引入多樣情境，發展數學抽象
——基于數學核心素養的“數列概念”教學設計

☉湖北大學數學與統計學學院 張素婷

引入多樣情境，發展數學抽象
——基于數學核心素養的“數列概念”教學設計

☉湖北大學數學與統計學學院 張素婷

數學核心素養是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會需要的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現.高中數學課標修訂組指出，數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析.其中數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或數學術語予以表征［1］.

如何在數學學習的過程中逐步形成數學素養是教學實施者關心的問題，凡是概念學習均能培養數學抽象核心素養.本文僅從數學情境這一環節以“數列概念”為例，探討如何在課堂教學中發展數學抽象，落實數學核心素養，旨在拋磚引玉.

一、基于數學核心素養的教學要求

《普通高中數學課程標準（實驗）》對數列概念教學的要求是通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數列是一種特殊函數［2］.所謂了解，就是對所學知識有初步的感性認識，知道這一知識內容是什么，會按照一定的程序和步驟操作，并會模仿地利用所學知識解決簡單問題.對于數列的概念而言，能由一些具體事例分析出數列的共同屬性，歸納出本質屬性，能用數學符號給予表征，能通過觀察感知實際情境表示出數列，從而領悟數列與函數的關聯與區別，能識別哪些是數列，這是一個具體-抽象-具體的過程，是形象思維到抽象思維的過渡，滲透了從特殊到一般的數學思想，故而數列概念可作為發展學生數學抽象素養良好的培養基.

二、數學核心素養的教學理論基礎

眾所周知，概念教學是課堂教學的重中之重，而數學概念形成的過程實則數學抽象的過程.認知心理學的觀點認為，數學概念的抽象依靠抽象思維，是在對事物的數形屬性進行分析、綜合、比較的基礎上，抽取出本質屬性，舍棄其非本質屬性，使認識從感性的具體進入抽象的規定，形成數學概念［1］.

以上述理論為依據來看數列概念教學，數列作為一類特殊的函數，是數學重要的研究對象，是研究其他函數的基本工具，在日常生活中有著廣泛的應用.因此，著眼于發展學生數學抽象的核心素養，可以學生熟悉的客觀世界中的特殊函數模型為載體，構建多樣化的問題情境，讓學生經歷如下幾個問題的抽象思維過程：

（1）每個問題中所涉及的量與量之間有何數量關系？

（2）能用數學的方式來表示嗎？如表格、圖像、通項公式（含遞推公式）.

（3）能抽象出上述問題的共性嗎？

（4）能概括出上述問題的本質屬性，并用符號化表達嗎？

在觀察、分析、比較、概括的過程中發展學生的數學抽象素養，在這個過程中設計合適的問題情境顯得尤為重要.數列概念雖然簡單，許多教師采用“天上掉下個林妹妹”式的方法直接給出數列的概念，省去了學生抽象概括的思維過程，這無疑是剝奪了學生進行數學化思考和表達的機會.由于數列這一概念是建立在函數概念的基礎之上，可從特殊函數出發，同化出數列的概念；另一方面，數列概念與數學史、數學文化密切相關，可從畢達哥拉斯學派提出的“形數”講起，甚至還可以從生活中的數列創設情境.總之，引入多樣化的情境能為數列的概念教學提供豐富的教學資源，為發展學生的抽象素養提供感性的材料.

三、多樣化的情境引入

1.數學史情境

數列的概念可從畢達哥拉斯學派的“形數”講起：畢達哥拉斯學派有一個基本的信條——萬物皆數，他們認為世界萬物都包含數，都能用數來解釋.傳說，他們經常在沙灘上用小石子擺成各種形狀來研究數.

觀察圖1：

圖1

問題1：圖1是畢達哥拉斯學派用小石頭擺出來的圖形，你能猜一猜他們想表示哪些數嗎？

問題2：你能不能嘗試著再接著往后畫出幾個圖形呢？它們分別表示哪些數？

填表：

表1 三角形數

由于1，3，6，10，15，…這些數都能夠表示成三角形，他們就將其稱為三角形數.類似地，他們還研究了正方形數.

活動：請大家嘗試畫一畫正方形數的圖形.看看你畫的和畢達哥拉斯學派的數學家畫的是一樣的嗎？

多媒體展示：

圖2

問題3：圖2中的小石頭表示了哪些數？你能接著再往后寫幾個數嗎？

填表：

表2 正方形數

問題4：請觀察表1、表2中的數，這兩列數有什么共同特征？

小結：像這樣，按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.

問題5：數列中不同的項能調換順序嗎？由此你認為數列中的每一項與什么有關？

小結：數列中的每一項都與它所在的順序（序號）有關，排在首位的數稱為這個數列的第一項（也稱首項），排在第二位的數稱為這個數列的第二項，排在第n位的數稱為這個數列的第n項.為了研究方便，數列可以用符號表示成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為｛an｝.

可見，數列｛an｝中的每一項ak與其序號k（k=1，2，...，n，...）之間有著下列對應關系：

問題6：從上述對應關系來看，你對數列有何更深的理解？

問題7：｛an｝和an所表示的含義一樣嗎？

……

設計意圖：本節課是數列章節的第一節課，也是概念課，需要學生經歷從特殊到一般的抽象思維過程，而抽象化、符號化的數學語言難免枯燥，于是選擇了融入數學史的方式作為情境引入，意在激發學生學習興趣，活躍課堂氣氛.引導學生跟隨哲人的步伐，回到古希臘與古人對話，以“形數”為載體，在畫圖填表等活動中，逐步從具體走向抽象，用數形結合的思想方法助推建立起數學抽象，通過數列的符號化表達，進一步理解數列的本質就是函數，旨在提升數學的符號意識，進而發展數學抽象，從而獲得數列概念.

2.生活情境

等差數列可從生活中隨處可見的例子講起：

你知道“麥田怪圈”嗎？麥田怪圈是在麥田或其他農田上，通過這種力量把農作物壓平而產生的幾何圖案（如圖3），這個麥田圈是由一組同心圓構成，最里面的圓半徑為1m，其他的圓半徑

依次增加1m.那么，同心圓半徑由內向外依次排成的數列是什么數列？由小到大的同心圓周長依次排成的數列是什么數列？

圖3

生活中還有許多這樣的數列，你能舉出這樣的例子嗎？

①下面小張雙十一在淘寶上買鞋時的尺碼（單位：cm）：

22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5.

②在過去的三百多年里，人們分別在下列時間里觀測到了哈雷慧星：

1682，1758，1834，1910，1986.

③武漢劇院的雙號座位號：

38，40，42，44，46，…

④第一屆奧運會始于1896年，此后每四年舉行一次：

1896，1900，1904，1908，1912，1916，…

問題1：請觀察上述數列，它們有什么共同特征？

小結：像這樣，如果一個數列從第2項起，每一項與它前面一項的差都等于同一個常數，則稱這個數列為等差數列，這個常數稱為公差，通常用d來表示.

問題2：怎樣用數學符號表示等差數列的特征？

問題3：你能概括出什么是等差數列嗎？

問題4：分別作出它們的圖像，說說圖像有什么共同特征？

設計意圖：能通過對日常生活中的實際問題的分析對比，觀察歸納，建立等差數列模型，讓學生繼續感受數列的函數特征，并進一步理解數列作為函數的特殊性，將等差數列與一次函數進行類比.

3.故事情境

等比數列的概念可從一個流傳已久的故事說起：

在古代，有一個聰明的大臣發明了國際象棋，國王想要獎勵他，然而大臣卻只想要一些麥子，他說：請陛下在棋盤的第一個方格放1粒麥子，第二個方格放2粒麥子，第三個方格放4粒麥子，…以此類推，直到第64個方格.

問題1：麥子數形成的數列1，2，4，8，16，…有何特點？

然而，數學概念的形成需要大量的實例反復感知，僅有這一個數列無法發現出等比數列的本質屬性.因此，筆者對這個故事情境進行了續集改編，從而得到另一個常見的等比數列：

棋盤事件讓國王顏面盡失，但國王非常好學，通過學習，他對這種數列有了新的認識，于是他又召見了大臣，說：“我很遺憾國庫里沒有這么多麥子，但我這里有一根1米長的金手杖，我決定在10天之后把它賞賜給你，但從今天起，我每天要拿走金手杖的一半.”［3］

問題3：這兩個數列有什么共同特征？

問題4：通過觀察，比較，你能歸納出等比數列的特征嗎？

問題5：你能類比等差數列的定義，概括出等比數列的概念嗎？

設計意圖：通過這個喜聞樂見的故事，激發學生的學習熱情，讓學生在“新、奇、趣”的情境中感知等比數列的本質特征，進而引導學生用抽象化、符號化的語言概括出了等比數列的概念.此前學生已經學習了等差數列，因此這里概念的形成完全可以類比等差數列，可進一步理解概念與概念之間的聯系，在學習中化繁為簡，形成一般性的思考問題的習慣，這也是數學抽象核心素養的培養目的之一.

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，它能幫助學生用數學的眼光看待問題，用數學的思維分析問題，用數學的語言表達問題［4］.數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統.本文試圖從情境引入環節精心設計教學來尋求發展學生數學抽象核心素養的途徑，如何更有效地發展數學抽象核心素養是可繼續研究的方向.

1.章建躍.樹立課程意識，落實核心素養［J］.數學通報，2016（5）.

2.中華人民共和國教育部：普通高中數學課程標準（實驗），人民教育出版社2003年版.

3.楊玉東，王兄.運用關鍵性教學事件分析支撐中國式數學課例研究［J］.數學教育學報，2015，24（3）.

4.彭翕成.例說數學核心素養［J］.教育研究與評論，2016（5）.