淺談數形結合思想在初中數學中的應用

張旭

摘 要：在初中階段，我們會接觸到一類重要的思想方法——數形結合思想，數形結合思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖形聯系起來，通過“以數解形”可以使得抽象的數學問題具體化、形象化，也就是將抽象思維轉變為形象思維，這有利于解決數學中的一些復雜問題，從而把握數學的本質。運用這一思想能解決初中數學中的一些問題，并且解法簡潔，最終能有效的解決問題。下面簡單的說一說數形結合思想在初中數學中的應用。

關鍵詞：初中數學；數形結合；應用；數學問題；解題

數形結合思想，簡單來說，數字與圖形就像是數學中的兩條腿，互相依靠，誰也離不開誰。要是從深層次理解數形結合思想，需要從“以數助形”和“以形助數”這兩方面來體會，此外，在相關的函數問題中應用數形結合思想解決實際數學問題，會取得事半功倍的效果，本文從“以形助數”、“以數助形”、“函數中數形結合思想的運用”三個方面來探討數形結合思想在初中數學中的相關應用。

一、以數助形

從“以數助形”的角度來看“數形結合”思想主要有以下體現：可以利用數軸、平面直角坐標系把幾何問題進行代數化，還可以利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題。下面簡單說一下利用距離公式來解決幾何問題。

例1.在平面直角坐標系中，A（2，3），B（5，3），C（2，5）是三角形的三個頂點，求BC的長。

這是人教版二次根式練習中的題，這一題經過轉化后實質上就是求平面上兩點之間的距離，而在本題中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可得。

這個問題實質上是利用數形結合的思想來推導在具體點的坐標下的兩點之間的距離公式。利用同樣的思想可以推導出平面上兩點之間的距離公式：平面上點[A（x1，y1）]、[B（x2，y2）]，則A，B兩點之間的距離[d=（x1-x2）2+（y1-y2）2]。兩點之間的距離公式對求解相關的距離問題是比較常用的“以數助形”的一種方法，能夠利用熟練的利用這種思想能夠使相關幾何中距離問題的求解得到極大的簡化。

二、以形助數

幾何圖形在數學的學習中通俗易懂，所以在說到“數形結合”思想時，我們更傾向于“以數助形”的解題方法，利用圖像、圖形來解決不易求得結果的代數問題。幾何圖形在代數問題中有以下幾方面的應用：

1.利用數軸及平面直角坐標系將一些代數表達式賦予幾何意義，通過構造幾何圖形，進而幫助求解相關的代數問題，或者簡化相關的代數運算。

2.利用相關的幾何圖形幫助記憶代數公式，例如：完全平方公式與平方差公式。

例2.將一個正方形和三個長方形拼成一個大長方形，請觀察這四個圖形的面積與拼成的大長方形的面積之間的關系。

（1）根據你發現的規律填空：

[x2+（p+q）x+pq]=（____）×（____）

（2）利用（1）的結論將下列多項式分解因式：

①[x2+7x+10]

②[y2-7y+12]

這一題實質上是在推導人教版八年級上冊數學第15章選學部分關于[x2+（p+q）x+pq]型式子的因式分解。利用這個圖形能比較方便的得出[x2+（p+q）x+pq]的分解結果為[（x+p）（x+q）]，進而可以得出此題第（2）問的求解：①[（x+2）（x+5）]，②[（y-3）（y-4）]。并且利用類似的數形結合的方法還可以加深對[x2+（p+q）x+pq]的分解結果的記憶，另外對于平方差公式以及完全平方式都可以利用這一思想來識記。

三、函數中數形結合思想的運用

函數的魅力在于能將生活中的一些復雜數學問題轉化成我們熟悉的函數模型，進而得到解決。形象來說，函數就像一個機器，每個自變量都會對應一個因變量，也就是“數”，函數的圖像就是我們所說的“形”，能夠確定出方程的解。所以，在生活中遇到復雜的數學問題，我們可以建立數學函數模型，將數與形結合起來。

例3.某家電信公司提供了兩種方案的移動通訊服務的收費標準，如下：

A方案：月租費30元，每月可以免費通話120分鐘，超出后每分鐘加收0.4元。

B方案：月租費50元，每月可以免費通話200分鐘，超出后每分鐘加收0.4元。

如果請你選擇其中一種方案，應如何選擇？

分析：本題是較優方案選擇問題，在初中數學中比較常見，這類問題通常可以通過函數的模型加以解決。通話的費用與通話的時間有關，因此先建立通話費用y關于通話時間x的函數關系。接下來有兩種解法，從“數”的角度，化歸為解一元一次不等式或方程來求解；從“形”的角度，畫出各個函數的圖象，求出交點坐標，分析每一段圖象的位置來比較方案的優劣。

解：設每月通話時間為x分，A方案通話費用為[y1]，B方案通話費用為[y2]，則

[y1=30（0≤x≤120）30+0.4（x-120）=0.4x-18（x>120）]

[y2=50（0≤x≤200）0.4x-30（x>200）]

在同一坐標系中畫出函數圖象，通過觀察圖象可得：

當[0≤x<170]時，[y1170時，[y1>y2]，此時應選擇B方案。

總之，數形結合思想在對于培養學生的空間和數感方面有啟迪作用，可以將生活中的復雜問題轉化成具體問題。正如數學家華羅庚說過的：數形結合千般好，數形分離萬事休。數形結合思想是初中乃至高中中的一種重要方法，在解決數學問題給我們極大地幫助。

參考文獻：

[1]程曠主編.巧學初中數學80法[M].農村讀物出版社.

[2]安徽省2011—2012學年度第一學期第一次聯合考試試卷.七年級數學.

[3]義務教育課程標準實驗教科書，數學，八年級上冊[M].人民教育出版社.