“微探究”為數學課堂增彩以“直線與圓的位置關系”第二課時為例

賈高翔

摘要：在新課程標準下，探究式教學成為數學教學中的重要方式。但是在實際教學中，探究式教學活動很難在數學課堂中完整展現，達不到促進學生自主探究能力的發展和合作性的學習，容易把教師帶入誤區，忽視教學內容和教學目標。為了更好地把探究式教學應用到數學課堂，學者們提出了“微探究”。本文通過評述“微探究”的一個案例來講述“微探究”在中學數學中的應用。

關鍵字：探究式教學 “微探究 ” 數學教學

一“微探究”的相關背景

《數學課程標準》（2011版）指出：學生學習應當是一個生動活潑的，主動的和富有個性的學習。除接受學習外，動手實踐，自主探究與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察，實驗，猜測，計算，推理，驗證等活動的過程。因此傳統的以教師為主導和主體的灌輸式教學不能滿足現在的數學課堂標準，為了在熟練掌握知識下還能體現學生的主體性以及發展學生的發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，我們倡導在數學課堂教學中引入探究式教學。探究式教學是指在教學過程中，學生在老師的幫助下，通過學生自己的探究和小組的合作對當前教學內容中的主要知識點進行自主的理解，學習和探究，從而更好地達到課程標準中關于知識與技能目標和情感目標要求的一種教學模式。但是，通過對課堂教學的觀察，我們發現探究式教學過于籠統，教師無法真正地理解什么才是探究式教學，往往走入教學誤區。

例如，在學習完全平方展開式的時候，有的老師為了使用探究式教學，他會告訴學生（a + b） =a +b +2ab，然后讓學生用具體的數字去探究這個式子是否正確。在這個教學過程中我們的探究是沒有意義的，老師只是為了探究而探究，忽視了教學內容，本節課的教學應該是讓學生了解完全平方式的展開式是什么，怎么去證明。類似于這樣的教學有很多，通過對以往教學的反思，為了有效地使用探究模式，我們覺得老師在探究中的引導也是非常重要的。著名心理學家維果斯基提出的“最鄰近發展區”理論認為，兒童解決問題的實際發展水平和在教師指導下解決問題的潛在水平之間是有差距的，那么兒童如果想要發展到潛在水平是需要老師的幫助的，但是老師的指引和幫助是需要把握一個度的，因此優秀的教師想到了探究式教學和支架式教學可以結合起來，提出了“微探究”，縮小了探究式教學的范圍。

“微探究”是指是根據教學內容，圍繞某個小知識點或某一問題，選好合適的探究點，從一堂課中拿出5～10分鐘，在教師的組織、引導下，讓學生用自我探究或合作交流的方式學習。“微探究”教學具有小巧、靈活、用時少、便于操作的特點，它作為探究式教學模式的一種，為數學課堂探究教學找到了一種有效地實施途徑。

微探究活動以學生為本，它能提高學生的學習興趣，以某個知識點引入，引導學生積極思考主動地發現問題，培養思考的習慣，形成數學能力的作用。下面將引入具體案例來表現“微探究”在數學課堂中是怎么產生作用的。

二“微探究”的具體案例

在數學九年級上冊“直線與圓的位置關系”第二課時的教學中，我們這節課的教學目的是讓學生掌握判斷直線與圓位置關系的方法。

1. 制造矛盾，打開探究之門

師：今天我們學習“直線與圓的位置關系”的第二節課，在上課之前，一分鐘的時間你們先畫畫圖，看一看直線與圓有幾種位置關系？（接下來同學們在畫圖，老師在教室里走動觀察學生們的畫圖情況）

師：時間到了，請同學們停筆看黑板，我發現咱們同學畫有三種類型的圖：

師：同學們看第一個圖，直線與圓明顯有兩個交點，此時直線與圓是相交；第二幅圖，直線與圓沒有交點，直線與圓相離；那看第三幅圖，我們知道直線與圓有且僅有一個交點時是相切，可是這幅圖中直線與圓有幾個交點，直線與圓是什么關系？

生1：明顯看出來，有一個交點，是相切。

生2：不對，直線與圓有很多重疊部分，也許會有很多交點，是相交。

師：現在我們分為了兩派，有一個交點，有很多交點，到底有幾個交點我們不能口說無憑，要有證據，你們有什么好的方法可以證明嗎？

生：沉默。

【分析】老師讓學生根據已經知道的知識點畫圖并觀察圖，通過老師敘述的方式讓學生先鞏固已學到的知識，然后通過老師的提問制造直觀上的矛盾，激發了學生的興趣，是學生步入了探究之門。

2.陳題再現，實行微探究之路

師：那同學們知道直線是由什么組成的嗎？

生：直線有點組成的。

師：那同學們知道點與圓的關系嗎？有幾種關系？怎么判斷？

生：有三種，在圓外，在圓內，在圓上。

師：那是根據什么的依據來判斷的呢？

生：根據點到圓心的距離d和半徑r來判斷的

d>r，點在圓外

d=r，點在圓上

d

師：你們知道了點與圓的判斷依據了，那你們畫畫圖想一想“直線與圓的位置關系”是否與“點與圓的位置關系”一樣，具有某種數量關系呢？

【分析】當學生處于迷茫的狀態時，老師沒有直接告訴同學們答案，而是問學生直線的本質，把直線分成無數個點，而學生以往做過的題目是點與圓的關系，從而老師逐步引導學生，使學生找到了探究的道路。

3.舊題新知，把握微探究方向

生：是不是判斷直線上的點到圓心的距離d和半徑r的比較呢？

師：你可以畫畫看哦，看是不是和你想的一樣。

生：畫圖如下

生：直線上有好多點，到圓心的距離都不一樣，不能用直線上的任意點到圓心的距離判斷。

【分析】學生知道直線是有點組成的，在老師的指引下學生也想到了用直線上的點到圓心的距離判斷，此時老師沒有下結論，而是讓學生畫圖自己去觀察，自己探究，進而學生得出了結論，用直線上任一點到圓心的距離是無法判斷的。

4.去糟求精，直至問題靶心

師：既然不能用直線上任意的點，那就觀察你們所畫的圖，直線上所有的點到圓心的距離有什么規律嗎嗎，所有點到圓心的距離都是不一樣的嗎？有沒有距離相等的點啊？

生：有，因為從直線的一端開始畫線段，線段會逐漸減小，會有一個最小的，然后再逐漸變大。

師：非常好！你們現在再想想，既然不能從直線上任意一點到圓心的距離測量，那用什么測量呢？

生：用直線上的點到圓心的最短線段來判斷。

師：什么是最短線段？

生：最短線段就是過圓心向直線做的垂線段，因為點到直線的距離當中，垂線段最短。

師：好，那你們再畫圖看看，垂線段能不能判斷直線與圓的關系

生：畫圖如下

師：那你們能不能試著解釋一下，垂線段和半徑是怎么判斷直線與圓的關系的？

生：垂線段d是最短的，如果垂線段小于半徑的話，那么通過觀察圖可知在直線上肯定還存在兩個點到圓心的距離會等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點肯定在圓上，所以這兩個點即在圓上又在直線上也就時直線與圓的兩個交點，那么直線與圓就是相交關系。同理，垂線段大于半徑的話，直線與圓相離，垂線段等于半徑的話，直線與圓相切。

師：好，這位同學給了明確的解釋，那你們再觀察圖形看看這個解釋到底能不能判斷直線與圓的位置關系。

生：能。

師：那我們來共同總結一下，判斷直線與圓位置關系的方法。過圓心作直線的垂線段d，當dr時直線與圓相離；當d=r時直線與圓相切。（老師板書在黑板上）

【分析】在此過程中學生已經知道了要用什么方法去解決問題了，但在探究的過程中會出現一些岔口，讓學生找不到正確的道路，此時老師站到了學生的角度，理解了學生心里想的是什么，缺的是什么，然后提出了一個問題，恰好是學生應該想到，讓學生從過去相似的知識點中猜想可能行得通的方法，并自然而然地通過自己的探究找到了解決問題的方法。

三案例的評述與反思

我們知道傳統的教學方法只注重教師的主導作用而忽視了學生的主體性，所以我們倡導探究教學法的應用，可是我們同樣也知道要想在實際課堂當中完完整整地讓學生去探究學習是無法實施的，那么支架式教學和探究教學互相融合起來的“微探究”教學就是教師們首選的教學方式了。

1.顯著成效.

（1） 發展學生個人探究、猜想、推理的能力，減少對同伴、老師的依賴。

本節課教會了學生從直觀上看到的知識不一定是正確的。要找到證明知識正確與否的方法，學生要學會從已知的知識點中通過自主的探究猜想中，找到可行的方法，再通過驗證得出結論。這樣就培養了學生獨立思考的習慣，逐漸地改善學生一遇到問題就問同學，老師的現象。另外，老師創造了探究性的情景，為學生探究性的學習提供了機會，調動的學生學習數學的主動性，提高了學生學習數學的興趣，促進了學生的思維活動和發展。

（2） 引導學生養成動手畫圖的習慣，熟練掌握數形結合思想

在數學課的學習當中，經常會遇到通過畫圖來解決問題的方法，可是在教學過程中，畫圖這一步驟都是有老師來代替的，時間一長學生在自己做題當中就會忽視畫圖的重要性，為改善此狀況，本節課中所有的畫圖過程都是老師在引導，學生在畫圖，讓學生了解畫圖是幫助我們解題的有效途徑，掌握數形結合思想，同時這個老師始終記住自己是個引導者，在適當的時候給學生合理的提示，充分體現了學生在學習過程中的主體性，真正發展了學生的思維與能力。

（3） 減少探究的時間，為學生提供更多的探究機會

基本的探究活動總是需要老師課前設計好活動方案，把學生分組，每個小組都要有規范的探究過程，有時還會需要一些特殊的工具，這都需要花費大量的時間和精力，另外，并不能保證每個小組的同學都能學到課程目標要求學到的知識。所以在實際教學中，老師往往是不敢嘗試的。而“微探究”根據我們實際課堂的時間和高考制度背景下，以靈活寬松的方式引入課堂，隨時隨地都可以進行探究，大大縮短了探究的時間，因此為學生在課堂中提供了更多的探究機會。

2.不足之處

雖然“微探究”在課堂上使用起來方便，但對老師的要求非常高，老師不僅要有扎實的專業基礎，靈活的教學技巧還要深入地了解學生，掌握學生可能出現的各種狀況。另外，“微探究”與探究活動比起來用時較少，但與傳統教學比起來，課堂教學容量偏少，很有可能滿足不了好學生的“胃口”。最后，老師的提示下，學習程度好的學生會積極的回答，程度差的學生老師顧忌不到，因此在教學上沒有關注到全部的學生。總之，老師要想熟練有效地使用“微探究”， 需要付出很大的精力。探究學習是一種動態的過程，教師唯有摒棄浮華、彰顯真實，才能讓每一次探究都能探出“有效”，探出“精彩”。

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