冪、指、對函數圖像增長差異的探究及應用

廣東省深圳市深圳中學 (518001)

黃文輝

冪、指、對函數圖像增長差異的探究及應用

廣東省深圳市深圳中學 (518001)

黃文輝

冪、指、對函數圖像增長差異在高考題中作為處理函數不等式問題的重要模型，高中數學人教A版必修1第101頁對其進行了定性描述，在學習了導數工具后，我們可對其進行定量研究．原問題即等價于問題1：證明：當α>0,a1,a2>1時，存在x0>0，當x>x0時，有ax1>xα>loga2x．

把問題1分為兩部分：問題1(1)：證明：當α>0,a>1時，存在x0>0，當x>x0時，有xα>logax；問題1(2)：證明：當α>0,a>1時，存在x0>0，當x>x0時，有ax>xα．

為證明問題1(1)，采取由特殊到一般的策略：首先，證明引理1：證明：當x>0時，有x>lnx．

引理2存在x0>0，當x>x0時，有xα>lnx．

問題1(1)得證．

問題1(2)證明：當α>0,a>1時，存在x0>0，當x>x0時，有ax>xα．

所以，課本上定性描述的一個結論，通過導數工具得到了定量的證明．此結論成為我們思考函數不等問題的依據．

例1 (2014福建理科數學壓軸題)已知函數f(x)=ex-ax(a為常數)的圖像與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1．

(Ⅰ)求a的值及函數f(x)的極值；

(Ⅱ)證明：當x>0時，x2

(Ⅲ)證明：對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x∈(x0，+∞)，恒有x2

(Ⅱ)對于任意給定的正實數λ、a，證明：存在實數x0，當x>x0時，f(x)>0．