運用平面幾何知識巧解解析幾何題

通過對近幾年全國卷的分析來看，平面幾何的思想在高中解析幾何中都有重要的作用。有些解析幾何問題在在思維上很難打開局面，或者運算極其繁復(fù)。這時如果跳出原有的思維，從平面幾何的角度出發(fā)，往往就能起到四兩撥千斤的作用，給人一種柳暗花明的感覺。

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考中分值所占的比重較大。它的基本思想是利用代數(shù)的方法研究幾何問題的基本特點和性質(zhì)，因此，在解題的過程中計算量大，對運算求解能力要求高。很多學(xué)生在做題時只想著用高中所學(xué)的解析幾何知識去解，忽略應(yīng)用平面幾何的知識。雖然解題時思路清楚，方向明確，但是浪費時間，不得不半途而廢。事實上，如果學(xué)生能轉(zhuǎn)換角度，巧妙運用平面幾何知識，把題目中平面幾何的本質(zhì)挖掘出來，即可化繁為簡。下面結(jié)合本人的教學(xué)經(jīng)驗和一些例題總結(jié)出幾種利用平面幾何知識巧解解析幾何問題的方法。

一、利用線段成比例定理

1.平行線分線段成比例定理

（2016年高考天津卷理） 設(shè)拋物線，（t為參數(shù)，p>0）的焦點為F，準(zhǔn)線為過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C（p，0），AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為，則p的值為_________.

試題分析：拋物線的普通方程為，，，又，則，由拋物線的定義得，所以，則，由得，即，所以，

所以，.

[點睛]本題的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，利用拋物線的定義與平面幾何中平行線分線段成比例定理求解。

2.三角形面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比

（2015高考浙江，理5）設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，，，其中點，在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是（ ）

A. B. C. D.

[答案]A.

[點睛]本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，需結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這一性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點，在復(fù)習(xí)時不能遺漏相應(yīng)平面幾何知識的復(fù)習(xí).

3.角平分線性質(zhì)定理

（2013年山東高考理）橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為 ，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1、PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線

PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；

解答：（1）由已知得，，

解得

所以橢圓方程為：

（2）由題意可知：=，=，設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡得：m（，因為，所以，而，所以

[點睛]本題第Ⅱ問“幾何味”較濃，立意于平面幾何中的角平分線定理，一題多解，充分調(diào)動考生的能動性，引導(dǎo)考生從不同的角度思考問題，用靈活的方法解決問題。從近年的高考試題中，我們注意到解析幾何所研究的問題以平面幾何的性質(zhì)為背景，并且現(xiàn)在高考特別提出“多考想，少考算”，所以學(xué)生在解題過程中為避免代數(shù)方法帶來的繁雜、冗長的計算，應(yīng)仔細(xì)分析題設(shè)中圖形特征和數(shù)量關(guān)系，充分運用平面幾何的有關(guān)知識，將幾何問題化歸為代數(shù)問題，這是解解析幾何問題的一種基本技巧。

二、利用垂直性質(zhì)

1.巧用對稱性質(zhì)

（2013重慶）已知圓C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（ ）

A.5-4 B.-1 C.6-2 D.

解析：本題考查與圓有關(guān)的最值問題，意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力.兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|+|PC2|的最小值，作點C1關(guān)于x軸的對稱點C（2，-3），則（|PC1|+|PC2|）min=|CC2|=5，所以（|PM|+|PN|）min=5-（1+3）=5-4.

[點睛]解析幾何經(jīng)常是點與線之間的關(guān)系，經(jīng)常會涉及點、線的對稱問題，若能巧妙用好直線與點的對稱性質(zhì)，就能輕松求解。

2.利用直角三角形性質(zhì)

（2016·濟(jì)南模擬）已知點F1、F2分別是雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）

A.（1，） B.（，2）

C.（1+，+∞） D.（1，1+）

解析：依題意，0<∠AF2F1<，故0

[點睛]利用特殊直角三角形的平面幾何性質(zhì)，則會使問題變得更加簡單容易。

三、運用兩點之間線段最短與垂線段最短幾何性質(zhì)求最值

已知點A（4，0）和B（2，2），M是橢圓+=1上一動點，求MA|+|MB|的最大值為________.

答案 10+2

解析

顯然A是橢圓的右焦點，如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點為A1（-4，0），連BA1并延長交橢圓于M1，則M1是使|MA|+|MB|取得最大值的點.事實上，對于橢圓上的任意點M有：

|MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|（當(dāng)M1與M重合時取等號），∴|MA|+|MB|的最大值為

2a+|A1B|=2×5+=10+2.

四、運用切線的性質(zhì)定理

P是雙曲線-=1（a>0，b>0）的右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，焦距為2c，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為（ ）

A.-a B.A C.-c D.c

答案 B

解析 如圖所示內(nèi)切圓與三條邊的切點分別為A、B、C，由切線性質(zhì)F1C=F1A，PC=PB，F(xiàn)2A=F2B，

由雙曲線定義知，PF1-PF2=2a

即（PC+CF1）-（PB+BF2）=2a

∴CF1-BF2=2a即F1A-F2A=2a

∵F1A+F2A=2c.∴F1A=a+c.∴A（a，0）.選B

五、運用中位線性質(zhì)定理

（2016·鄭州模擬）已知拋物線y2=4x，過焦點F的弦與拋物線交于A、B兩點，過A、B分別作y軸垂線，垂足分別為C、D，則|AC|+|BD|的最小值為________.

若AB⊥x軸，則|AC|+|BD|=2|OF|=2xF=2；當(dāng)AB不垂直于x軸時，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)kAB>0，如圖，設(shè)M、N分別為AB、CD的中點，|AC|+|BD|=2|MN|=2xM>2xF=2.所以|AC|+|BD|的最小值為2.

[點睛]這題涉及到拋物線的定義，拋物線的幾何性質(zhì)，應(yīng)用梯形中位線的性質(zhì)使問題簡化了大量的運算。但運用中位線的性質(zhì)時要將幾何圖形補(bǔ)充完整。

總之，解析幾何是一門用代數(shù)的方法研究幾何問題的學(xué)科.但任何事物都是一分為二的，如果過分強(qiáng)調(diào)某一種方法，必然會使學(xué)生形成思維定勢.事實上，解析幾何中的問題并不總是用代數(shù)的方法研究來得方便、有效，尤其是對于解析幾何選擇、填空題，代數(shù)方法往往費時，而且計算繁難，易出錯，若能回歸幾何法的本質(zhì)，不僅有利于滲透數(shù)形結(jié)合的思想，同時也可減少計算、節(jié)約時間。

作者簡介

龔勤，湖南岳陽市第一中學(xué)高中數(shù)學(xué)高級教師，岳陽市高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，岳陽市勞動模范，岳陽市數(shù)學(xué)教育學(xué)會常務(wù)理事，湖南理工大學(xué)碩士研究生導(dǎo)師，岳陽市高三數(shù)學(xué)研究核心小組成員，岳陽市教育系統(tǒng)優(yōu)秀黨員，岳陽市普通高中教育工作先進(jìn)個人，三次被岳陽市人事局記“三等功”。 主編的《高中數(shù)學(xué)培優(yōu)學(xué)案》系列叢書被定岳陽市一中培優(yōu)校本教材，2015年教育、教學(xué)專著《杏壇隨筆》由東方出版社正式出版。