變中求進，進中求通
——一道檢測題的變式設計

☉廣東省東莞高級中學 劉心華

變中求進，進中求通
——一道檢測題的變式設計

☉廣東省東莞高級中學 劉心華

數學教學，離不開解題.解題教學是數學教學的一個重要組成部分，提高學生的解題能力是數學教學的一項重要任務.教師通過對學生解題情況的調查與分析，可以完整地了解學生在解題過程中思維活動的真實狀況，發現學生在解題過程中的思維障礙、知識方法缺陷與能力素養的不足，從而有針對性地加強對學生的指導與訓練，通過變式問題及問題解決，幫助學生發現命題規律，掌握解題策略，優化思維.同時也有助于教師從學生的角度來審視教學，改進教師課堂教學的方式與方法，提升教師的教育教學水平.

美國著名數學教育家G·波利亞說過：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”下面就高三月考一道檢測題及學生的答題情況，談談變式問題的設計，幫助學生發現命題規律，掌握解題策略，變中求進，進中求通，優化思維.

一、問題的提出

例題（高三年級月考檢測題）已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數，當x＞0且x≠1時，2f（x）+xf′（x）x-1＞0，若曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率為-2，則f（1）=（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

學生解答情況：此題是選擇題的第10題，有一定的難度，考后統計的結果不出意外，筆者所教的兩個班100名學生中有32人選擇了正確答案，在試卷講評課上，與學生交流發現，有一部分學生對條件不會進行等價轉化，完全找不到解題方向，沒有經過思考直接猜了答案；有些學生想到要去構造函數求解，但本題與平時練習作業中構造函數的問題又不太一樣，一時想不到如何構造函數，有思考但做不下去而猜答案；還有同學想到只考慮用分子去構造函數，但接下來找不到函數導數、單調性與極值間的關系，只好猜一個答案；兩個班只有23個同學做出了正確解答.

本題所考查內容是函數、導數、不等式問題，解答的難點在于如何對條件進行正確轉化，因為f（x）只是一個抽象函數，不能由解析式直接求值，只能根據題設分式結構的特點，利用導數解決問題.一般解法是去構造新的函數，由構造的新函數的性質去求f（1）的值.聯想導數的運算法則，經過比較選擇構造函數h（x）=x2f（x），求 導 得 到 h′（x）=2xf（x）+x2f′（x），因 為，所以，所以當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，所以h（x）在x∈（0，1）上遞減，在x∈（1，+∞）上遞增，所以h（x）=x2f（x）在x=1處取得極小值，所以h′（1）=2f（1）+f′（1）=0，又f′（1）=-2，所以f（1）=1.

學生解答這道題除在方法上掌握不到位、思維習慣上有缺失外，在構造函數求解不等式問題的認知上也是模糊的，對這類抽象函數通過構造新函數求解不等式問題的總體策略不夠明確.若就題論題，評講到此為止，雖然學生知道自己解答時問題出在哪里，也能知道問題的正確解答，但總感覺缺少什么，若這里沒有對此種類型問題的進一步歸納和提煉，恐怕以后學生遇到同類問題可能還是去猜.為此在講評課上為此題設計了如下構造函數求解不等式的系列問題：

二、變式設計

1.利用導數的運算法則構造函數

根據導數的運算法則，若出現f′（x）±g′（x），可構造函數h（x）=f（x）±g（x）；若出現f′（x）g（x）+f（x）g′（x），可構造函數h（x）=f（x）g（x）；若出現f′（x）g（x）-f（x）g′（x），可構造函數，再根據構造的新函數的性質，解答與f（x）的有關問題.

問題1：（2015年全國新課標卷）設函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）

問題2：定義域為R的奇函數f（x），當x≠0時，f′（x）+，若則a，b，c的大小關系是_________.（構造函數h（x）=xf（x），答案：a＜c＜b）

問題3：定義在R上的奇函數f（x）滿足f（3）=0，且不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，則函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點個數為________.（構造函數h（x）=xf（x），答案：3）

問題4：設函數f（x）是R上的奇函數，且f（-1）=0，當x＞0時，（x2+1）f′（x）-2xf（x）＜0，則不等式f（x）＞0的解集為______.（構造函數，答案：（-∞，-1）∪（0，1））

以上四個變式問題都是從基礎問題出發，由易到難，層層遞進，而且與學生的思維水平相適應.因為變式問題對學生的思維要求較高，所以設計變式問題時要正確把握變式的“度”，要為學生提供必要的“支架”，讓學生感到“有階可上”，把較復雜的問題轉化為學生熟悉的或容易解決的數學問題，逐步把學生的思維引向深入.

2.利用函數單調性構造函數

通過對所求解不等式的適當變形、整合重組等方式構造新函數，并利用導數判斷所設函數的單調性，最后根據函數單調性的定義，達到求解不等式的目的.

問題1：已知定義在實數集R上的函數f（x）滿足f（1）=3，且f（x）的導數f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，則不等式f（x）＜2x+1的解集為_________.（構造函數g（x）=f（x）-2x-1，答案：（1，+∞））

問題2：已知函數f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，f（x）的導數，則不等式的解集為_______.（構造函數g（x）=（fx）-x，答案

問題3：定義在R上的函數f（x）滿足：f′（x）+f（x）＞1，f（0）=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數的底數）的解集為_________.（構造函數g（x）=exf（x）-ex，答案：（0，+∞））

問題4：已知函數f（x）為（0，+∞）上的可導函數，滿足（fx）＞xf′（x）恒成立，則不等式的解集為__________.（造函數等價于，由單調性定義，有，答案

以上四個變式問題都是求解抽象函數不等式，變量可以是x，可以是x2，可以是（或者其他形式），構造新函數后，由新函數的單調性不難求解.因為變式問題要同化和深化對一類問題的理解，所以問題變式的設計要有目的性和針對性，要注意知識的交叉融合，促進知識的有效整合，以點帶面，幫助學生在問題解決過程中鞏固知識，總結解題規律，提高解題能力.

3.利用函數式的結構特點構造函數

因為（ex）′=ex，根據導數的運算法則，若出現f′（x）+f（x），可構造函數h（x）=exf（x）；若出現f′（x）-f（x），可構造函數；若出現λ（fx）+f′（x），可構造函數h（x）=

eλxf（x），再根據構造的新函數的性質，解答與f（x）的有關問題.

問題1：已知函數f（x）為R上的可導函數，且?x∈R，均 有 f′（x）+f（x）＜0，試 比 較 e2018f（2018）與 f（0）的 大 小_______.（構造函數h（x）=exf（x），答案：e2018f（2018）＜f（0））

問題2：定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）為偶函數，f（4）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為__________.（構造函數，答案：（0，+∞））

問題3：函數f（x）為R上的可導函數，滿足f（x）+2f（′x）＞0恒成立，且（f2）=（其中e為自然對數的底數），則 不 等 式的解集為__________.（構造函數，答案

問題4：已知函數f（x）為R上的可導函數，滿足3f（x）＞f′（x），且f（1）=e3（其中e為自然對數的底數），則下列結論正確的是（ ）.

A.f（0）=1B.f（0）＜1

C.f（2）＜e6D.f（2）＞e6

以上五個變式問題是把抽象函數與指數函數或三角函數結合起來，由函數式的結構特點去構造新函數，求解這五個變式問題有一定的挑戰性，學生要“跳一跳，才能摘到果子”.所以變式問題的設計要充分激發學生的好奇心和求知欲，設計的變式問題要處于學生思維的最近發展區，要讓學生經過思考，能夠跨過一個個“門坎”，既起到訓練的作用，又可以培養學生的思維能力，發展學生的智力.

4.利用函數的最值構造函數

當函數取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式問題轉化為求函數最值問題.因此利用導數，通過構造函數求最值是解決不等式問題的一種重要方法.

問題1：已知定義在R上的可導函數y=f（x），當x≠0時，試判定關于x的函數的零點個數情況.

簡析：構造函數h（x）=xf（x）+1，則h′（x）=f（x）+xf′（x），當x∈（-∞，0）時，h′（x）＜0，當x∈（0，+∞）時，h′（x）＞0，所以函數h（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，所以當x=0時，h（x）min=h（0）=1，故h（x）≥1，所以函數無零點，即零點個數為0.

問題3：設實數m＞0，若對任意的x∈（0，+∞），不等式恒成立，則m的最小值為（ ）.

構造h（x）=ex-x-1，則h′（x）=ex-1＞0，h（x）在［0，+∞）上是增函數，x∈［0，+∞），h（x）min=h（0）=0，所以x＞0，h（x）＞0，即x＜ex-1，故（fx）＞（fex-1），即

以上四個問題（問題3和問題4是具體函數）都有一定的難度，但通過合理變形構造新函數找到了解題捷徑，后三個問題分別構造了兩個或兩個以上的函數，把問題轉化為利用導數求函數的單調性與最值問題，最后問題的解決都落實到通性通法.所以變式問題的設計，要體現對基礎知識、基本技能和通性通法的考查，要努力做到變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”.

5.利用變換換元構造函數

含多個變量的不等式問題，常因多元而使問題復雜，給求解帶來困難，若能合理分離變量，通過變換換元選擇新變量，構造新函數，可使問題轉化為與之相關的新函數問題，然后求解.

問題1：已知函數（fx）=lnx，若x1＜x2，證明

問題2：函數f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，證明：當a≤-2，對任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|.

以上設計的兩個問題都是具體函數，含有多個變量，問題較復雜，但通過變量分離，變換換元選擇新變量，構造新函數，以導數為工具求得問題的解決.從抽象函數到具體函數，問題變式不是為了“變式”而變式，而是根據內容需要，遵循學生的認知規律而設計，目的是幫助學生把學到的知識轉化為能力，形成技能技巧，完成“應用-理解-技能-能力”的認知過程.

面對學生解題過程中出現的各種狀況，教師如何有針對性地對學生進行指導與訓練，是每一位數學老師都值得去研究的問題.遵循學生的認知規律，設計數學變式問題，以及通過問題解決能很好地促使學生潛能的喚醒、挖掘與提升，自主能力的促進與發展，變中求進，進中求通，讓學生在討論中啟發思路，在探索中獲得方法，在歸納中形成策略，在思考中培養能力，在應用中優化思維.

1.虞懿.例析構造可導抽象函數解題［J］.中學數學教學，2016（1）.

2.2017高考數學經典題型與變式［M］.拉薩：西藏人民出版社，2016（2）.

3.王琪.例談構造函數在導數解題中的應用［J］.中學數學（上），2017（3）.F