淺談培養學生的問題意識

☉南京大學附屬中學 杭麗華

淺談培養學生的問題意識

☉南京大學附屬中學 杭麗華

中學數學歷經八次課程改革，到今天已走過了六十年.筆者從學生時代開始學習數學，到今天數學教學飛速的變革，數學教學逐步在向更高、更快的思維層面發展.但從一線教學的實際來看，筆者認為數學教學依舊沒有徹底擺脫傳統教學中的一個頑疾——教學中教師講授部分過多.這樣情況的出現還是有很多原因的，首先，作為中學數學教師的我們，當年學習的時候大都是在這樣的講授教學中度過的，本身缺乏主動對問題思考的意識，導致今天作為教師時也沒有改變這樣的意識.其次，教學課時的不足，這也導致了大量教學必須以精簡、快速的節奏進行，在課堂教學中也壓縮了學生思考的空間，更談不上培養學生問題的意識.最后，學生的問題往往千奇百怪，若沒有研究精神的教師往往招架不住，這也是專業化精神不足的體現.

數學學科課程改革對于學生的發展提出了全新的六大核心素養，要求教學進一步徹底向學生思維和能力發展的方向進行轉變，各高校自主招生和三位一體的繼續擴大也體現了學生能力要求凸顯更為重要，因此培養學生思維和問題意識，比能機械模仿地解決數學問題來得更為重要，成為教學新的增長點.

一、注重情境，有感而問

中學數學是講求形式化與非形式化的完美融合，只有兩者的較好融合才能在教學中滲透知識的內涵和外延.教材中的知識是冰冷的、線性的、形式化的，這些形態特征決定了其不可能被學生很好地接受，因此教師的作用在于如何做好這些過渡，將其轉換為學生通俗易懂的教育形態.筆者認為，中學數學中合理的轉換需要借助情境，有情境才能讓學生產生具體感知與抽象歸納之間的聯系，才能產生一系列思考，產生問題，從而建立思考的意識，問題的意識.

案例1《指數函數》情境設計

師：前面同學們學習了指數運算，今天我們來學習指數函數.首先我們先來看一個實際問題，大家測量下，一張紙的厚度大概是多少？

生1：比較薄一點的紙，大概是0.01毫米.

師：請你對折一下，現在的厚度是多少？

生2：0.01×2毫米.

師：還是很薄！那我們接著對折，再對折，一直重復30次吧.你會想到什么？

生3：我很想知道，這個時候紙張的厚度是多少？

生4：我想知道它大概的高度有多少？

師：好！同學們都積極地提出了問題，至于結果如何？我們請其他同學思考.

生5：這個簡單，應該是0.01×230毫米！我猜應該是三、四層樓這么高吧？

師：同學們列出的式子非常正確！至于這個數值到底是多大，猜測得對不對？我們不妨請大家用計算器算一算.

生6：0.01×230≈10737418（mm）≈10737.418（米）！這個數值很大，大到有點夸張！

師：是的！同學們一定很驚訝，一張很薄的紙對折30次的厚度竟然遠遠超過了珠穆朗瑪峰的高度！

生7：是的！遠比我們想象的要大得多的多！

師：那你對這個現象進一步想一想，你會覺得上述什么方面很值得進一步的思考？

生8：我想知道為什么2n增加得這么快？這難道就是今天要學的一種新的函數？這樣的增長速度讓我想起了生物學中常常講起的細胞分裂，1個變2個，2個變4個，4個變8個，…，如此下去，爆炸式的增長.

師：同學們的思維非常靈活，也提出了很多的問題，這正是我們今天要研究的一種新的基本初等函數——指數函數，即形如f（x）=ax（a＞0anda≠1）的函數.

本課例的引入是生活中的折紙問題，一個小小的、不起眼的折紙問題，引發了學生積極的思考，而且折紙30次這種實踐讓學生對課堂充滿了期待，學生非常渴望知道0.01×230毫米到底是一個多大的數量概念？當這一答案揭曉的時候，學生又提出了問題：為什么增加如此之快？這些都與本課成功的情境設置精密相關，因此可以說一個合理的情境可以激發學生思維的迸發，爆發出一系列迫切的問題，是一種潛意識的問題思考.

二、以錯為媒，自發而問

數學離不開解題，而解題水平的提升離不開錯誤的發生.可以這么說，一定程度上的合理錯誤是提升學生思考全面性的必經之路.要提升學生的自我思考、提出問題意識，可以從錯誤的試題中尋求答案，這種尋找恰恰反映了學生學習的障礙所在，對學生思維嚴密性有著較強的反饋，這可以大大激發學生后續學習的步驟，即發現問題、解決問題、提出問題，從而形成一種自發而問的問題意識.

案例2已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范圍.

①+②，得0≤2x≤4，即0≤4x≤8；

②×（-1），得-1≤y-x≤1.③

①+③，得0≤2y≤4.

故而代入f（2）=4x+2y，得0≤f（2）≤12.

分析：本題是不等式與不等關系章節學習中的一個經典問題，這種錯誤也是初學者易犯的錯誤.教師請學生自我驗證，并自行發現問題、解決問題，提高學生自發而問的意識.

師：請同學們檢驗下，你的答案正確與否？

生1：我發現有些問題，由0≤x≤2以及0≤y≤2得到0≤x+y≤4，這與已知條件相矛盾啊！

生2：是的！但是我在上述過程中，好像沒發現什么問題？

師：那先從結論出發思考下，明明1≤x+y≤3，怎么經過一變形再回來，就變成0≤x+y≤4了呢？從這里入手思考應該有收獲？

生3：我畫了一幅圖，從圖中我明白了為什么這么做是不行的！

師：展示給大家看一看，再說說理由.

圖1

圖2

我發現，題中條件所表示的變量范圍遠遠小于變形之后的變量范圍，說明在研究過程中，已經將變量范圍給擴大了，這樣勢必導致前后矛盾的產生！

生4：我認為，這主要是變量x、y之間有相互制約的關系，而得到0≤x≤2以及0≤y≤2時，我們已經破壞了兩者之間的相互制約，導致了范圍的擴大，這里圖形比較好地闡述了錯誤的原因.

生5：哦，我明白了！也就是說，得到的單量0≤x≤2以及0≤y≤2的范圍并沒有錯，但是它們之間的相互制約性卻沒有辦法顯現出來，并不是說0≤x≤2以及0≤y≤2所有的點（x，y）都滿足題中條件，因此錯解就是錯在這里了.

生6：正確的解答：f（2）=4x+2y=3f（1）+f（-1），由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，故而兩式相加可得2≤f（2）≤10.

師：本題也可以用我們后續線性規劃的知識求解.

典型的錯誤是一個合理的教學平臺，恰恰可以讓學生進行深思和問題意識的培養.本題中的不等關系，是初學者常常犯的錯誤之一，從教學中不難發現教師哪怕講數遍，學生依舊在這里不停的犯錯誤，究其原因是那是教師的思考，并不是學生的思考.所以，以錯題為載體，請學生探索和發現，將這一錯誤挖掘的過程不斷的分析、思考，用學生相互思考、提問的方式獲得了成功.

三、以變為鏈，深思而問

數學最終離不開解題，那么在解題中帶來的將是更多的思考，而思考帶來的是思維的深入，有了深入的思維才會有不斷發現問題、思考問題的意識.

案例3 AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足.若點C在平面α內運動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點C的軌跡為___________（填圓錐曲線中的某一種）.（答案：拋物線）

分析：這樣的問題到底是從哪里去思考切入？考查了什么知識點？后續學習中更要關注什么？如何真正理解以教材為本的教學？……其實，教材圓錐曲線一章的章頭圖中，清晰地表述了圓錐曲線之所以這樣稱呼的主要原因，即用平面截圓錐曲線得到的截口曲線.這樣的教學讓學生獲得了思考和問題：

問題1：圓錐曲線為什么這么稱呼？

問題2：截口曲線有哪幾種？

問題3：學習要注重什么？要注重教材中基本概念以及延伸.

變式1：斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是___________.（答案：橢圓）

變式2：二面角α-l-β的大小為120°，AB垂直平面β交l于B，動點C滿足AC與AB成40°角，則點C在平面α和平面β上的軌跡分別是___________.（答案：雙曲線、圓）

知識的變式鏈接，是知識深度使用的體現，這種體現的背后挖掘了學生積極思考知識的本質，從而從更深的概念角度提高了問題的意識，獲得了更好的學習體驗.總之，培養學生的問題意識還需要全方位的教學引導，教師要有意識的引導、設計，就能從多角度去提升學生的問題意識，獲取更好的知識本質.

1.趙緒昌.讓數學課堂教學的錯誤美麗起來［J］.中國數學教育（高中版），2011（1）.

2.王甫森.學會提問——課堂教學實踐及反思.［J］.中國數學教育（高中版），2011（10）.