小議中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

☉江蘇省南通中學(xué) 張 勤

小議中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

☉江蘇省南通中學(xué) 張 勤

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授科學(xué)的知識，更重要的是在教學(xué)的過程中優(yōu)化學(xué)生的思想品質(zhì)，讓學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”，即掌握數(shù)學(xué)思維方法，發(fā)展思維品質(zhì)，促使學(xué)生形成多種能力.

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)具有四個方面的特征：靈活性、創(chuàng)造性、批判性和發(fā)散性.這四個方面是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基本標準，更是學(xué)生以后繼續(xù)學(xué)習(xí)和踏上社會所必需的基本能力.這就為我們指明了在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生能力的基本方向.

一、變式編題，培養(yǎng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)思維的靈活性表現(xiàn)在對問題題設(shè)的整體把握的基礎(chǔ)上靈活運用已有知識來解決問題的能力.

課本知識比較固定單一，所以我們的教學(xué)在基于課本的前提下，引導(dǎo)學(xué)生對問題進行深層次的剖析，可以根據(jù)自己的知識結(jié)構(gòu)，建構(gòu)新問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也加強了學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng).

例如，一元二次不等式的恒成立問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，又是教學(xué)的重點.在課堂上先給出了一個相對簡單的引例：

問題1 若對一切x∈R，不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的范圍.

引導(dǎo)學(xué)生分析，這個問題是開口向上的拋物線恒在x軸的上方，用數(shù)學(xué)語言描述：函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a，只要對應(yīng)的判別式Δ≤0.鼓勵學(xué)生結(jié)合自己的學(xué)習(xí)和自己平時練習(xí)的反思總結(jié)，進行變式編題，挖掘這類問題還可能出現(xiàn)的形式及解題方法，加強靈活性訓(xùn)練.

（1）二次項系數(shù)帶字母：若對一切x∈R，不等式ax2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的范圍.

分析：①a=0，2≥0成立；②a＞0，如上Δ≤0；③a＜0，根據(jù)圖形此時無解.

（2）函數(shù)定義域有限制條件：若對一切x≥-1，不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的范圍.

分析：①函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a與x軸沒有公共點，即Δ＜0；

②函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a與x軸只有一個公共點，即Δ=0；

③函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a與x軸有兩個公共點，即

其他還可以改變函數(shù)的定義域，x可以用sinx等函數(shù)代換，最后要總結(jié)些問題“萬變不離其宗”，緊緊抓住函數(shù)在定義域上的單調(diào)性、最值，在解題的過程中要注意靈活運用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等.通過這樣的自己變式編題，自己解決，對這類問題有了一種整體的理解，便于以后靈活的處理.

二、獨辟蹊徑，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性是在數(shù)學(xué)思維活動中，通過思維運用新思想、新方法、新觀點，揭示問題的本質(zhì).

問題2 已知函數(shù)f（x）是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，且（f1）=1，若a，b∈［-1，1］，a+b≠0，有

（1）證明f（x）在［-1，1］上的單調(diào)性；

（2）若f（x）≤m2-2am+1對所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，求m的取值范圍.

（1）是在已知區(qū)間上證明函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生一般都會利用定義法證明該函數(shù)在［-1，1］上單調(diào)遞增（為第（2）問作鋪墊）.

（2）要使f（x）≤m2-2am+1對所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，即m2-2am+1≥fmax，因為f（x）≤f（1）=1，所以m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0，a∈［-1，1］.

按照一般的方法是進行變式用m表示a，再對a的范圍進行討論，得到m的范圍，整個過程比較煩瑣.引導(dǎo)學(xué)生是否能用其他的方法解決，比如函數(shù)思想：一次函數(shù)的保號性.

令g（a）=-2ma+m2≥0在［-1，1］上恒成立.

三、錯題反思，培養(yǎng)思維的批判性

數(shù)學(xué)思維的批判性是在數(shù)學(xué)思維活動中思維嚴謹而不疏漏，能準確地辨別和判斷，善于覓錯、糾錯，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動，具有這種思維品質(zhì)的學(xué)生，就會善于發(fā)現(xiàn)矛盾，一針見血地指出問題的癥結(jié)，然后采取直接有效的途徑，解決問題.

一方面，在教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的細微差異的辨析.例如，在平面內(nèi)任意一條直線都有傾斜角；在平面內(nèi)任意一條直線都有斜率.在深刻理解斜率概念的基礎(chǔ)上，敢于發(fā)現(xiàn)思維中的漏洞，并加以糾正.

另一方面，可以通過典型錯誤問題的分析，提高學(xué)生的辨析能力.

問題3已知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求g（x）=f2（x）+f（x2）的最值.

錯解：因為f（x）=1+log2x，所以

因為1≤x≤4，令log2x=t，t∈［0，2］，

所以g=（t+2）2-2在［0，2］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=0時，有最小值，g（x）min=2；當(dāng)t=2時，有最大值，g（x）max=14.

初見解題過程時，看似沒問題.要引導(dǎo)學(xué)生在思考函數(shù)問題時，還是抓住函數(shù)的定義域等性質(zhì).再經(jīng)過思考后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)到g（x）=（1+log2x）2+1+log2x2，此時定義域已經(jīng)改變?yōu)?≤x≤2，令log2x=t，t∈［0，1］，所以g=（t+2）2-2在［0，1］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=0時，有最小值，g（x）min=2；當(dāng)t=1時，有最大值，g（x）max=7.

在解題后的反思時，重現(xiàn)剛才的思維過程，注重隱含條件的運用，還可以引申到相關(guān)的方程、不等式中，注重此類情況的應(yīng)用遷移.

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的各個方面是相互聯(lián)系、相互滲透，更是相互促進的.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的特征，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生不斷的嘗試、探索，將各種思維品質(zhì)在整個教學(xué)活動中有機地結(jié)合起來，這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的層次.

四、多元探索，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

思維品質(zhì)的發(fā)散性，是數(shù)學(xué)教學(xué)亟需培養(yǎng)的一種品質(zhì).我們知道，發(fā)散性是思維比較具備啟發(fā)的重要特性，對于學(xué)生后續(xù)的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高有著重要的作用.培養(yǎng)發(fā)散性最好的方式，是對問題進行多元探索，從不同角度解決問題去思考.

問題4 當(dāng)a為何值時，不等式x2-ax+a+1＞0（x∈［0，1］）恒成立？

分析：對于本題學(xué)生往往以二次函數(shù)為根基進行初步探索，通過對圖像的分析，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)隨著字母參數(shù)a的變換需要進行討論，這屬于分類思想的基本使用，是問題解決的一種基本方式；有些能力較強的學(xué)生則將問題通過變換主元的角度切入，通過變換主元，發(fā)現(xiàn)本題從一次函數(shù)入手，顯得非常容易，利用函數(shù)圖像解決；更有學(xué)生將問題分解為兩個不同函數(shù)切入，從兩個函數(shù)圖像的角度思考，也不失為一種好方式；甚至有學(xué)生從純粹的代數(shù)角度思考，將不等式的解集中，尋找問題解決的機會，盡管計算可能有些煩瑣，但是理論角度而言是可行的，而且是直覺性思維的一種體現(xiàn).

發(fā)散性1：令函數(shù)f（x）=x2-ax+a+1（0≤x≤1），則函數(shù)圖像的對稱軸為，然后分三種情況進行討論，分別求出f（x）在各種情況下的最小值，只要使最小值大于0，即可求出a的取值范圍.

發(fā)散性2：當(dāng)x=1時，不等式對任意實數(shù)a都成立，此時a∈R.當(dāng)x≠1時，不等式可轉(zhuǎn)化為恒成立.只需求函數(shù)上的最大值ymax，使a＞ymax即可.故a的范圍為（-1，+∞）.

發(fā)散性3：在同一坐標系下作出函數(shù)y1=x2和y2=a（x-1）-1（恒過定點（1，-1））的圖像.要使y1＞y2在x∈［0，1］時恒成立，直線y2的斜率a應(yīng)大于-1，故a∈（-1，+∞）.

發(fā)散性4：設(shè)原不等式的解集為A，則問題可化為：當(dāng)a的取值范圍為何時，［0，1］?A？當(dāng)Δ=a2-4（a+1）＜0，即時，A=R，滿足［0，1］?A；當(dāng)Δ=時，不 等 式 的 解 集 A 為時，要使［0，1］?A，必須有或，解得-1＜a≤2-或

綜上有a∈（-1，+∞）.

問題的解決使用了多元的探索，解決問題不僅僅是尋求問題的答案，而是通過不同的思考去尋找、對比更合適的問題的解決方法.有時我們對做過的題進行溫故的時候，會發(fā)現(xiàn)其中所含的數(shù)學(xué)思想方法是非常具有典型性和代表性的，對這些思想方法的提煉、總結(jié)、歸納，提高學(xué)生思維的發(fā)散性，會給學(xué)生今后的解決問題以及思維品質(zhì)帶來較大的幫助.

1.蘇小強.例談數(shù)學(xué)教學(xué)中多解建構(gòu)探索與思考［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014（6）.

2.楊建輝.新課程標準下教師教學(xué)設(shè)計中應(yīng)具備的幾種意識［J］.數(shù)學(xué)通報，2011（2）.