暢你所見
——埃舍爾藝術作品的數學美

安徽省合肥師范學院數學與統計學院 阮 征

暢你所見
——埃舍爾藝術作品的數學美

安徽省合肥師范學院數學與統計學院 阮 征

埃舍爾是將理性思維和藝術表現發揮到極致的藝術家和思想家。在他的藝術作品中，往往能夠體現數學思維融入繪畫藝術創作，為繪畫藝術增添了數學之美，其作品被科學家認可。如果說數學家開啟了通往宇宙之門的鑰匙，那么埃舍爾就是那個將理性思維和藝術表現發揮到極致、把情感和生靈給予這個空曠的世界的藝術家。他的作品的成功之處不僅來源于他精湛的繪畫能力，而且在于他將數學美融入藝術創造中。本文通過介紹數學美的內容和最數學的畫家埃舍爾，從平面鑲嵌、多面體、空間形狀、拓撲學效果和自我復制五個方面走進埃舍爾的“不可能”世界，剖析埃舍爾藝術作品中所能看見的數學美，領略埃舍爾賦予這些抽象的數學美以具體的表象。

埃舍爾；數學思維；數學美

愛美之心，人皆有之。人們執著地追求美，但什么是美，卻很少有人能夠具體地描述出來，當我們看到一幅精美的圖畫時，便會感到心情愉悅，受到一種美的熏陶，這難道不就是一種美嗎？現如今，數學已滲透到文學、音樂、美術、建筑等大量領域之中，之所以數學可以如此廣泛地存在于生活的各個方面，就在于數學存在一種美，數學美是豐富的，如數學結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性與普遍性，數學中的奇異性等都是數學美的具體內容。20世紀最偉大的數學家希爾伯特把數學比喻為“一座鮮花盛開的園林”，由此足以看到藝術與數學美有著悠遠的歷史。早在公元前6世紀，畢達哥拉斯就把數與美聯系起來，將數看作是美的本源，認為“事物由于數而顯得美”，一切藝術都產生于數，甚至整個天空都是一個音樂的音階和一個數。數學家和物理學家用數字符號描述這個世界，而在荷蘭圖形藝術家摩里茨·科奈里斯·埃舍爾看來，“在數學領域，平面規則分割已經從理論上獲得了充分的研究，數學家打開了一扇通向無限可能性的大門，但是他們自身并沒有進入其中看看，他們特殊的稟賦使他們對如何打開這扇門的方式更感興趣，而對隱藏在其后的花園不感興趣。如果我們想構建一個宇宙，不能讓它是模糊不清的抽象物，而必須是可以識別的具體形象”。埃舍爾的創作筆記《不規則圖案的平面規則分割》等，證明了他和達·芬奇一樣，都是致力于對藝術創作的基本原理做徹底探究的藝術家。下面就走進埃舍爾藝術作品中的“不可能”世界，去領略其中的數學美。

一、最數學的畫家埃舍爾簡介

1898年出生在荷蘭的埃舍爾，自稱是一個“圖形藝術家”，專門從事木版畫和平板畫。1956年，埃舍爾舉辦了生平第一次重要的畫展，這個畫展得到了《時代》雜志的好評，使他獲得了世界范圍的名望，許多數學家給予了埃舍爾藝術作品充分的肯定，認為埃舍爾的藝術作品中數學的原則和思想得到了非同尋常的形象化。后來隨著埃舍爾創作的發展，創造了許多反映悖論和“不可能”的圖形結構的藝術作品，讓全世界看到了藝術作品中的數學美。

二、剖析埃舍爾藝術作品中的數學美

1．鑲嵌圖形

我們都知道，規則的平面分割叫作“鑲嵌”，鑲嵌圖形是完全沒有重疊并且沒有空隙的封閉圖形的排列。一般情況下，構成一個鑲嵌的封閉圖形的基本單元是多邊形或類似的常規形狀，然而更使埃舍爾著迷的是那些不規則的、形狀特別的平面鑲嵌。埃舍爾曾經在他的一篇關于鑲嵌圖形的文章里談到：“從數學領域來看，規則的平面分割已經在理論上進行了研究……難道這意味著它只是一個嚴格的數學問題嗎？按照我的意見，它不是。數學家打開了一扇通向無限可能性的大門，但是他們自身并沒有進入其中看看。他們特殊的稟賦使他們更感興趣的是如何打開這扇門，而不是門后面的花園?！?/p>

埃舍爾平面鑲嵌的很多藝術作品中，都運用了幾何學中的反射、旋轉來得到更多變化的圖案，埃舍爾也努力使這些圖案通過扭曲變形成為人、鳥、魚、蜥蜴等動物，這樣的效果既是美不勝收的，又是令人拍案叫絕的。當中體現出最為神奇的數學美是埃舍爾的平面鑲嵌圖形每次都能鋪滿整個平面，下面以埃舍爾的《黑白鳥的鑲嵌》（如圖1所示）和《騎士平面鑲嵌》（如圖2所示）為例：

圖1

著名數學家彭羅斯多次提到埃舍爾的設計思路對數學思維的啟發，在黑白鳥的平面鑲嵌里，觀眾看到的是向西北方向飛翔的深色鳥和白色鳥布滿了整個平面，通過鑲嵌圖形形成的黑白鳥在變化中并不脫離最初的圖案?，F在經常將這些圖案模式運用到多邊形的鑲嵌圖形中。

圖2

而《騎士平面鑲嵌》就給觀眾呈現了某種怪異的對稱現象，假如把白騎士看作一個圖形，黑騎士就成了“背景”，倘若把黑騎士揭起來，翻轉180°，就可以和原來的白騎士重疊，不僅表現出了數學上翻轉、重疊的美，也表現了物理世界中某種“對稱”的破壞和缺損——在弱相互作用下的“守稱不守恒”，可見藝術不僅和數學有密切聯系，也和物理、科學之間有著相通之處。

2．多面體

對埃舍爾來說，數學上規則的幾何體中，多面體尤為具有特殊的魅力，他把多面體作為自己許多藝術作品的第二重要元素出現。

從理論上講，正四面體、正方體、正八面體、正十二面體和正二十面體這五種立體圖形可以被視為理想的多面體，即有4個三角形表面的正四面體、有6個正方形表面的正方體、有8個三角形表面的正八面體、有12個五邊形表面的正十二面體，在他的木版畫作品《四個常規的幾何體》中，將四種多面體勻稱地交叉，使它們呈現出半透明狀，觀眾可以有效地辨認出來。

圖3

交叉幾何體常出現在埃舍爾的藝術作品中，體現出濃厚的數學美，以這幅有趣的木版畫《星空》（如圖3所示）為例：這是一個由八面體、四面體、立方體和變色龍交叉構成的幾何體，這些正面體都是外凸的，同時還存在內凸的正多面體，數學家已證明出存在26種可能的規則立體，它們之間互相交叉還可以形成無數規則的立體系列，然而倘若單單畫出這些規則的立體幾何，想讓觀眾對這幅藝術作品產生興趣是十分困難的，可在這里，埃舍爾引入了兩條栩栩如生的變色龍，使它們居住在這個周圍一片漆黑且飄浮著無數規則立體星空的奇妙正多面體中，帶給觀眾一種奇妙的視覺沖擊，完美展現出了立體幾何的數學美。

3．空間的形狀

在埃舍爾用數學觀點完成的所有重要藝術作品中，最重要的是處理空間性質的作品，以《瀑布》（如圖4所示）為例，從中可以看到很多美妙的幾何圖形，更容易會發現原來富有規則的線條也是那么令人著迷。不禁引發觀眾思考：是否存在這樣一種圖形（如圖5所示）？

圖4

圖5

這種圖形在數學上被稱為彭羅斯三角，是所有不可能圖形中最基礎、最著名的一個。彭羅斯三角被很多人獨立發現過，最早的也許是1934年18歲的瑞典學生奧斯卡·路特斯瓦德的課堂涂鴉。在看到了埃舍爾的作品《樓梯房間》（如圖6所示）之后，羅杰·彭羅斯和他的父親一起寫了一篇論文，分析了這種錯覺以及當中存在的數學美，從而提煉出彭羅斯三角和彭羅斯樓梯等幾個基本形態，還把這篇論文寄給了埃舍爾，反過來埃舍爾受此啟發，創作出了最有名的不可能作品《瀑布》。

圖6

反觀《瀑布》，不難發現這個瀑布本質上就是兩個彭羅斯三角的疊加，形成了矛盾的空間，顯示了埃舍爾對空間維度的關注以及用二維的方式表現三維空間的矛盾和詭術，剛性的維度在埃舍爾手中好像成了一團面，可以任意扭轉彈拉、可以在自己想象空間里展現出各種不同維度空間和它們不可思議的魔法轉變。

以下面這幅《三個球面》（如圖7所示）為例，這三個簡單的幾何體號稱球面。對于最上面的幾何體，觀眾都毫不猶豫地認為這是個球面，可萬萬沒想到這只不過是一個在二維平面上畫的球面。埃舍爾把這個球面折了一下，經緯線做了一定的變動，將其放到了中間，觀眾眼里就看到了一個半球面，仍然沒料到這個半球也在二維平面上。繼續壓那個球面，直至它成了一張皮，攤在桌上，觀眾這才意識到最下面的那個是一個二維的圓，可這個二維圓卻在一個三維空間里，更像是三維球面在一個三維桌的桌面上的投影。

圖7

從這些空間形狀的藝術作品中我們不難發現，埃舍爾有效地利用了矛盾空間彰顯數學美，具有非常好的視覺效果。

4．拓撲學效果

埃舍爾對拓撲學的視覺效果也很感興趣。眾所周知，拓撲學關注的是空間扭曲后依然不變的性質，這種扭曲可以是彎曲或伸長，但不是崩斷或撕裂。早在1946年，埃舍爾在前文所說的藝術作品《騎士平面鑲嵌》中，就已經采用了一些具有重要拓撲學價值的形象，在此之后又多次嘗試通過藝術作品具體表達數學上的美和有趣。拓撲學的視域是向世界展現那些奇怪的物體，莫比烏斯帶就是最具有代表性的例子，它擁有一個特別的性質：只有一個邊和一個面。

圖8

以埃舍爾的藝術作品《莫比烏斯帶上的螞蟻》（如圖8所示）為例，如果我們跟蹤螞蟻的路徑，就會發現螞蟻并不是在相反的面上爬行，而是都爬行在同一個面上。這就是埃舍爾藝術作品中展現出的拓撲學價值和數學美。

5．自我復制

埃舍爾的藝術作品總能和數學、信息科學有著千絲萬縷的關聯，當中一個重要概念就是自我復制，其平版畫藝術作品《互繪的雙手》（如圖9所示）和木版畫《魚和規?！罚ㄈ鐖D10所示）就用不同的方法表現出了“自我復制”的數學美。

圖9

從畫面上來看，左手畫著右手，右手又畫著左手，左右手互繪，埃舍爾好像要表達出“你中有我，我中有你”的意思。我們不難看出，《互繪的雙手》的自我復制是直接明了的，雙手互繪對方，互繪方式就是意識思考和構建自己的方式。令觀眾感到自我復制的數學美、神奇之處在于這里兩只手的自我和自我復制是完全循環連接在一塊的，是同等的。

圖10

而在《魚和規?！愤@幅藝術作品中，自我復制的數學美發揮了更大的功能，也可稱作自我相似。從更深層次水平上講，自我復制是一種以我們的認知世界互相反映和互相交錯的結果。這樣的藝術作品所描述的不僅僅是魚，而是所有的機體。

通過剖析埃舍爾藝術作品中的平面鑲嵌、多面體、空間形狀、拓撲學效果和自我復制體現的數學美，可以看出藝術作品可以體現數學之美，事物的數學性蘊含著詩意，這不是每個人都能做到的，而埃舍爾從數學思想中獲得了巨大的靈感，從生活中的事物的精確、規則、秩序中發現數學美，工作中經常使用直接平面幾何和射影幾何的結構，這便使他的藝術作品深刻反映了非歐幾里得幾何學的精髓，其繪畫藝術中的數學之美，將繪畫藝術和數學進行融合、將自己感悟出的數學美通過錯綜復雜的視覺效果傳達出來，為后人創造出更多充滿數學之美的繪畫作品提供了非常重要的指導意義。也許，數學是他的藝術之魂，他沒有故意表達的數學思想，而是在表達他自己的思想。埃舍爾用他這種獨特的理性思維結合他無與倫比的藝術稟賦，為這些抽象的數學美賦予了具體的表象。

[1]朱敏．試議埃舍爾繪畫藝術中的數學之美[J]．美術教育研究，016（9）：24．

[2]李凱歌．淺析埃舍爾藝術作品的數學之美[J]．黑龍江科技信息，008（33）：257．

[3]張景中，易南軒．好玩的數學：數學美拾趣[M]．北京：科學出版社，2015．

[4]H．S．M．Coxeter，M．Emmer，R．PenroseandM．L．Teuber，M．C．Escher：Artand．

Science，ProceedingsoftheInternationalCongressonM．C．EscherRome，Italy，26-28March，1985，146-152．

[5]H．S．M．Coxeter，M．Emmer，R．PenroseandM．L．Teuber，M．C．Escher：Artand

Science，ProceedingsoftheInternationalCongressonM．C．EscherRome，Italy，26-28March，1985，287-339．

[6]王眾杰，楊敬飛．埃舍爾的魔幻圖形及其數學原理[J]．科技信息，2017（1）：82-83．

【本文系基金項目：合肥師范學院2017年度研究生創新基金項目《數學教師入職期關鍵事件對其成才的作用分析》，項目編號：2017YJS10。】