橫看成嶺側成峰
——對2017年高考浙江卷第15題的多維賞析

☉浙江省湖州市吳興高級中學 劉曉東

☉浙江省嘉興市第一中學 沈新權

橫看成嶺側成峰
——對2017年高考浙江卷第15題的多維賞析

☉浙江省湖州市吳興高級中學 劉曉東

☉浙江省嘉興市第一中學 沈新權

2017年高考已落下帷幕，浙江卷因其首次文理合卷格外引人注目，其中第15題秉承了浙江卷簡潔、靈動的一貫風格，可謂橫看成嶺側成峰，本文就此題進行多維賞析，旨在引玉.

一、原題再現

考題 （2017年浙江卷15題）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值為_________，最大值為__________.

本題背景簡捷，但內涵及其豐富，從不同的角度、高度去審視它，我們都能得到一系列優美的解法.

二、解法賞析

1.準確理解，優化運算

數學的概念與性質不是獨立存在的，如果問題涉及某個概念或性質，則問題的解決必定與這些概念、性質相關聯，因此，我們可以從這些概念或性質本身出發來解決問題，在解決問題的過程中，應當合理選擇算法，優化運算.

解法1：設b=（2，0），a=（cosθ，sinθ），則a+b=（2+cosθ，sinθ），a-b=（2-cosθ，-sinθ），所以

，所以16≤t2≤20.

點評：題干涉及向量的模、向量的加減運算，但考慮到向量的坐標運算思維量小，易于操作，因此解法1利用向量模的概念結合坐標法進行求解，自然順暢，具有一定的普適性.

2.由表及里，層層推進

在解決數學問題時，我們往往會憑借數學基本活動經驗從題干的“表”入手，尋求突破，但在“表”的探尋過程中，又會產生新的問題，因此探究要層層推進，直至問題得以解決.

解法2：由題意，設t=|a+b|+|a-b|，則t2=（|a+b|+|a-b|）2=2a2+2b2+2|a+b|·|a-b|=10+2|a+b|·|a-b|.

又2|a+b|·|a-b|≤（|a+b|）2+（|a-b|）2=10，所以t2≤20.

以下同解法1.

點評：解法2的關鍵點在于對10+2|a+b|·|a-b|的處理，通過平方將問題轉化為求兩個非負實數積的最值問題，最大值可以根據基本不等式很容易得到，按數學基本活動經驗，最小值不可能由基本不等式直接得到，但只要考慮到向量數量積的定義，問題便迎刃而解.此類解法往往是學生的首選，但必須要做到“遇神請神，遇佛送佛”.

3.活用換元，巧妙構造

換元是數學解題的重要思想，通過換元，構造合理的數學模型，不但能使問題得以順利解決，更能給人以美的享受.

解法3：由題意可設x=|a+b|，y=|a-b|，則x2=（|a+b|）2=5+4cosθ，x∈［1，3］，y2=（|a-b|）2=5-4cosθ，y∈［1，3］，所以x2+y2=10.

因為x∈［1，3］，y∈［1，3］，所以點（x，y）的軌跡為一段圓弧，如圖1.

圖1

解法4：如解法3，設x+y=b，即y=-x+b，則b的幾何意義為直線在y軸上的截距.

如圖1，當直線過A點時，（x+y）min=4；當直線與弧AB相切時取得最大值，此時，即

點評：解法3、解法4通過換元巧妙地將問題轉化為三角、截距問題，不僅使問題得以迅速解決，更體現了數學美.但新元的范圍是預防錯解的關鍵，也是換元法解題必須強調和強化的.

4.追根究底，回歸本源

所有的數學問題都有其“根”，如果我們能夠尋到其“根”，抓住問題的本質，問題的解決自然是水到渠成.

圖2

又|a+b|+|a-b|=2（OM+BM）≥2OB=4 ①，|a+b|+|a-b|=2（OM+AM）≥2OA=2 ②，

由于①②要恒成立，所以|a+b|+|a-b|≥4.

點評：解法5主要是圍繞向量加法、減法的運算法則，結合向量模的本質，從幾何的維度對問題進行求解，數與形的完美結合，彰顯了數學的魅力.

5.小題小做，尋求捷徑

限時作答是高考的特點之一，在有限的時間內快速、準確答題，是高考取得成功的關鍵，小題小做是數學解題教學追求的一種境界.

解法6：由三角不等式得|a+b|+|a-b|≥max｛2|a|，2|b|｝=2|b|=4.

點評：對于最值問題，優先考慮不等式，鑒于題干是兩個絕對值之和，自然聯想到絕對值三角不等式，解法自然流暢，充分體現了小題小做的思想.

三、解后感悟

應該說，尋找解題方向的思路沒有優劣之分的，但解題方法卻有好壞之分，好的方法能直達問題的本質，讓解題過程清晰明了、賞心悅目，好的方法更來自于數學基本活動經驗的積累，是解題教學積淀的客觀反映.

（1）解題教學應深刻理解數學概念和性質.數學概念和性質是整個數學大廈的基石，也是解題方向的根本，只有充分理解題中涉及的概念，以及性質的內涵與外延，才能找出問題的本質，為尋找解題思路提供方向，這樣的解題教學也才有意義.

（2）應注意問題的等價轉化.解題時，不斷轉化問題是探索解題方向的關鍵，也是積極發現解題方法的過程.轉化是一切解題策略的基本出發點，在轉化的過程中，我們不僅能求得問題的解決，同時也能將相關知識進行串聯，形成相應的知識鏈，由一個問題派生一堆問題，解決一堆問題，這才是解題教學的根本所在.

（3）2017年浙江省首次文理合卷，這對高中數學教學提出了新的挑戰，2017年高考浙江卷提供了很好的藍本，對高中數學的教學具有很強的導向性，本題就是一個很好的例證，試題親和、簡練，但內涵極其豐富，簡約而不簡單，橫看成嶺側成峰，有極高的教學價值，是解題教學的極好素材.F