善于追問 一氣呵成

黃相紅

已知直線l：y=k（x-1），橢圓C：■+y2=1

判斷直線l和橢圓C的位置關系.

（2） 若k=■，直線l和橢圓C相交于M，N求|MN|的值.

（3）設M N的中點P，是否存在k，使得OP⊥MN？

（4） 設MN的中點P，當k變化時候，請求出P點的軌跡方程.

題（1）分析

師：今天，老師為大家準備了這個內容，和大家探討下。（彈出課題），停頓，請看題（1），（彈出幾何畫板，不過只彈出橢圓，由于直線中有k，暫時不彈出），巡視，誰有結論？

生：相交.

老師追問：你是怎么做的 ？

生：直線過橢圓內一點（1，0）

師贊嘆：你太厲害了，做出圖形，發現定點。（幾何畫板上標出直線）

師追問：那常規的其他方法有嗎？

生：列方程組，判斷解的個數.

師總結：判斷直線和橢圓的位置關系，聯列方程，消元，得出關于x的一元二次方程，若一元二次方程中△大于0，則直線和橢圓相交，若△等于0，則直線和橢圓相切，若△小于0，則直線和橢圓相離.

師：若△的值有時候大于0，有時候小于0呢？

眾生：相交或相離.

師：什么時候可以由圖像直接判斷直線和橢圓的位置關系？

眾生：直線上存在點在橢圓內.

【學情預設】學生會有兩種可能解答此題，法一是列方程組，法二是發現直線通過橢圓內一點.最好先用繁瑣的聯立方程的方法，然后再簡單，總結中提醒注意直線中右邊=0，橢圓中右邊=1，老師要思考上課用短句，指令準確，不可模糊。解答后板書直線和橢圓的位置關系判定的代數法和幾何（直觀觀察交點個數）.

題（2）分析

師：同學們，在三種關系中，大量的問題集中在相交上，我們今天主要研究下相交時候的情形。請看題（2）。（停頓，巡視，發現相當多同學想把兩點的坐標具體求出）

師提示：同學們，我們最終要求的是弦長，請先把兩點距離公式中4個字母減少為x1，x2 （稍等，等學生寫，老師自己直接同步在黑板書寫）

師提示：請將x1，x2用求根公式直接代入.（巡視，老師黑板上給出弦長公式|MN|=■×■，）

師總結：請注意弦長公式使用時候先簡單推導，寫出|MN|=■，然后再給出|MN|=■×■，分清公式中三個字母，k代表直線斜率，a代表消掉y之后的關于x的一元二次方程的二次項系數，△是該一元二次方程中的.

師：請求出該題的弦長. 經過片刻后，老師給出答案：■

【學情預設】學生求點坐標，難解，卡住，此時老師提示用弦長公式，此時老師作好推導準備，若學生已知弦長公式，則直接寫出公式，提醒注意是消y的，當然消x也可以，老師給出另外一條|MN|=■×■.并注意區別比較.另外值得注意的是對于學生不會的，老師要將不會的分解，切不可從頭講到底，卡在哪里，老師在卡的地方提示，讓學生充分去發揮.待此題學生獨自解完后，老師在黑板也留下老師所寫的解答過程，學生把自己所寫的和老師所寫的進行比較，掌握正確的解答格式.

題（2）引申：

師：能否求AM的長呢？ A是（1，0），M在橢圓上方.巡視，停頓，學生發表.

老師提示：A是焦點。過焦點的直線有定義可利用.（巡視， 然后老師補充上圖形，學生思緒有了，寫完，校對，總結）

【學情預設】很多學生，想求出點M的坐標，但是發現數字繁瑣，若學生用焦半徑公式，老師說，焦半徑公式是課外的，我們能否用書上現有的去解呢？求長度歸納到三角形中，或者求出兩點坐標，學生在提示下用余弦定理完成長度的求法.此問加入是為了完善學生的知識結構，既要掌握弦長又要初步掌握特殊的半弦長——焦半徑的求法.也是想把高中里求長度最重要的公式正余弦聯系起來，培養學生的創新思維.

題（3）分析

師：同學們請回想下直線和圓相交時候，如何求弦長？

學生答：由弦心距，半徑，半弦構造直角三角形；

老師提問：那么此處能否也像該方法去求呢？

學生運算后回答，不行，因為弦中點和原點相連的線沒有和弦垂直.

老師追問，k不取根號3，取有些其他位置，是否存在垂直呢？

彈出問題3.巡視.

生：我發現有兩個位置可以，分別是x=1，和y=0

其他學生： y=0時候O，P重合，沒有構成線段，所以舍去.

師：非常好，在求解存在性問題，要注意驗證.那么x=1是否也符合題意？

生：不行，因為此時k不存在.而題意要求是k存在.

師：太棒了，我們同學在解題時要注意你設的直線中有k，那就意味該直線不會和x軸垂直.

師：此題我們判斷了兩個特殊位置時候， OP和MN是不垂直的，那是否在其他位置有可能存在垂直？（巡視，適當時候提醒，將垂直問題轉化為斜率相乘為-1）

生：他們不可能垂直，因為斜率之積為-■，橢圓中a，b不相等，所以斜率之積不是-1.

師：很好，圓中我們理解為-1，是因為橢圓變形成長軸，短軸相等，所以得出-1，看來呀，圓中的求弦長的由弦心距，半徑，半弦構造直角三角形的求法在橢圓中的求法不可行.

師：能否用平面幾何知識直接求解呢？

師：若存在k，使得OP⊥MN？P是MN的中點，則OM=ON，則M，N在以原點為圓心的圓上，作出圓和橢圓的圖像，發現四個交點構成正方形.

【學情預設】先讓學生思考，有學生用韋達，有學生用了OM=ON，得到圓，但是不可能。只有一種平放著，不行；豎直的，斜率不存在也，不行.總結：圓中相乘是-1，橢圓中不是-1，所以不垂直，讓學生用代數手段解決垂直問題.經過推導，你發現什么定值問題嗎？經過一番追問，上課的探究味道就出來了，學生的積極性得到很大的提高，此時老師做的幾何畫板派上用場，通過多媒體動態演示，發現定值為-■：一般情況-■，

題（3）引申： 師：請思考，這個定值問題能推廣嗎？即弦任意做，原先的弦是過定點（0，1），現在不過（0，1）.則Kmm×Kop=-■嗎？（巡視，發現有學生設直線方程為點斜式，字母多）

師：請設直線為斜截式y=kx+b，（學生做，老師板書，寫完校對）

【學情預設】任意做弦，然后取弦的中點，則弦和原點連線的斜率于弦的斜率相乘仍舊為定值。老師多媒體展示，得出定值，解完題目后，提醒學生，請同學們以后多一些思考，還有更多優美的結論。值得注意的是本課堂沒有叫學生上黑板板演，而是學生在下面做，老師在黑板上寫（或者學生寫完，老師給出投影校對），寫完做比較.解答題3時候有個步驟是直線和橢圓聯列方程，然后消掉y，剩余的式子：（■+k2）x2-2k2+k2-1=0，這塊內容要一直保留在黑板上.

題（4）分析：

師：接在題3后， 設MN的中點P，當k變化時候，請求出P點的軌跡方程.（巡視，提示將P的坐標都用k表示，然后消k.）

生：老師，我已經寫出xp=■，接下來呢？

師：P點在直線MN上，所以yp=■，接下來請把k消除掉，得出xp，yp的等式.

生：k=■，代入yp=k（xp-1），得軌跡方程：2x2-2x-y2=0

【學情預設】軌跡方程的求法是學生的薄弱，此處除了上述解法外，還有種方法是設而不求法.或者利用題3的結論Kmm×Kop=-■，將Kmm=-■，代入kop=■.解答完后進行幾何畫板演示發現是一個橢圓內部的新橢圓.

最后總結：通性通法是聯立方程，判別位置時候△，中點，弦長用到韋達定理。課后成績好的補充兩道題：

（5） 若k=■，求△FMN的面積.

（6）在x軸上是否存在點T，使得∠MTA=∠NTA始終成立.

因此一堂課是否成功激發了學生的求知欲，關鍵在于老師的追問，而追問的前提是巧妙設計，追問到底，一氣呵成！讓學生享受一堂課！endprint