直擊數學復習教學的核心視角

☉江蘇省如皋市第一中學 夏 雋

直擊數學復習教學的核心視角

☉江蘇省如皋市第一中學 夏 雋

數學復習教學是體現教師設計能力、注重知識核心的總結性教學，對于學生知識掌握程度、深度、廣度有重要的聯系作用.但是復習教學又需要一定的層次性，這里的層次性復習對于學生而言是一種收獲較大的復習學習.以往對于學生高三數學復習教學，采用的是一輪二輪三輪這樣的普遍模式，在這一模式中一輪是全面梳理、二輪是專題復習、三輪是綜合卷反復，這樣的教學體現的是密集、集中的訓練模式，學生在疲勞反復低效中提升自己，而且就筆者了解大多數學校采用依舊是市面上的教輔資料，而教輔資料的編寫者都是對五年模擬、三年真題進行重組，談不上任何細化、分類，這樣的教學難免讓學生昏昏欲睡，提升效果緩慢.

從每年穩中有變的考綱和試卷變化來看，復習教學也需要緊跟上述變化，做出合理的應對，那種以往一成不變的三輪復習模式勢必要進行合理的修正，否則，師生在教學中都是疲于奔命而且效果不佳.因此筆者認為，重視試卷反饋的信息、直擊復習教學的核心視角、做出具備校本特色的復習是符合復習教學本質的一種教學活動.

一、重通法，輔特技

以往的復習教學一直強調數學知識的通性通法，而一味的批評特殊技巧、特殊性質的使用.筆者認為，這種看法是片面的.從學生實際情形來看，數學能力較強的學生不可能僅僅只會通性通法，而是依據其能力匹配合理的特殊技巧和性質，這必定在一定程度上大大加快其問題解決的速度，所以通性通法要重視，但依據合理的學情，特殊技能也可以輔助教學，做到有能者為之.

問題1：定義在實數集上的奇函數f（x）恒滿足f（1+x）=（f1-x），且x∈（-1，0）時，則（f4.5）=________.

分析：對于學生而言，若從通性通法的角度來說，其必定是將f（4.5）通過奇函數和f（1+x）=f（1-x）這兩個性質進行化簡，但是這種化簡學生比較生疏，而且若求f（145.5）怎么辦？是不是多次使用性質？顯然這里涉及抽象函數的一些特技：

特技1：若函數f（x）在R上滿足f（a+x）=f（a-x），且f（b+x）=f（b-x）（其中a≠b），則函數y=f（x）以2（a-b）為周期.

特技2：若函數f（x）在R上滿足f（a+x）=-f（a-x），且f（b+x）=-f（b-x）（其中a≠b），則函數y=f（x）以2（a-b）為周期.

特技3：若函數f（x）在R上滿足f（a+x）=f（a-x），且f（b+x）=-f（b-x）（其中a≠b），則函數y=f（x）以4（a-b）為周期.

本題恰恰是特技3的使用，奇函數f（x）關于（0，0）中心對稱，且f（1+x）=f（1-x）表明函數f（x）有對稱軸x=1，因此函數f（x）是以T=4|1-0|=4為周期的函數.因此f（4.5）=（f0.5）=-（f-0.5），由x∈（-1，0）時，可得（f4.5）.顯然與軸對稱、中心對稱、周期性相關的函數抽象表達式之間的一些特殊結論，是我們解決抽象函數的重要特技，有了這些特技對于學有余力的學生而言，自然是獲得了更高、更快的解決方式，提高了問題解決的效率.

問題2：與數量積相關的特技——向量的極化恒等式.設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有.則下列命題中正確的為______________.

（1）∠ABC=90°；（2）∠BAC=90°；（3）AB=AC；（4）AC=BC.

分析：學生對于本題的第一反應是

圖1

上述兩個問題，我們發現有些特技簡化了問題的求解過程，省略了不少過程，如問題1；有些特技完全是高等數學中知識本質的反饋，如問題2.在通性通法掌握的同時，若能擁有一定的特技，在復習教學的學習中勢必比他人擁有更為豐富的“武器”.在高考閱卷中，無論這些方法是中學數學教過的，還是各種高等數學的結論，筆者認為根據學生自身能力掌握適合自己的是非常行之有效的.

二、思概念，歸教材

數學概念是復習教學中往往受忽視的，因為概念怎么復習？常規的復習工作恰恰是用一些不痛不癢的問題在概念表面簡單梳理，這種復習可以說是對概念的淺表性層面進行鞏固，但是難以在概念深處有著深刻的思考和理解.如何才能做好復習教學中的概念復習呢？這個問題需要教師層層遞進的合理設計.以函數概念為例，筆者設計了函數概念中兩大難點：定義域和概念的深度理解.

變式1：函數y=f（x）的定義域為［-1，1］，求函數y=f（x+1）的定義域.

變式2：函數y=f（x-1）的定義域為［-1，1］，求函數y=f（x+1）的定義域.

變式3：函數y=f（x）的定義域為［-1，1］，求函數y=f（x+1）+f（x-1）的定義域.

變式4：函數y=f（x）的定義域為［-1，1］，求函數y=f（x+a）+f（x-a）（a∈R）的定義域.

分析：為了凸顯函數概念中定義域部分的理解，筆者設計了問題3及其變式組，從具體函數入手，結合抽象函數的思考，讓我們理解定義域的真正含義.變式2對于學生而言是一個跨越，學生對于條件“函數y=f（x-1）的定義域為［-1，1］”的理解，有助于其解決“函數y=f（x+1）的定義域”；有了變式2的理解，才有了學生函數概念中定義域真正的、更深的理解，即法則“f”的理解.

問題4：存在函數f（x）滿足，對任意x∈R都有_____________.（填寫符合題意的函數）

分析：作為中學數學最重要的概念，函數概念已經有了很多簡單的表面考查，但是直擊概念深度的考查是少之又少，給出問題4從函數概念更深的層次去思考.不少學生對于本題的第一反應是題意似乎沒有講完整，根本未能理解題意.這就需要在復習教學中直擊概念的核心——函數中法則“f”到底怎么理解（圖2）？這里的每一個x∈R是不是法則“f”的定義域？在較為抽象的形態下，學生陷入一種茫然.讓我們直擊函數概念最本質、最核心的部分：

圖2

以（4）為例，不妨令x=0和x=π，則f（0）=1及f（0）=π-1，顯然不存在這樣的法則“f”.其余依次可知正確性，只有（2）正確.思考概念，回歸教材是復習教學有效性的重要方向，切忌一味地在重復訓練中盲目向前，以訓練這些缺乏思維含量、僅僅提高熟練度的試題耗費學習的積極性，破壞學生思考的深刻性，這是復習教學的重要視角.

三、要運算，強算理

數學離不開運算，但是恰恰在這一環節上學生失去了太多的得分可能性，往往有很多學生在試卷分析的時候強調這個會算、那個會算，但是在考場中每次都“失之毫厘，謬以千里”，這是什么原因呢？僅僅是運算錯誤這么簡單？顯然不是，從筆者觀察來看，學生復習中不重視運算和算理是主要原因，這些運算失分可以從算理角度上思考，因此強化算理是提升運算質量的關鍵.

圖3

問題5：如圖3，已知拋物線C：y2=-4x上橫坐標為-3的一點，與其焦點的距離為4，設動直線y=x+b（b＞3）與拋物線C相交于A、B兩點，問：在直線l：y=2上是否存在與b的取值無關的定點M，使得∠AMB被直線l平分？說明理由.

分析：解析幾何是中學數學運算量最大的章節，直線和圓錐曲線的位置關系則是重中之重.不少教師和學生對于其的認知停留在只要會算、肯算就好，殊不知這一認識的片面性.近年來愈來愈多的問題不僅僅是考查運算，而是更從算法算理優化的角度進行先認知，只有獲得合理的算法才能簡化問題的運算，這是復習教學需要教師引領的.本題中“∠AMB被直線l平分”這一條件如何轉換為合理的算法？在代數解決幾何問題中最快捷的方式是kAM=-kBM.給出簡解：

不妨令A（x1，y1），B（x2，y2），設存在點M（a，2）滿足條件，由已知得kAM=-kBM，即有，整理得由得y2+4y-4b=0，即y1+y2=-4，y1y2=-4b，有-4b·（-4）+4a（-4）-2［（-4）2+8b］-16a=0，得a=-1，因此存在點M（-1，2），經檢驗滿足題意.顯然，合理的算理簡化了角平分線的處理.

總之，復習教學不再是以往一味的重復性操作，這樣只會久而久之降低復習的效率，我們要從更多的方面直擊復習教學的核心，從高考一再提醒的回歸教材、重視基本、強化算理、掌握特技等全新視角出發，讓學生的復習更上一層樓.

1.楊玉東.高中數學試題分析實施中的思維反饋［J］.中學數學，2015（2）.

2.柴賢亭.數學解題教學中的思維啟發設計［J］.教學與管理，2014（10）.

3.鄭毓信.解題教學理論的必要發展［J］.中學數學月刊，2016（1）.F