螺旋式上升背景下教學內容呈現方式的研究
——基于蘇教版高中數學教材必修1與必修4函數圖像變換編寫的比較

☉江蘇省昆山中學 劉校國

螺旋式上升背景下教學內容呈現方式的研究
——基于蘇教版高中數學教材必修1與必修4函數圖像變換編寫的比較

☉江蘇省昆山中學 劉校國

課程標準下，高中數學教材編寫的指導思想為“改進教學和學習的方式，培養創新意識”，因此作為一線的教育工作者，要認識到教材在教育教學中發揮的引導作用.為了真正落實素質教育，滿足當前我國基礎教育的需求，教材編寫應該始終貫徹“螺旋式上升”的原則，而“螺旋式上升”要體現在內容的深度、廣度和呈現方式上.筆者將蘇教版高中數學教材必修1和必修4中有關“函數圖像”的內容作為研究對象，通過對比分析得出：從教學內容的深度、廣度上來看，教材編寫貫徹了“螺旋式上升”的原則；從教學內容的呈現方式上來看，教材編寫未能做到“螺旋式上升”，具體情況匯報如下：

一、教學內容在深度、廣度上，滲透了“螺旋式上升”原則

螺旋式上升可以從螺旋和上升兩個方面理解.基于教學內容來講，“螺旋”體現在相同的學習主題，而學習內容的深度、廣度上卻不相同；“上升”體現學習內容的深度加深，廣度更闊，而不是機械的再現重復，簡單來講，就是層次上有所提升.函數是高中階段數學學習的重難點，而圖像變換是函數學習的重要內容之一.通過分析研讀教材，高中函數的“圖像變換”主要涉及了平移、縱向伸縮、橫向伸縮及翻折等方面的內容，它主要的研究對象是指數函數圖像、對數函數圖像及三角函數圖像，主要研究圖像的變換.

通過研讀蘇教版高中數學教材發現，指數函數圖像的變換和對數函數圖像的變換是在高中數學教材必修1中出現的，而三角函數圖像的變換卻是在高中數學教材必修4中出現的.筆者為了研究“圖像變換”的相關內容，重點將與指數函數、對數函數及三角函數相關的章節內容進行了對比和研究，并將其教學內容呈現的順序，進行了歸納，形成了圖1.

圖1

通過圖1可以看出，“指數函數圖像的變換”——“對數函數圖像的變換”——“三角函數圖像的變換”，它們研究的內容都是“函數圖像的變換”，但是它們研究的載體卻發生了變化.從教學內容來看，學習內容的深度更深了，學習內容的廣度更闊了.

二、教學內容在呈現方式上，未能做到“螺旋式上升”

在基礎教育改革深入開展的今天，高中階段教育工作者的教學任務已經不再是簡單的傳授知識，而是要注重引導學生掌握各種學習方法和數學思想，促使學生的綜合素養得到提升.教學是教師“教”與學生“學”的重要載體，因此在日常的教學中，教育工作者要認識到“教材”的重要性，對其進行研讀，而不能夠機械地按照教材施教，不利于引導學生形成完整的、合理的知識體系.例如，筆者研讀了蘇教版高中數學“函數圖像變換”的相關內容，發現“合情推理和演繹推理”確實已經融入到了教材教學內容中.編寫者在編寫教材時，即將“合情推理和演繹推理”作為獨立的教學內容呈現，還將“合情推理和演繹推理”作為引領數學的方式呈現.對比指數函數、對數函數及三角函數的相關內容，它們呈現的方式可以歸納為“作圖、觀察——思考分析——具體結論——函數一般式”，筆者在此將指數函數、對數函數及三角函數作為研究對象，進行分析研究.

1.指數函數

以指數函數為對象研究：首先，通過“描點法”（又稱“七點法”）繪制出函數y=2x、y=2x-2、y=2x+2的圖像；然后，當x=a+2時，y=2x-2=2a；當x=a時，y=2x=2a，通過對比思考，“x=a+2時，指數函數y=2x-2的值”與“x=a時，指數函數y=2x的值”是相等的；再次，得出結論：函數y=2x+2的圖像能夠通過平移函數y=2x的圖像得到；最后，以“思考”的形式呈現：函數y=ax+h的圖像與函數y=ax（a＞0，a≠1，h≠0）的圖像之間有怎樣的關系？.

取“x”為-4、-3、-2、-1、0、1、2這七個數，將其分別代入到函數y=2x、y=2x-2、y=2x+2中，得出y值，具體為表1.

表1 函數y=2x、y=2x-2及y=2x+2的取點概況

根據表1，在坐標系中，繪制出函數y=2x、y=2x-2及y=2x+2的圖像，具體如圖1.

圖1 指數函數y=2x-2、y=2x及y=2x+2的圖像

2.對數函數

以“對數函數”為研究對象：首先，通過“描點法”繪制對數函數y=log3x、y=log3（x+2）的圖像；然后，當x=a-2時，函數y=log3（x+2）=log3a，當x=a時，函數y=log3x=log3a，通過對比思考，“x=a-2時，函數y=log3（x+2）的值”與“x=a時，函數y=log3x的值”是相等的；再次，得出結論：通過平移對數函數y=log3x的圖像可以得到對數函數y=log3（x+2）的圖像；最后，以“思考”的形式呈現：函數y=loga（x+h）與函數y=logax（a＞0，a≠1，h≠0）的圖像有怎樣的關系？

取“x”為-2、-0.5、0、1、1.5、2、3這“七個數”，分別將“x”代入到對數函數y=log3x和y=log3（x+2）中，求得y值，具體見表2.

表2 函數y=log3x、y=log3（x+2）的取點概況

根據表2，在坐標系中，制作出對數函數y=log3x、y=log3（x+2）的圖像，具體如圖2.

圖2 對數函數y=log3x、y=log3（x+2）的圖像

3.三角函數

三角函數的相位變換、周期變化和振幅變換的呈現方式完全相同，因此，教材編寫者選擇了“相位變換”的方式呈現教材.通過觀察、對比函數y=sinx與y=sin（x+1）的圖像（圖3），得出“x=a時，函數y=sinx的值”與“x=a-1時，函數y=sin（x+1）的值”相等，進一步分析研究可以發現：通過平移函數y=sinx的圖像可以得到函數y=sin（x+1）的函數圖像.最終，直接言明結論：當φ＞0時，將三角函數y=sinx的圖像向左平移|φ|個單位可以得到函數y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖像；當φ＜0時，將三角函數y=sinx的圖像向右平移|φ|個范圍可以得到函數y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖像.

圖3 函數y=sinx與y=sin（x+1）的圖像

通過上述內容可以發現，蘇教版高中數學教材內容的呈現強調了“特殊——一般”，同時利用了“歸納推理”的方式發現數學，并通過合理的邏輯推理研究問題，獲得知識.從教學內容上來講，它呈現的方式過渡依賴于“合情推理”，而未能給貫徹“螺旋上升”的原則，具體表現為：教材編寫未能給立足學生的認知結構和思維規律，并且教材內容呈現機械單一，不利于培養學生的探究意識、探究能力，進而使學生的探究素養得不到培養和提升.

三、建議

1.指數函數

指數函數出現于蘇教版高中數學教材的必修1中，它服務于剛剛步入高中階段不久的新生.高一新生仍舊處于初、高中的銜接階段，他們并未能夠完全適應高中階段的學習生活，因此指數函數相關內容可以遵循“循序漸進”的原則，仿照“二次函數”圖像變換呈現的方式編寫“指數函數”圖像變換的相關內容.這樣以來，降低了學生的陌生感，使學生能夠高效地、快速地完成學習目標.

2.對數函數

“對數函數”與“指數函數”同樣出現于蘇教版高中數學教材必修1中，且它們是相鄰而居，指數函數在前，對數函數緊隨.因此，可以遵循“類比推理”的原則，將“指數函數”圖像變換的相關內容呈現.這樣有助于培養學生透過事物看本質，使學生的數形結合思想得到培養.

3.三角函數

“三角函數”圖像變化的相關內容出現于蘇教版高中數學教材必修4中，學生已經掌握了“對數函數”圖像變換的相關內容，因此可以采用“演繹推理”方式呈現，引導學生回歸到函數本質的認知上，通過演繹推理得出結論.

概括來說，從思維層次上來講，“理性思考——得出具體結論——作圖驗證——一般式”的方式要高于“作圖、觀察——思考分析——具體結論——函數一般式”的方式，這恰恰體現了“螺旋式上升”.

1.孔凡哲.基礎教育新課程中“螺旋式上升”的課程設計和教材編排問題探究［J］.教育研究，2007（5）.

2.曾榮.演繹推理讓數學課堂充滿理性與智慧——“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學實錄與反思［J］.中學數學月刊，2015（4）.F