以課例點評談數學核心素養的培育*

☉安徽省阜陽市太和中學 岳 峻

☉安徽省教育科學研究院數學教研所 李院德

以課例點評談數學核心素養的培育*

☉安徽省阜陽市太和中學 岳 峻

☉安徽省教育科學研究院數學教研所 李院德

某中學今年舉行了中青年教師優質課大賽，筆者結合參賽數學教師的課例點評，對如何理解教材、理解教學、理解技術、理解數學，如何培育學生的數學核心素養談談自己的觀點，與諸位同行交流.

一、提升理解教材的悟性

案例（一）雙曲線的標準方程

1.引入

教師甲借助于多媒體播放網絡歌曲《悲傷雙曲線》的片斷引發學生了解雙曲線的興趣，然后借助于幾何畫板設計了一個動畫引入雙曲線：

圓F1與圓F2的半徑相同，點P是圓F1上的動點，線段PF2的垂直平分線與PF1的延長線交于M，拖動點P時，請觀察點M的運動軌跡是什么？（如圖1所示）改變兩圓的半徑的大小呢？（如圖2所示）

圖1

圖2

2.設計初衷

教師甲：教材的拉鏈實驗活動，太普通，太接近我們的生活，沒有新意，為此，不拘泥于教材的“陳舊”的拉鏈實踐活動的設置，利用多媒體技術創新地設計了一個動畫引入雙曲線的定義.

3.反思

本單元教材設置的引入的第一個環節是：“思考：我們知道，與兩個定點距離的和為非零常數（大于兩定點的距離）的點的軌跡是橢圓，那么，與兩個定點距離的差為非零常數的點的軌跡是什么呢？”這個環節的設置滲透了類比的思想，是引領學生獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學的基本技能、基本思想.

第二個環節是拉鏈實驗活動，如圖3，是最本真的數學實驗.這個環節的設置很好地將雙曲線這個比較抽象的定義進行了形象、直觀地演示，使得學生獲得豐富的基本活動經驗，體現了數學源于實踐，又指導實踐，提升學生“用數學”的自覺性，可以取得事半功倍的效果.

圖3

第三個環節是：“思考：類比橢圓的定義，你能給出雙曲線的定義嗎？”這個環節的設置目的是引領學生提高從數學角度發現和提出問題的能力，培育學生的直觀想象、數學抽象、數學建模的核心素養.

教材承載著新課程改革的理念和導向，滲透著數學學科核心素養的培育，同時也體現了高考改革的發展趨向.教材上出現的任何信息都有它存在的價值，課本的結構是反復考量的，語言是字斟句酌的，例題是千錘百煉的，習題是精挑細選的，課本的每個素材的選取、問題的設置、規律的呈現等都具有極高價值.教材是編者集體智慧的結晶，是數學知識和數學思想方法的重要載體，又是教師的“教”和學生的“學”的主要資源.

教師甲不拘泥于教材的意圖是無可厚非的，但是，她缺乏“理解教材”的意識，忽略了核心素養的培育.引例的設計，不僅應該將數學概念與學生熟悉的生活場景聯系起來，起點要低，讓抽象、難懂的數學概念更貼近學生生活，變得直觀、生活化，使其成為“有效”的引入，使所有學生都能順利接受、理解，而且要揭示概念的本質屬性，將學生的數學實驗過程由感性認識提升至理性認識的高度，讓學生深刻領會到數學與實際生活之間密不可分，進而培育學生的數學抽象、數學建模等核心素養.而教師甲的幾何畫板的演示比較突兀，好似天外來客，沒有了基本活動經驗的生成，呈現了雙曲線“冰冷”的美麗，澆滅了學生的“火熱”的思考，學生只知其然，只有感慨：“高明！但，想說愛你不容易！”

教師的首要任務就是研讀教材，可以結合學生的認知水平，不拘泥于教材，但是，要尊重教材，揣摩教材編者的設計意圖，將教材這一“靜態文本”背后的“動態故事”恰當地給學生進行解讀和“翻譯”，結合自己的創造性，搭建學生思維馳騁的平臺，給學生留下廣闊的思維空間，打造精彩交融的培育數學核心素養的“生命”課堂［1］.

二、注重理解教學的真諦

案例（二）直線的傾斜角與斜率

1.引入

在講授直線的斜率概念時，究竟采用傾斜角α的哪個三角函數值為直線的斜率，教師乙畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx在區間［0，π）上的圖像，讓它們來個“公開、公正的競聘”，看到底哪個函數能勝出.教室里出現了激烈的討論，教師根據學生討論的結果進行點撥、評析：正弦函數y=sinx在區間［0，π）函數值都是非負的，且對于不同的角，可能有相同的函數值，不利于直線問題的學習與研究，因此它失去了“當選”的資格；對于余弦函數y=cosx在區間［0，π）上雖然單調，也能保證一個斜率值對應一類位置確定互相平行的直線，但美中不足的是，即當傾斜角時，直線的斜率k=0，而此時直線垂直于x軸，“傾斜程度夠大”，得其斜率k=0，這顯然不合乎情理，它也不具備“勝出”的條件；y=tanx在區間上雖然不單調，但它確保了一個斜率值對應于一類位置確定互相平行的直線，并且當直線垂直于x軸時，直線變豎直了，“傾斜程度”大的達到極限位置，一點也不傾斜了，而此時的y=tanα→∞，即斜率就不存在了，這是多么和諧與自然！

2.設計初衷

教師乙：尊重教材，忠于教材，但不局限于“復制”“粘貼”地照本宣科，將教材中隱含的思維“找回來”，激活教材，洞察數學知識的內在本質.

3.反思

教師乙不拘泥于教材的做法是值得提倡的，結合三角函數y=sinx，y=cosx，y=tanx在區間［0，π）上的圖像，讓三者的函數值“競聘”表示直線的斜率，善于將教材中抽象的“學術形態”轉變為學生易于接受的“火熱”的思維，實現思維過程的重構，有利于學生體驗數學的真諦，還呆板的課堂一個自然和諧、興趣盎然的動態生成的“思維演練場”.

事實上，每一個數學概念雖然是千錘百煉的數學精華，其起源與產生都是自然和諧的產物，然而，受篇幅的限制，教材不可能將它的來龍去脈一一展示出來，所經歷的“火熱”思考也無法呈現，這就需要教師“智慧”教材，還原其發生、發展過程的情境，體驗“數學化”的思想，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界，發展學生的數學建模等核心素養.

三、正待多媒體技術的助力

案例（三）余弦函數的圖像與性質

1.引入

2.設計初衷

教師丙：在已經學習了正弦函數的圖像與性質之后，引領學生“五點法”畫圖，以“幾何畫板”的動畫形式演示余弦函數的圖像的生成過程，最后強化性質的應用.

3.反思

教師丙借助于“幾何畫板”以動畫的形式動態地演示余弦函數的圖像的生成過程，更為貼合教材的理念，也有利于學生理解誘導公式的功能，理解有待學習的三角函數的圖像變換，是值得提倡的，也是多媒體技術的價值之所在.但是，余弦函數的性質也借助于PPT技術一屏一屏地展示，不給學生思考的過程，扼殺了學生的激情，特別是后續的“鞏固深化”“發展思維”“高考鏈接”等，例、習題也沒有“留白”，多達30屏之多，純屬“填鴨”，表面上看，多媒體技術的應用非常熟練，比較“引人入勝”，知識目標已達成，還挺“高效”的.事實上，學生毫無激情可言，學生的異口同聲更顯“演戲”，浮于表面而已，全然忽視核心素養的培育.

數學的高度抽象等特點都是非常人思維的結晶，數學教學是重心，多媒體技術是工具.對多媒體技術感興趣的部分教師在理解數學、理解教學、理解學生的基礎上為了突破難點進行多媒體微課制作，是難能可貴的，但炫耀多媒體技術是誤區.“核心素養引領，媒體技術助力！”這才是正道.

四、耐心聚焦素養的引領

案例（四）雙曲線標準方程的推導

1.引入

在歸納出雙曲線的定義后，教師丁啟發學生，提出探究問題：“請問，你能類比橢圓的標準方程的推導過程來推導雙曲線的標準方程嗎？”然后巡視，個別輔導，4~5分鐘后略作點評進入下一個環節.

2.設計初衷

學生已經熟悉了橢圓標準方程的推導過程，因此，學生應用類比的方法推導雙曲線的標準方程，應該有能力完成的.

3.反思

教師丁應用類比的方法是完全合理有效的，點評課例時，筆者問到：“給你5分鐘的時間，你能順利地推導出雙曲線的標準方程嗎？”

其實，雙曲線的標準方程的推導過程承載著以下功能：

③特征量a，b，c數量關系b2=c2-a2的由來，而不再是橢圓中的b2=a2-c2；

④數學運算的素養培育的基本經驗活動中，對數學的簡潔美的體驗.

教師丁的處理并沒有給學生充足的時間，使得學生缺失了基本技能的形成，沒有經歷基本經驗活動的歷程，使得培育核心素養，特別是數學運算素養的絕佳時機喪失.

學生數學核心素養的發展具有漸進性，特別是數學運算的素養是通過數學學習逐漸形成和發展起來的，因此，數學教學要注重過程性.這里的“過程”主要體現在兩個方面：一是數學知識的發生、發展過程；二是學生的思維活動過程.注重“過程”，教師就要遵循學生思維發展規律，讓學生簡約地經歷知識的發生、發展過程.而雙曲線的標準方程的推導恰好是培育學生的邏輯推理、數據分析和數學運算等數學核心素養的極佳途徑之一，教師應該給予學生充分的時間，讓學生用數學的思維分析世界，通過建立和求解數學模型解決實際問題，通過抽象符號或直觀圖形表示具有某種共同特征的對象，通過精確計算定量地分析問題，通過推理探尋解決問題的路徑，通過收集、整理、分析數據的特征化繁為簡，在基本經驗活動中體驗數據分析、邏輯推理的功能，提高了學生自己分析和解決問題的能力，學會用數學的語言表達世界［2］.

以上筆者結合參賽數學教師的課例點評，對如何領悟教材的意圖、理解教學的真諦、正待多媒體的助力、聚焦核心素養的引領，如何培育學生的數學核心素養，提升教學品位，作了一些思考和探討.筆者的思考也許是幼稚的，認識也許是膚淺的，但總可以拋磚引玉，供方家批評指正.

1.岳峻，梅磊.領悟教材意圖 提升教學品位——以數學歸納法為例［J］.中小學數學，2016（5）.

2.岳峻.以數學審題 探核心素養如何落地［J］.數學通報，2016（11）.

*本文系安徽省教育科學規劃課題《基于核心素養的高中數學教學的實踐途徑與策略的研究》的階段成果；安徽省阜陽市教育科學規劃課題《基于微課的翻轉課堂的數學教學實踐研究》（編號FJK16054）的階段成果；岳峻名師工作室的初步研究成果.