用導數開拓解題新天地
——例談導數在解題中的應用

☉安徽省六安中學 張本春

用導數開拓解題新天地
——例談導數在解題中的應用

☉安徽省六安中學 張本春

高中數學題型較多，一些題型采用傳統的解題方法來解題時，不僅計算煩瑣，而且解題難度較大，需要花費一定的時間才能得出正確答案，而運用導數來解題，往往能夠迅速找到解題突破口，收到事半功倍的效果.因此，教學實踐中，教師應注重培養學生運用導數解答數學題目的意識，并在日常教學中講解相關例題，使學生掌握應用導數解題的方法與技巧.

一、從陌生到熟悉，搭建轉換橋梁，解決線性規劃問題

學生對高中數學中線性規劃題目并不陌生，他們在各類測試中經常會遇到此類題目，這類題目的難度一般不大.不過，線性規劃與函數結合在一起后，題目的難度便會大大增加，這也給學生的數學能力提出了較高的要求.學生經常要將給出的已知條件進行轉化，此時就會涉及導數知識的靈活應用.譬如，利用導數相關知識，將給出的復雜條件轉化為比較熟悉的約束公式，然后再解題，直至將題目順利解答出來.

分析：題目與學生較為常見的線性規劃題目有所不同，其與函數進行巧妙的融合，試題難度提高了一個水平，導致部分學生因不會轉化，而無法進行解答.其實借助導數將不熟悉的公式轉化為熟悉的公式，不難進行求解，解題步驟如下：

根據題意，g′（x）=x2+ax-b≤0在 x∈［-1，3］ 上 恒 成 立 ，即代入得在此基礎上求a2+b2的最小值，學生較為熟悉，根據求出的約束條件，畫出可行域，如圖1所示.

圖1

a2+b2可看做可行域中的點至原點距離的平方，兩個直線的交點與原點的距離最短，由圖不難得出交點坐標a=-2、b=3，此時a2+b2=13.

二、注重知識融合，學會化繁為簡，解決最值問題

圓錐曲線是高中數學教學的重點、難點，因圓錐曲線經常涉及復雜的計算，而且許多計算都具有一定的技巧性，因此，很多學生在學習圓錐曲線知識時，都感覺到吃力.在學習中，面對復雜的圓錐曲線類型的題目，許多人經常是不知所措.在各類圓錐曲線題型中，求最值問題較為典型，采用傳統的計算方法固然能夠求值，但計算煩瑣，容易出錯，而應用導數進行求解，不僅能提高解題效率，還能提高解題的正確率.因此，日常教學活動中，教師應注重導數在解析幾何相關題型中的應用，培養學生應用導數解答解析幾何題目的意識.

例2 已知拋物線方程為y=x2-2x-1，選取其上的一點，使其與原點的距離最短，并求出其最小值.

分析：解答該題目時，可設出拋物線上任意一點，而后利用兩點之間的距離公式及導數知識進行求解，計算過程中應多加謹慎，確保計算的正確性，具體解答步驟如下：

假設拋物線y=x2-2x-1上任意一點m（x，y），其與原點之間的距離，設（fx）=x2+（x2-2x-1）2=x4-4x3+3x2+4x+1，那么f′（x）=4x2-12x2+6x+4，當f（′x）=0，即0時，其根分別為

f′（x）、f（x）隨x的變化情況，如下表：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，x3） x3（x3，+∞）f′（x）0+-0+f（x）↘極小值↗ 極大值↘ 極小值↗

三、構造新的函數，利用分類討論，證明不等式問題

不等式題目在高中數學中較為常見，不等式具有一定的抽象性，很多學生面對不等式時都不知道如何下手.其實，我們可以將不等式題目進行歸類，將其分為能成立和恒成立兩類.然后，運用導數進行解答，確切來說是采用轉化法或構造法來解析不等式.其中轉化法指通過轉化將其轉化為容易證明的不等式.例如，將含有lnx、ex的式子轉為二次函數或一次函數的式子，利用最值及單調性進行解答.構造法指通過移項構造一個新的函數，利用函數的最值和單調性進行求解.

例3已知函數f（x）=ln（1+x），g（x）=kx（k∈R）.

（1）當x＞0時，證明：f（x）＜x；

（2）當k＜1時，存在x0＞0，使得對任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）恒成立.

分析：（1）對要證明的問題進行轉化，即f（x）-x＜0在x＞0上恒成立.而后采用導數對轉化后的函數單調性進行判斷，不難解答，證明步驟如下：

（2）同樣需要在已知條件的基礎上，進行轉化構造新的函數，進行分類討論不難進行證明，具體證明步驟如下：

令h（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈（0，+∞），那么，顯然當k≤0時，h′（x）＞0成立，即h（x）為單調遞增函數，h（x）＞h（0）=0，符合題意要求.當0＜k＜1時，h′（x）=0，可得，當時，則h′（x）＞0對x∈（0，x0）恒成立，因此，h（x）在x0＞0上單調遞增，即h（x）＞h（0），不難證明.

四、借助導數思想，簡化解題思路，解決數列求和問題

數列是高中數學的難點，在數列求和相關題目時，我們常用求和公式來解題，不過這種解題方法過程煩瑣，稍有不慎就會出錯.當學習導數相關內容后，教師可引導學生利用導數知識解答數列求和相關題目.實踐表明，采用導數求解數列的和，計算過程較為簡單，很容易得出正確結果，有例子為證：

當x≠0且x≠1，n∈N*時，1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1=（1+，采用導數思想求解數列前n項和問題，能大大簡化計算步驟，而且計算準確性高，因此，教學實踐中，教師應注重相關題型的講解，使學生充分感受應用導數解題的便捷性.

例4 已知數列｛an｝滿足an+2=qan，其中q為實數，且q≠1，n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5是等差數列.

（1）求q和｛an｝的通項公式.

分 析 ：（1） 根 據 已 知 條 件 不 難 求 出q=2，an=

（2）求解出q與｛an｝的通項公式，應用導數知識，不難進行求解.由以上可得，設｛b｝的前n項和為S，構nn造函數f（x）=x+x2+…+xn.

五、化抽象為具體，建立數學模型，解決生活實際問題

高中數學中有許多與生活實際相關的題目，此類題目大多是要求學生利用所學進行解答，如用料最少、效率最高、路程最短等問題.通過對這些題型進行分析可以發現，將這些實際問題轉化為利用導數求極值問題，是一條解題捷徑.為保證學生順利解答出此種類型的題目，一般情況下應按照以下思路進行求解：首先，認真讀題，根據題意抽象出相關的數學模型，列出相關的函數關系式.需要注意的是，為保證結果的正確性，我們要充分考慮實際情況，對定義域作出限制和約束.其次，利用導數求解出函數的最值.最后，解答結果，并考慮實際情況進行合理取舍，保證最后結果的正確性.

圖2

例5 如圖2所示，直線l1、l2為相互垂直的兩條公路，曲線C為一湖泊的邊緣，現在擬沿著湖泊邊緣修建一條連接l1、l2的公路l，其中M、N為曲線C上的兩點，距離l1、l2

的距離分別為5km、40km，20km、2.5km，以l2、l1為x、y軸建立直角坐標系xOy，曲線C滿足函數a，b為常數）.

（1）a、b的值分別是多少？

（2）如果公路l和曲線C在P點相切，設P點的橫坐標為t，求公路l的函數解析式；t取何值時公路l的長度最短，最短長度為多少.

分析：（1）題目中給出了M、N兩點的坐標及曲線C的函數關系式，分別代入不難求解，a=1000，b=0，即y=

（2）要求公路l的直線方程，題目給出了P點的橫坐標為t，由此不難求出P點的總坐標.根據（1）求得的曲線C方程，可求出其在P點的導數，由此不難得出公路l的直線方程為，其中t∈［5，20］.題目中要求直線l的長度最短，此時設，求導得，由h（′t）=0得h（t）、h′（t）隨t變化情況如下表所示：

t （5，10 2 ） 10 2 （10 2 ，20）h′（t）-0+h（t） ↘ 極小值 ↗

六、結論

由上述可知，導數在解答相關題型時有著顯著的優勢.因此，在數學教學實踐中，教師應注重導數在解答數學題目中的應用，幫助學生深刻理解導數知識.同時，通過典型例題講解和導數的靈活運用，使學生掌握應用導數求解數學問題的方法與技巧，激發學生的創造性思維，提高學生的解題能力和解題正確率.

1.李明.高考導數試題分析及教學策略研究［D］.蘇州大學，2016.

2.華燕萍.高中生“導數及其應用”學習中的常見錯誤分析及教學對策研究［D］.上海師范大學，2014.

3.李亞青.基于學生導數理解障礙的教學設計研究［D］.四川師范大學，2015.F