從一道小題談如何引導(dǎo)學(xué)生對問題的變式探究

江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級中學(xué) 嚴(yán)秋蘭 嚴(yán)戍樓

從一道小題談如何引導(dǎo)學(xué)生對問題的變式探究

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這是一道填空小題，看上去十分簡單，但是卻難倒了不少學(xué)生。從他們的表現(xiàn)來看，有好多值得耐人尋味的地方。現(xiàn)從我們的教學(xué)實踐來談?wù)勅绾谓?jīng)過系列變式設(shè)計，引領(lǐng)學(xué)生對問題進(jìn)行深入探究，使得他們既能對同類問題達(dá)到觸類旁通之效，又能幫助他們把握問題的實質(zhì)而跳出題海之果。

一、方法上的探究

解法1：學(xué)生對恒成立問題，常常使用分離變量的手段。所以好多學(xué)生采用下面的解法：

分離變量不太好辦，老師的作用就是要適時提醒學(xué)生：難道恒成立就只有分離變量這一條道嗎？于是，學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為：恒成立，從而學(xué)生有下面的解法：

很少有學(xué)生能夠完成上述解法。難點之一是要對實數(shù)k進(jìn)行分類討論；難點之二是在時，導(dǎo)數(shù)的零點不具體。而目前江蘇教材沒有反三角函數(shù)的內(nèi)容，使得學(xué)生對更難想到處理方法。

既然以上兩個方法都使得很多學(xué)生無功而返，但又感到這樣一道小小的填空題真使人丟之可惜，這時老師可結(jié)合填空題不需詳細(xì)論證，數(shù)形結(jié)合不失為一種可行的方法來啟發(fā)學(xué)生。

圖1

圖2

顯然，幾種解法中以解法3最為簡單明了，作為填空題，這種解法是相當(dāng)成功的。但是作為解答題，必要的解題過程就顯得解法3較為粗糙了，而此時的解法2就顯得較縝密了。

二、同類題方面的探究

這道題也是我們碰到的與題1類似的題目，最簡單的解法自然和題1的解法3類似。

解法1：本題是一道填空題，從圖形上看，可以考查等式兩端的兩個函數(shù)的圖象，它們都過（1，0）點（如圖3），易求得過該點處函數(shù)的切線的斜率為1，由數(shù)形結(jié)合得滿足條件的k的范圍是同樣的問題是，如果是解答題，需要必要的說理過程，用類似題1的解法2 的方法行之有效。

這是一個恒成立問題，而處理恒成立問題常常使用分離變量的手段。請看學(xué)生下面的解法：

圖3

學(xué)生解題的失敗就是他們對不等式恒成立下的參數(shù)范圍的確定時，使用分離變量的這種思維定式太強了。吃了苦頭的學(xué)生感到分離變量不好使了，思維發(fā)散一下看看，走向了它的反面：不分離變量，下面選自另一部分學(xué)生的解答。

此解法是解法2的定式思維發(fā)散的結(jié)果，形成了另一新的定式：轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間上非負(fù)。但是此法要對k的諸多范圍進(jìn)行討論，有的學(xué)生在對原函數(shù)求導(dǎo)后就做不下去了，不僅感到煩瑣，而且根本就不會討論。

如果將題2中的x的范圍改變，可得下面的題3：

將題2，題3綜合起來，自然可得題4：

解法2：由于本題是填空題，從圖象上看可以考慮等式兩邊兩個函數(shù)的圖象，它們都過點(如圖4)，易求得該點處函數(shù)的切線的斜率為1，由數(shù)形結(jié)合得滿足條件的k的范圍是

圖4

解析：本題是一個填空題，首先，學(xué)生可以像題1一樣用分離變量和移項構(gòu)造新函數(shù)的方法，但都比較煩瑣，基于填空題的特點，我們還是可以考查等式兩端的兩個函數(shù)圖象（如圖5），它們都過點，易求得函數(shù)在處的切線方程為函數(shù)在點處的切線方程也是且兩個函數(shù)在切線的兩側(cè)，由數(shù)形結(jié)合可得

圖5

上面解法1明較煩瑣，學(xué)生理解較困難，我們也可以模仿上面的方法簡化解題步驟，使學(xué)生能夠較輕

松地解決本題，請看解法2：

圖6

圖7

三、邏輯思維方式上的變通

題8解答中的三個必要條件的選取，使得其解答十分簡潔。若不然，僅從出發(fā)進(jìn)行討論，則要分的情況討論，且在的情況還要對是否在區(qū)間內(nèi)再進(jìn)行二次討論，那就使得解答十分冗繁。