小波變換基的梯度下降混合算法，對(duì)原始測(cè)量矩陣進(jìn)行優(yōu)化。

1.1建立測(cè)量矩陣的優(yōu)化體系

針對(duì)測(cè)量矩陣與稀疏矩陣的非相關(guān)性，建立測(cè)量矩陣的優(yōu)化模型，矩陣的非相關(guān)性可等價(jià)為各列歸一化互相關(guān)系數(shù)的最大值。假設(shè)€%O為測(cè)量矩陣，€%q為稀疏矩陣，相關(guān)系數(shù)為衡量€%O和€%q之間的相關(guān)性，系數(shù)越小不相關(guān)性越強(qiáng)。令D=€%O€%q，表示對(duì)D所有列向量進(jìn)行列歸一化處理之后的矩陣，則相關(guān)系數(shù)€%e可定義為中任意兩個(gè)向量間內(nèi)積的最大值，即表達(dá)式（1）所示：

1.2信號(hào)的三層小波分解模型

為了解決優(yōu)化模型描述的問題，引入小波分解對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。離散小波變換基是稀疏表示中常用的正交基，是一種數(shù)學(xué)分層分解工具，對(duì)信號(hào)降噪有其明顯的效果。文獻(xiàn)指出測(cè)量矩陣要采樣的系數(shù)主要集中在系數(shù)序列的低頻部分，因此在對(duì)信號(hào)進(jìn)行了小波分解之后，在相同采樣條件下，測(cè)量矩陣的測(cè)量系數(shù)可以保持較重要的信息量，從而提高了信號(hào)的重建效果。

式中g(shù)（n）=（-1）nh1-n（n∈Z）。由于采集信號(hào)的多樣性，小波基和分解層數(shù)的選擇是影響信號(hào)去噪能力和重構(gòu)成功率的關(guān)鍵因素，如果層數(shù)過多會(huì)丟失信息嚴(yán)重，而層數(shù)過少去噪效果下降，都會(huì)對(duì)信號(hào)重構(gòu)帶來反作用，因此本文暫采用3層離散小波變換的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，對(duì)采集信號(hào)進(jìn)行分解處理。三層小波分解恰到好處，既能達(dá)到信號(hào)的降噪目的，又能保留足夠多的數(shù)據(jù)信息，使其信號(hào)的重構(gòu)成功率趨于穩(wěn)定。

2仿真實(shí)驗(yàn)

本文為了驗(yàn)證本文優(yōu)化方法的性能，實(shí)驗(yàn)選取信號(hào)長(zhǎng)度N為256稀疏度為K=10的諧波信號(hào)作為測(cè)試對(duì)象，分別選擇高斯隨機(jī)矩陣、部分哈達(dá)瑪矩陣為測(cè)量矩陣進(jìn)行模擬采樣，優(yōu)化方法分別使用本文方法和基于特征值分解的測(cè)量矩陣優(yōu)化方法、基于梯度迭代實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)量矩陣的優(yōu)化方法兩種方法進(jìn)行對(duì)比分析。

2.1測(cè)量矩陣優(yōu)化前后的相關(guān)性比較

由于相關(guān)系數(shù)是衡量測(cè)量矩陣和稀疏變換矩陣相關(guān)性的關(guān)鍵特性，因此結(jié)合實(shí)驗(yàn)一的數(shù)據(jù)分析結(jié)果，通過改變觀測(cè)數(shù)量M再次比較優(yōu)化前后測(cè)量矩陣與傅里葉基的相關(guān)性，如圖1所示。

通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比可知，在相同觀測(cè)值下，本文方法與特征值分解法和梯度迭代法兩種優(yōu)化方法對(duì)比，相關(guān)性均有所提高，其中通過本文方法優(yōu)化后相關(guān)性更小，并且隨著采集信號(hào)觀測(cè)次數(shù)的增加非相關(guān)性增強(qiáng)，說明新的優(yōu)化方法能夠滿足測(cè)量矩陣的優(yōu)化體系。

2.2小波分解對(duì)算法優(yōu)化性能的影響分析

在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中，影響信號(hào)的噪聲不可避免，而且是影響信號(hào)重構(gòu)誤差的最大因素，引入小波分解對(duì)原始性號(hào)進(jìn)行處理，降低信號(hào)的維數(shù)的同時(shí)保留較為重要的信息量。所以，在實(shí)驗(yàn)過程中對(duì)模擬信號(hào)增加正態(tài)分布、的噪聲驗(yàn)證本文優(yōu)化算法的魯棒性，如圖2所示。

3結(jié)論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，在噪聲影響下兩種優(yōu)化方法的重構(gòu)成功率均有波動(dòng)，在穩(wěn)定性方面，本文算法仍高于其他兩種方法，遠(yuǎn)高于未優(yōu)化的測(cè)量矩陣效果，而且本文方法對(duì)高斯隨機(jī)測(cè)量?jī)?yōu)化后對(duì)信噪有一定的抗性，信號(hào)重建誤差比較平穩(wěn)。這說明，信號(hào)通過離散小波變換后有明顯的降噪能力。通過此方法能夠降低原測(cè)量方法的數(shù)據(jù)空間復(fù)雜度，提高算法的收斂速度，增強(qiáng)測(cè)量矩陣與稀疏矩陣的非相關(guān)性。實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，該方法收斂速度快，數(shù)據(jù)重構(gòu)成功率明顯高于傳統(tǒng)測(cè)量方法，降低了測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)難度，提高了降噪能力，適合在低采樣率網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中應(yīng)用。

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