由一道行程問題談問題解決中邏輯思維的形成

☉浙江省平湖中學 毛良忠

由一道行程問題談問題解決中邏輯思維的形成

☉浙江省平湖中學 毛良忠

用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達現實世界，這是數學素養的一種體現.學會數學地思考問題并解決問題是數學教學的目標之一，課堂教學中應重視培養學生的數學思維，讓問題解決更具邏輯性.

在平時教學中，我們總會遇到一些好問的學生，他們提出的問題有些往往不是我們教師十分熟悉的，教師在解答中也經?？?在幫助指導學生解題的過程中，我們應該更多地向學生傳授自己是如何走出困境，如何優化解題過程，多引導好念頭，良好的邏輯思維是怎樣形成的，也就是要教會如何思考問題的.下面的教學案例就是一次高一學生課外活動交流時的解題思維形成的呈現.

情境問題：若湖岸MN為一直線，現有一小船自岸邊的A點沿與湖岸成α=15°角方向勻速向湖中駛去.有一個人自A點同時出發，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船.已知人在岸上走的速度為v1=4m/s，在水中游泳的速度為v2=2m/s，試求船速至多為多大時此人才能追上小船.

這是源于生活的一道應用題，它很好地考查了學生的思維能力及數學運用意識.學生最初的感覺就是可以借助剛學過的解三角形知識來求解.

初探：設船速為vm/s，小船出發后t時被人追上，則船的行程為s=vt=AB.又設人在岸上走用時為t1，則人在岸上的行程為s1=v1·t1=4t1=AC，設人在湖中游泳用時為t2，則人在湖中的行程為s2=v2t2=2t2=BC，其中t1+t2=t.如圖1，在△ABC中，由余弦定理知，|BC|2=|AC|2+|AB|2-2|AC·||AB|cosα，代入得8cos15°tt1v.接下來如何運算呢？幾位同學都在這里卡住了，有同學將t1+t2=t代入消去t或t1，因運算量大且看不出問題的突破口而敗下陣來.一段時間后有同學想到了方程兩邊同除以t2，得到，令=k，則方程整理得4（1-k）2=16k2+v2-8cos15°kv.再將它整理成關于k的二次方程12k2+8（1-cos15°v）k+v2-4=0，要使k存在，則Δ=［8（1-cos15°v）］2-4×12（v2-4）≥0，即，解得或v≥（舍），于是小船的最大速度為

圖1

上面的成功求解在于發現了原方程恰是含t的齊次式，靈巧的換元使問題走向成功.能不能將上面的過程進一步優化呢？上面一波三折的處理促使我們思考有沒有更好的方法引領思維走向更成熟.

優化：設船速為vm/s，船出發后經時間t被人追上，則船的行程為s=vt=AB.又設人在岸上走用時為kt，則人在岸上的行程為s1=v1·kt=AC，人在湖中游泳用時為（1-k）t（0＜k＜1），則人在湖中的行程為s2=v2·（1-k）t=BC.考慮到v1=2v2，在△ABC中，由余弦定理知，|BC|2=|AC|2+|AB|2-2|AC|·|AB|cosα，代入得［v2（1-k）］2=（2v2k）2+v2-4v2vkcos15°，令，化簡得到關于k的二次方程3k2+（2-4cos15°x）k+（x2-1）=0，由題知k存在，故Δ=（2-4cos15°x）2-4×3（x2-1）≥0，即（4cos215°-3）x2-4cos15°x+4≥0，即，解得或（舍）.所以

上面的求解讓我們看到了從不同的角度設元能簡化運算，同時利用速度間的倍數關系化多元為少元，簡化后的表達式讓我們更清楚地看到了量之間的內在關系.

仔細觀察上面的三個量s=vt=AB，s1=2v2·kt=AC，s2=v2·（1-k）t=BC之間的聯系，我們也可將此問題適當轉化并抽象成一個更簡潔的數學問題：已知△ABC中，AB=x，AC=2k，BC=1-k，∠BAC=15°，求x的最大值.

對于這樣一個問題的提出，學生都感覺非常親切.模仿上面的過程可直接求解.有沒有其他的求解方法呢？能不能從“形”的角度進一步思考呢？已知條件中的AC=2k，BC=1-k，給了我們更多的思維想象空間.

在MN的異側過A作射線AH，使∠CAH=30°，過C作CH垂直于AH，垂足為H.則有，由于BC+CH=1（定值），易得B，C，H共線時AB最大（如圖2，當H1C1+C1B1=BH=1時，AB1＜AB），此時∠ACH=∠BCN=60°，顯然此時△ABH為等腰直角三角形.如果我們將AB還原到實際問題中，即，于是

圖2

巧解2：考慮到AC+2BC=2（定值），于是在直線MN上構造CP=2BC，則AP=AC+CP=2.于是問題轉化為定線段AP上確定一個點C，使得射線AQ上的點B滿足且|AB|達到最大值.

圖3

由上面的探究過程我們可以進一步地通過簡潔的幾何作圖尋得人在岸上入水游的最佳點C及船速最大時的相遇點B.

幾何做法：在定線段AP上，過點P作直線BP使得∠APB=30°，交射線AQ與點B，過點B作BC⊥BP，交AP于點C.則C就是入水點，B就是船速最大時的相遇點.

下面我們計算此時AB的數值.如圖4，在△ABP中，易得AP=2，∠APB=30°，∠ABP=135°.由正弦定理得計算得.同時由AB量的實際意義知，于是

圖4

上面兩種方法我們充分享受了數學模型的強大力量，感受了巧解并不是“帽子里掏出來的兔子”，而是對問題本質理解后的思維再創造.觀察上面的兩種解法我們欣喜地發現問題，求解中都出現了一個關鍵的量∠BCN=60°，它又有怎樣的內涵呢？

思維的深化：如圖5，設人在C點入水并在B點剛好能追上小船.這表示此時人追上小船所用時間最少，對應的小船速度最大，現設D，E是C點兩側附近無限靠近C點的兩個點，并設從D，E點入水追小船所用的總時間相等.現在BD上截取BF=BE，當BD，BE無限接近于BC時∠BFE接近于90°.由于從D，E點入水追小船的所用的總時間相等，所以人在走DE段與在水中游DF段所用時間相等.于是，所以，所以∠FDE=60°.因為D，E無限靠近C，所以∠BCP=60°.作BP⊥BC交MN于點P，于是CP=2BC，也就是人游BC段與走CP段所用的時間相等.所以人自出發點A經C點再到B點與人在岸上走AP所用的時間相等，并都等于小船從A到B所用的時間，即.在△ABP中，由，故

圖5

由此我們用逼近思想（微元法）破譯了巧解中的一個關鍵角∠BCN=60°.

回顧上面的問題探究過程，我們從最初的生活實際問題出發，在充分理解了問題的要義后，通過代數運算我們找到了小船的最大速度值，同時在求簡優化思想的引領下，我們將實際問題抽象提煉成了一個易于理解的幾何最值問題（它其實就是用數學語言描述實際問題的一個過程）.同時幾何作圖讓我們清楚地發現了一個特殊的角∠BCN=60°，微元法的探求讓形更具“理性”（這些過程也就是用數學的眼光觀察問題，用數學的思維分析問題的過程）.在問題的探究過程中更多地呈現了怎樣想問題，好的解題思維是怎樣形成的.

更一般地：若人在岸上走的速度為v0，在水中游泳速度為mv0（0＜m＜1），試求船速為多少時此人才能追上船.

如圖6，在MN上任取兩點P、C，作以C為圓心，m|CP|為半徑的圓，再過P作圓C的切線交射線AQ于點B，則點B就是船速最大時人入水后與小船的相遇點.其中sin∠BPC=m，由正弦定理知.故船速至多為

圖6

數學是研究數量關系和空間形式的科學，數學知識本身的規律性以及知識之間的邏輯關系是客觀存在的.在教學中我們要營造學習探究的氛圍，挖掘數學信息，從不同的觀點、不同的角度去審視問題，去揭示問題蘊含的本質.課堂教學要明確教學的著眼點在哪里，不能就是為了解題而解題，要關注學生的思維活動，要教學生如何看問題，如何開展思維活動.要用聯系的觀點認識學科知識之間的邏輯聯系，缺乏教學邏輯的教學常常表現在所研究的問題是孤立的，不能揭示出問題之間的邏輯關系.在教學中我們希望通過典型問題的研究幫助學生在理解數學問題和研究數學問題的過程中，感悟到數學知識的內在的邏輯性，關注思維邏輯的形成過程，讓學生體味“好念頭”“好解法”，自己也可以這樣發現.

只有教給學生的東西是賦有邏輯的、本質的，學生才能受益.只有教師從邏輯上明白了自己所教授的數學知識，才能教給學生真正的有意義的數學，才能讓學生體味數學是有用的，是自己能親身體驗習得的.

1.任念兵.淺談物理素材在數學教學中的作用［J］.數學教學，2006（4）.

2.蔡凱彬.從一道題看物理所涉及的解題方法與技巧［J］.中學物理，2010（11）.

3.張鶴.數學教學的邏輯——基于數學本質的分析［J］.北京：首都師范大學出版社，2016（10）.F