多元均值不等式的構造策略

山東省壽光現代中學 張靖涵

多元均值不等式的構造策略

山東省壽光現代中學 張靖涵

均值不等式是求解最值、證明不等式的常用工具，其中“正”、“定”、“等”是該不等式應用的三個原則，而構造定值是應用的關鍵，特別對于存在多個變量的不等式問題，本文對多元均值不等式的構造策略舉例探究如下。

策略一：整體性原則

例1 已知正實數x，y滿足xy+2x+y=4，則x+y的最小值為________。

思路分析：本題所求表達式x+y剛好在條件中有所體現，所以考慮將x+y視為一個整體，將等式中的項往x+y的形式進行構造，y+2x+y=xy+x+(x+y)=x（y+1）+（x+y），而x（y+1）可以利用均值不等式化積為和，從而將方程變形為關于x+y的不等式，解不等式即可。

【點評】本題含有兩個變量x，y，直接應用均值不等式缺少“定值”這一重要條件，而將x+y視為一個整體，在此基礎上應用均值不等式，將x（y+1）轉化為x+y+1，從而將方程變形為關于x+y的不等式，解不等式即可。

策略二：拆分項的策略

思路分析：本題變量個數較多且不易消元，考慮利用均值不等式進行化簡，要求得最值則需要分子與分母能夠將變量消掉，觀察分子y，yz均含y，故考慮將分母中的y2拆分，與x2，z2搭配。

【點評】本題在拆分y2時還有一個細節：因為分子xy，yz的系數相同，所以要想分子分母消去變量，則分母中xy，yz也要相同，從而在拆分y2的時候要平均地進行拆分（因為x2，z2系數也相同）。所以利用均值不等式消元要善于調整系數，使之達到消去變量的目的。

策略三：參數分離法

例3 已知正實數x，y滿足x+y+3=xy，若對任意滿足條件的x，y，都有恒成立，則實數a的取值范圍為________。

【點評】本題通過參數分離即可得到積為定值的模型，而難點在于求得x+y的取值范圍，而已知關系式x+y+3=xy中既有x+y又有xy，故考慮均值定理轉化為x+y的不等式，通過解不等式獲得x+y的取值范圍。

在上述問題中，要構造均值不等式，首先要從“定值”入手，其基本策略為：觀察結構，合理變形，“定值”優先，巧借整體，化多元為一元，尤其要防范“等號”不成立帶來的錯誤。