中心極限定理的實際應用例談

河南科技學院新科學院 程 楠

中心極限定理的實際應用例談

河南科技學院新科學院 程 楠

中心極限定理是概率與數理統計學中較為重要的一個內容，它主要是探討隨機變量和的分布以正態分布為極限的一組定理。這些定理是概率與數理統計的一個理論基礎，闡明了大量隨機變量近似服從正態分布的基本條件。本研究以舉例的形式，對中心極限定理的實際應用進行了闡述，旨在為該定理的實際應用提供一定的參考依據。

中心極限定理；實際應用；原理

中心極限定理是概率與數理統計中較為重要的一個知識點，且該知識點是概率論與數理統計之間的一個非常重要的樞紐。該理論指出，大量隨機變量之間的加和存在與正態分布相近的分布。所以說，該定理提供了大量獨立隨機變量之間加和的近似概率的簡便方法，而且還很好地解釋了大部分自然群體的經驗呈正態分布曲線的具體原因，同時，上述結論也促使正態分布的應用變得更為廣泛。本研究首先對大數定律與中心極限定理的兩大常見定理進行了介紹，然后提出了該定理在實際中的應用情況。

一、大數定律與中心極限定理的兩大定理

1．林德貝格·勒維中心極限定理

通過上述結論，我們得知：只有當n足夠大的時候，Yn才近似～N（0，1）；當n不夠大或者較小時，則無法確保上述近似。也就是說：當n足夠大的時候，可使用標準正態分布N（0，1）來對與Yn相關事件的概率進行近似計算；而當n不夠大的時候，上述計算的近似程度則無法得到保障。當Yn服從標準正態分布N（0，1）的時候，有下式：

2．棣莫弗·拉普拉斯中心極限定理

定理2：設在n重貝努力試驗之中，每次出現A事件的概率為p（p∈（0，1）），現將n次重復試驗中A事件出現的次數記為且記：

通過上述結論，我們得知：正態分布屬于二項分布的極限分布，應用上述結論計算二項分布的概率的前提條件同樣是n足夠大。

二、中心極限定理的實際應用舉例

例1 假設在n重貝努力試驗之中，A事件每次發生的概率為0.7，若要使得A事件發生的頻率在0.68～0.72范圍之內出現變化的概率＜0.9，那么：若要滿足上述結論，需要進行多少次重復性試驗？

若要解決上述問題，首先應該假設n重貝努力試驗中，A事件發生的次數為X，那么根據題設條件可得：X～b（n，0.7）。則有：

E（X）=0.7n，D（X）=0.21n，相對應的概率可表示為X/ n。根據問題要求，若要求出試驗次數n，使得P{0.68≤X/ n≤0.72}≥0.90，可使用切比雪夫不等式進行估算，于是得出如下計算式：

那么上式就轉化為解不等式1-525/n≥0.9，根據計算可得n≥5250。那么這就是說，至少要進行5250次試驗，才能夠滿足題目中要求的條件。

例2 某工廠一車間現有200臺車床，由于相關因素的影響使得這些車床出現停車的情況，現假設每臺車床開始運行的概率為0.6，每臺車床開始運行時耗電量為1kw·h，且假設每臺車床開始運行或者停止運行均為相互獨立事件。求至少要供應該車間多少電量，才可使得200臺車床以99.9%的概率因不斷電而運行？

若要解決上述問題，首先應該假設在任意一個時間點開工的車床的數量為X，那么X～B（200，0.6），np=120，np（1-p）=48，至少需供電量為N kw·h。根據棣莫弗·拉普拉斯中心極限定理可以得出如下公式：

因此，至少供應電量數為141kw·h，方能確保該車間以99.9%的概率不會因供電量不夠而對生產產生影響。

例3 現已知某保險公司中有10000名處于同一個年齡范圍內的人參加人壽保險，且在同一年之內其死亡率為0.1%，參加此保險的人在每年的元月一號繳納10元的保險費，若投保者出現死亡的情況，則可向該保險領取2000元的撫恤金。求該保險公司虧本的概率是多少。

若要解決這個問題，首先應該假設在同一年中死亡的人數為X，出現死亡的概率為0.001，那么將10000名在同一年之內是否死亡看成為“10000重貝努力重復試驗”，對于10000人的保險費，保險公司總收入為100000元，需要為死者家屬提供2000X的撫恤金。那么，保險公司虧本的概率可用下式進行計算：

根據上述計算可以得知，我們可將中心極限定理的知識對保險公司的虧本概率進行準確計算，它能夠為保險公司提出降低風險因素的決策提供計算依據。

綜上所述，中心極限定理是數理統計之中較為重要的一項內容，它以非常嚴格的數學形式對大樣本前提下的數理統計與概率計算進行闡述。無論總體分布狀況怎樣，在該定理的計算模式下，所選取的樣本均值均服從標準的正態分布。該定理在實際生活中的應用較為廣泛，為人們的生活帶來了極大的便利。

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍．概率論與數理統計教程[M]．北京：高等教育出版社，2004．

[2]謝興武，李宏偉．概率統計釋難解疑[M]．北京：科學出版社，2007．

[3]齊治平．概率論與數理統計題庫精編（經濟類）[M]．沈陽：東北大學出版社，2000．