數感：長期困惑一線教師的問題

肖志麗

在日常生活中，有一些概念似乎誰都知道，但要細論起來，誰都說不清楚。在數學中也存在著這么一個概念，那就是“數感”。在日常教學中，老師經常提出要通過數形結合等方式提高學生的數感；課標也把數感作為十大核心素養之一，并要求教師利用數感幫助學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。但是到底什么是數感呢？一線教師眾說紛紜，專家文章見解不一，更無統一界定和權威解釋。以致一線教師長期對此普遍感到困惑。為此，本文從專家的解讀以及一線教師的疑惑這兩層面，談談數感這個長期困惑一線教師的問題。

一、專家的解讀

正因為一線教師難以找到理解“數感”的抓手這一現象，所以許多專家也對數感的內涵進行了研究。雖然數感對大多數人來講是一個再熟悉不過的活動了，但是要對其做出清晰、準確的概念界定，卻不是一件容易的事情。在學術界具有代表性的是結構說、意識說、感知說、直覺說。

其一，結構說。《義務教育數學課程標準（2011年版）》數感主要表現在：關于數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。這是課標對數感的解讀。它闡述了數感的內容。課標做出了這些具體的闡述，可為什么一線教師還是不能理解它的內涵呢？其原因在于課標提到的數的意義、數的關系、數的表達、算法、估算這些概念的關系并不是串聯或者并聯，它們并沒有按照一定的標準進行分類，因此教師理解起來含糊不清，在實踐過程中漫無目的。

其二，意識說。馬云鵬教授認為：數感是一種主動的、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度與意識。意識是人腦對大腦內外表象的覺察。即不管在什么情境中看到一個數，頭腦中便能對其大小做出恒常的反應。

其三，感知說。鄭毓信教授指出：數感與具體的分辨能力、計算能力、估算能力等相比，傳遞的是一種新的內涵。“感”與“能力”相比含有一種“直感”的涵義，特別是指對于某種特定的事物或現象或屬性方面的敏感性，以及相關的鑒別能力。而能力通常并非一種自覺地過程，它是一種直接的“感知”，道不清、說不明。即數感指對數相關屬性的感覺與知覺。感覺即客觀刺激作用于感覺器官所產生的對事物個別屬性的反映。知覺是客觀事物直接作用于感官而在頭腦中產生的對事物整體的認識。所以數感即是對數的大小、數量及數量關系的反應。

其四，直覺說。首先數感是一種對數字（量）的直覺，并且是一種敏捷的感知。它可以在較短的時間里通過對數學的“第一印象 ”反應為數學問題，用數去表示量，幫助主題從感知的層面轉到數學思維。其次數感是一種具有培養行的知覺，它通過人對‘數概念的擴張和延伸而反映為對數學感知不斷提升的靈敏性。數感作為直感，它具有非邏輯性，非演繹性，反應時間短，穩定性差等特征。

二、一線教師的困惑

看了專家的解讀，我們是更加清楚了，還是更加糊涂了？顯然，這讓我們更困惑了。

比如意識說。如果說數感是一種意識也是有一定道理的。因為意識是人腦對大腦內外表象的覺察。在生活中，我們會自覺對數、數量、結果做出反應：比如看到一個32×25×125這樣的算式，人腦能自覺對32進行拆分從而進行簡算；看到a是b的17倍，求a和b的最小公倍數，學生會自覺得出a÷b=17這個算式，并且自覺理解a和b成倍數關系，因此它們的最小公倍數則是a。但是這種自覺性又不完全是與生俱來的，很多都是需要習得的。因為在學生第一次接觸32×25×125時，他們沒有關于這類問題的簡算經驗，所以需要下意識去理解數與數之間的聯系，從而學會簡算的方法。所以大部分學生不能自覺得出結果，我們經常需要借助數形結合的方式引導學生理解一個具體量、兩個數之間的關系這兩個概念的區別。這方面的理解是需要下意識去分析的。因此，數感不完全是一種意識。

比如感知說和直覺說的分析。數感是不是一種感知呢？感覺即客觀事物刺激作用于感覺器官所產生的對事物個別屬性的反映。知覺是外界刺激作用于主體而產生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經驗性的成分。數感即能夠通過視覺、聽覺等肢體建立感知。比如看到5個蘋果，人們會在人腦中形成數字5，并且感知數字5的大小；看到一車的蘋果會產生數量很多的概念。但是這種感知的建立是需要借助一定的思維過程。如關于大數的認識，學生很少直接接觸到億以上的實物，所以對億以上數缺乏感知，這時候應該借助實物、想象等方式讓學生領悟數的大小：先拿出一疊1000張的紙，高10厘米；接著讓學生想象10000張、100000張……1億張紙的高度，建立1億的感知；同時出示一億根棒棒糖的圖片以及1億顆米，讓學生感知都是1億，但是大小不同。通過這兩個環節，幫助學生領悟數的大小，從而建立數感。因此感知說和直覺說都具有片面性。

如此重要的概念，為什么專家都沒有形成統一的見解，課標也沒有清晰的表述？大多數人認為主要原因是數感具有只可意會不可言傳的特點。但一個概念要成立，一定要對其進行界定，實質上就是要給數感下一個定義，而下定義則必須要符合形式邏輯的規范要求。在形式邏輯上，為了對一個概念的內涵和外延做出簡要說明，最有代表性亦最常用的定義方法是“屬加種差”，即把某一概念包含在它的屬概念中，并揭示它與同一個屬概念下其他種概念的差別。它的公式是：被定義項=種差+鄰近的屬。從概念的界定來分析，為什么專家會眾說紛紜呢？本質是他們在界定概念的時候并沒有符合形式邏輯的規范要求，沒有找出數感的種差以及它臨近的屬，即沒有從數感的內涵和外延進行分析。因此，對于數感的界定，應該要通過分析數感的內涵和外延，進行綜合對比，形成一個科學的界定，以便于一線教師理解與實踐，從而從根本上解決一線教師長期以來對數感的困惑。