初中數學教師迫切需要“高觀點”指導教學

嚴興春??

摘要：凡是高于自己所教學段，能夠正確指導本學段數學教學的數學方法都可以稱為高觀點。有許多初等數學的現象只有在更高的理論結構內才能被深刻地理解，初中數學的教學確實需要“高觀點”的指導。

關鍵詞：高觀點；初中數學教學

中圖分類號：G633.63文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）16-025-2

朱崇義、王宇峰兩位老師談到教師應當用高觀點指導初中數學的教學，對此，筆者覺得兩位的建議很有必要！但筆者以為，這里的“高觀點”不一定是指高等數學的觀點，而是指高于自己所教學段，能夠正確指導本學段數學教學的“高觀點”。那么初中數學教師為何要用“高觀點”指導教學？筆者現通過幾個初中數學教學中常見的知識，力圖厘清這個問題，請廣大同仁指正。

一、幾個案例說明我們的確需要“高觀點”指導

1.滿足“SSA”的兩個鈍角三角形真的全等嗎？

關于“SSA”能不能判定兩個三角形全等，向中軍老師在文說“如果兩個三角形都是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形，那么滿足“SSA”的兩個三角形是可以判定全等的……”。無獨有偶，2015年4月，筆者在蘇州市初一數學教學研討會上，一位老師在《全等三角形》的教學展示課上也談到滿足“SSA”的兩個鈍角三角形全等，更有甚者2016六盤水市中考數學試題也出現類似錯誤。反例如下：

已知：△ABC中，∠B=30°，BC=4，AC=3，解這個三角形。

略解：由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=23，則∠A=sin-123≈42°，∠C≈108°，AB=23+5或∠A=180°-sin-123≈138°，∠C≈12°，AB=23-5。從結果可以看出這個三角形有兩解，而且都是鈍角三角形。讓我們來把其中相等的關系理一理：這兩個三角形都有一條邊是4，即B1C1=B2C2=4，都有一個角等于30°，即∠B1=∠B2=30°且30°的對邊A1C1=A2C2=3，由于∠A1=138°，∠C2=108°故都是鈍角三角形，如圖所示，盡管它們是滿足“SSA”的一對鈍角三角形，它們卻不是一對全等的鈍角三角形！

反思：其實在鈍角三角形中，這個問題應當表述為“兩個鈍角三角形中，若已知兩個鈍角相等，且兩個鈍角所對的邊及另一對邊也相等，則這兩個三角形全等”。必須注意這里的條件一定要已知兩個鈍角相等，這樣由正弦定理，三角形的形狀和大小才唯一確定。所以這個問題更一般的表述應當是“兩組邊及其中較大邊的對角對應相等的兩個三角形全等。”文對這個問題采用分類探究的方法很好的解決了“SSA”什么情況下可以判定全等的問題，值得欣賞。不過如果從高中解三角形的角度看待這個問題更能反映問題的實質——三角形滿足何種條件有唯一解的問題。所以德國數學家克萊因認為“理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單”。

2.沒有給出圖形意義的按規律填空，答案必唯一嗎？

師：根據你發現的規律填空：1，4，9，。

生1：答案是16。

師：很好，說說你的解法！

生1：因為1=12，4=22，9=32，歸納出第四項應當是42，所以我的答案是16。

生2：老師，我的答案也是16，不過我是這么想的。因為題目相當于給出直角坐標系中三對點，即（1，1），（2，4），（3，9），因為答案是唯一的，所以前三者一定在某一給定函數的圖像上。所以令y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數），帶入上述三點，解得a=1，b=c=0。所以y=x2，令x=4，則y=16，故答案為16。

師：很好。這個同學能夠站在更高的視野，用函數的觀點來解釋這種找規律的問題。你的思維很有創造性！

生3：老師，我的答案和他們的不一樣，是22。不過，我覺得它也是對的！

師：你是怎么做的？

生3：我和他的想法差不多！不過我覺得這里應當是四個點出現在同一個函數圖像上！

師：這個想法沒有問題。

生3：所以我令y=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d為常數，a≠0），帶入上述三點，得b=1-6a，c=11a，d=-6a，再令a=1，則y=x3-5x2+11x-6，當x=4時，y=22。

師：這個確實有些奇怪，……

點評：記得以前曾經有老師撰文談到利用拉格朗日插值法（其實也可以用樣條函數插值法）來解釋這種不唯一的現象，拉格朗日插值法的本質是：總可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數。此處不再贅述用拉格朗日插值法或者用樣條函數插值求解的辦法，而是用初中生能理解的方法談談為什么會出現答案不唯一的現象。對照生2與生3的解法可以發現，生2設出的函數表達式中有三個系數，而問題原來給出的恰好是三個點，所以根據待定系數法可知的方程組自由度為0，有唯一解；而生3認為“應當是四個點出現在同一個函數圖像上”，所以在他所設出的表達式中就含有4個參數，同樣因為問題原來給出的只有三個點，所以根據待定系數法獲得的方程組自由度為1，有無數個解。生2之所以設出一個二次函數，是基于“因為答案是唯一的，所以前三者一定在某一給定函數的圖像上”這一判斷。

二、用“高觀點”指導初中數學教學≠初中階段的試卷考高中、大學的知識點

首先，朱崇義老師在他文章里提到的那些“高觀點命題思想”確實要不得！文章認為：“帶有選拔特征的數學教育考試往往前置思維考區，小學畢業生以“新概念”形式考初中知識體系、初中考高中、高中考大學知識等高于教材的事實性思維事件。這種超前的命題意識超出了現有教材的思維水平，反映了命題觀的高階性。”筆者強烈認為這種命題觀壓根不是什么“超前意識”，反而恰恰反映了命題意識的落后，與命題的“能力立意”的指導思想是格格不入的。近年來有些地方的中考數學命題中出現了高中的拋物線的準線、對數概念、弧度制等內容，為此筆者真的心疼這些地區的初三孩子們。有些孩子甚至有些老師，在第一時間看到這些知識為背景的考卷時簡直可以用欣喜萬分來形容，因為他們講過，而更多的孩子和老師則非常沮喪。請問這還能體現考試公平的原則嗎？筆者呼吁：不能隨便下放高中或大學的具體知識點，否則在當前高考指揮棒下，由于教、學、考的一脈相承，教師必然把原本應在高中、甚至大學講授的內容下放到初中進行拔苗助長式的教學，以力求能應對這種“高觀點命題”，長此以往，必將加重學生課業負擔，不利于發展學生的數學核心素養。文章的作者還認為中考命題“聚焦于初、高中知識的銜接點、交匯處的考查，并不是將高中知識下放到初中考查，而是基于課標和初中生認知能力，這是命題和教學必須守住的底線。”同樣文的作者對“高觀點命題”取向就“一直持反對的態度”。所以要用“高觀點”審視我們的初中數學命題，就是既要讓命題體現高中選拔的功能，與高中教學接軌，又不能下放高中或大學的具體知識點。要體現“方法優先”的原則，即命題時，優先考慮數學思想和數學方法的考查，特別是有利于后續數學學習的、對人的發展有長遠意義的思想方法，這些方法在高中數學、大學數學教材中都是應當得到充分展示的，這才是真正的“高階命題觀”。

[參考文獻]

[1]朱崇義.自然解法源于“高觀點”統領.中學數學教學參考（中旬），2016（04）.

[2]王宇峰.找回“自然解法”的本源意義.中學數學教學參考（中旬），2016（10）.

[3]向中軍.試題命制應緊扣教材和課標.中學數學教學參考（中旬），2016（05）.

[4]周玲.增加一節“SSA”探究課又何妨？中學數學教學參考（中旬），2016（06）.

[5]錢德春，何樂.數載堅守 只為初心.中學數學教學參考（中旬），2016（09）.endprint