兩種途徑話解題
——以三角問題為例

☉江蘇省如皋市第一中學 田利劍

兩種途徑話解題
——以三角問題為例

☉江蘇省如皋市第一中學 田利劍

數學知識的掌握和理解是循序漸進、螺旋上升的.學生解題也自然是一個這樣的過程，筆者認為有些解題的錯誤是不可避免的，但是通過其出現的錯誤，加深了知識的理解，自然而然獲得了知識的遷移和更深層次的思考，從而獲得了對數學知識更寬泛的認識.羅增儒教授這樣評價學生對于解題的錯誤：“我認為在恰當時候是允許學生犯錯的，不要過于苛求，我作為學生時代也是常常出現各種運算錯誤、理解偏差，隨著數學知識的豐富，我愈來愈發現原來的數學知識理解是那么的不深刻，老師用很好的對比讓我理解了知識該如何運用，成就了今天我對數學解題的一點淺薄認識.”

從學生數學學習最關鍵問題來看，如何利用數學知識解好數學題是一個永恒的難題.大量研究表明，學生對于問題首先采用的總是直觀性的思考為主，在遇到困難時候，直覺性思考往往失效，此時其比較缺乏對問題的緊密思考（對問題多角度、結合知識性的思考），從而更多的是解題的失敗.基于這些研究，以及筆者自身所任教學生的一些狀況，結合案例談一談如何引導學生走出問題解決的誤區，與大家交流，不足之處懇請批評指正.

一、代數變形能力

中學數學主要是圍繞幾何和代數進行的解題研究，從高考真題來說，既有代數運算的考查也有圖形策略的滲透.相比而言，筆者認為代數變形的能力卻是中學生比較匱乏的.主要原因是：第一，初等數學中代數變形的技巧比較多，學生掌握不了所有的、全面的變形，有些問題的變形技巧又不具備一般性，因此這樣的代數變形的技巧運用少之又少.第二，高考對代數變形的一般技巧有要求，對特殊的技巧并不推崇，因此學生對代數變形也愈來愈不重視，殊不知平時沒有略高于應試的代數變形做準備，是很難在實戰中獲得快速解題的效果.

分析：初學者對于本題的代數變形是一籌莫展的，經過不斷對兩角和與差正弦公式的逆向使用，學生漸漸理解了公式的逆向處理，從而獲得了本題的處理.y=，由利用正弦函數圖像和整體性知識可知，所以原函數值域為［-2，1］.

分析：對于本題的處理，其實是代數二次函數換元類，利用余弦二倍角公式可以較為明顯地處理為整體換元后的二次函數，即由可知，可以求得函數值域為

換元是代數變形的一種基本思路，中學數學中大都是初等數學，因此技能顯得尤為重要一些，在技能的背后整體思想和換元思想往往貫穿于問題解決的始終，因此引導學生獲得換元思想下的代數變形是根本.

分析：本題進一步提高了代數變形的要求，初學者從三角層面難以發現本題如何處理，學生的解決往往是只關注平方項.如何處理類似問題呢？如何走出解題常見的誤區？教師要從代數式的本質上去引導.觀察本題我們發現中每一項的系數都是二次的，考慮到正弦等同于余弦，因此這是一個典型的齊次式.顯然，上述問題應該是二次齊次式，即通過降次獲得代數變形的途徑.原式=+1，由可知，所以原函數的值域為

從學生掌握類型來看，本題也稱之為降冪結合兩角和正弦公式逆用，但是其基本的“直接的”代數轉換是必須要理解和掌握的.

變式4：求函數y=（sinx+1）（cosx+1） 的值域（x∈

分析：進一步提高代數變形的能力.學生對于本題的代數變形就顯得有些力不從心，考慮前期解決的問題，不難發現學生往往一籌莫展.比較多的學生采用了將區間端點代入的解決方式，顯然是沒有道理的.將原式展開為y=sinx+cosx+sinxcosx+1，若學生深刻理解變式3自然也能思考變式4，從系統的高度可以發現：本式不是齊次式，顯然sinx+cosx是一次的，而sinx·cosx是兩次的，因此本題應該是典型的二次函數問題.當然，需要一定的解決技巧才能將問題顯現出來.令t=sinx+cosx，則，而由得，則，所以函數值域為

學生錯誤的主因是不能分析代數式的本質，其往往考慮問題更為表面化，導致其愈來愈不會思考問題.教學的主要任務是幫助學生從系統的高度認識代數式的本質是二次函數，那么代數變形的主要任務是將其代數式顯現出來，通過簡單的換元技巧就可以實現.

分析：有了變式4的鋪墊，本題的解決有些簡單明了.可以這樣考慮，分母中是一次函數的本質，分子中是二次函數，在學生頭腦中最基本的模型恰恰是“對勾函數”模型或其相關，因此代數變形在腦海中已經成型.由sinx+cosx≠-1，所以x≠2kπ+π且，令t=sinx+cosx，則，可得其定義域：且t≠-1，所以函數值域為

二、圖形思維能力

中學數學的問題還不能僅僅依賴代數變形，還需要圖形思維能力的積累.華羅庚說：中學數學代數和幾何是相輔相成的，切勿孤立了某一方面.在近幾年的高考中，圖形化的思維愈來愈成為重點的考查傾向，這是區分學生思維能力優劣的較好方式.

圖1

分析：本題可以從代數變形的方面處理，相對來說其含義并不清晰.若能從圖形思維出發，本題思路顯得更為清晰明顯.如圖1，y的幾何意義是定點A（-2，3）與橢圓1上任意一點（sinx，2cosx）連線的斜率，所以y的最值即為切線AC、AB的斜率.設切線方程y=k（x+2）+3，聯立，得（k2+4）x2+（4k2+6k）x+（4k2+12k+5）=0.令Δ=0，得，所以函數值域為學生在本題考慮中最容易犯錯的地方在于不能理解本題的圖形含義，其對于幾何角度欠缺知識整合，導致其無從下手.要引導學生走出解題誤區的關鍵是加強知識間的聯系，從斜率的角度思考是關鍵.

分析：初看本題是典型的代數問題，但是通過多種手段探索發現，本題并不是非常容易求解.從代數變形來講，要去根號必須采用平方手段，因此用的思路將需要使用大量三角公式和運算，而且對于學生來說計算是非常復雜的.換一個視角，從圖形思維的角度試試.利 用 1=cos2θ+sin2θ可 將 函 數 變 形 為 f（θ）=，則x表示為點M（cosθ，sinθ）到點P（1，1）的距離，y表示為點M到Q（-1，0）的距離，易知點M（cosθ，sinθ）在單位圓上運動，故將問題轉化為已知兩定點，求單位圓上動點M到兩定點的距離之和的最小值，數形結合得

縱觀本題的解決思路，可以引導學生兩個方面：第一是中學數學問題的解決思路不外乎代數和幾何，兩者是相輔相成的，若代數極為容易，則幾何相對復雜，若代數相對復雜，則幾何較為簡潔，這是辯證的哲學思想在解題中的體現.第二，引導學生學會固有的模式識別中解脫出來，不斷創新思維，走出固有的解題誤區想法，這有助于學生創造力的培養.

本文從代數變形和圖形思維的兩個角度小議了學生解題應該掌握基本想途徑，從問題中去尋求合適的途徑，避免了學生在解題中走入固有的思維誤區.引導學生走出解題誤區，恰恰需要上述兩種基本途徑：即代數變形能力和圖形思維.筆者以三角函數問題為例，談及不夠深刻，懇請讀者指正.

1.吳成海.高中數學創新教育應著力于思維培養［J］.《新課程·教育學術》，2011（7）.

2.王建鵬.一道試題的析題展示［J］.福建中學數學，2013（9）.

3.鮑建生等.障礙教學研究［J］.數學教學，2013（1）.

4.鄭毓信.解題教學理論的必要發展［J］.中學數學月刊，2012（1）.