用作圖方法探索證明哥德巴赫猜想

山西省陽泉市晉東集團公司 趙發(fā)耀

鹽城幼兒師范高等專科學校 杭 穎 周婷婷

名家論壇

用作圖方法探索證明哥德巴赫猜想

山西省陽泉市晉東集團公司 趙發(fā)耀

用一種特殊的直角坐標系，繪制出偶數6～34全部兩奇質數a+b組合圖。從圖形規(guī)律推導出公式x＝（設a≥b）和求解大于等于6的偶數y全部a+b組合之方程組，當確定了y值，則n為0～范圍內，非3的倍數的含0自然數，從其中某些自然數可計算出該y的全部a+b組合。上述方程組與x＝相結合可推導出－（3+2n）＝＝x的關系式，當確定了某y值，取值正確的n會與相關位置的x形成a+b組合，即x＝其后又采用數學分析法證明“猜想”是正確的。公式為：y＝＝a+b。（以上有關參數的取值范圍此處省略）另外，上述方程組可以解釋孿生質數成因問題，見結尾論述。

直角坐標系；充分條件；數學分析法

一、采用作圖法之目的

許多大于等于6的偶數，其兩奇質數組合不是唯一的。如偶數90有90＝83+7＝79+11等共計9組組合，常用的作圖方法很難表達清楚逐漸增大的偶數與構成其全部兩奇質數之和的關系。

本方法擬采用直角坐標系另加線段的方法，探索大于等于6的偶數與組成這些偶數的全部兩奇質數之和間的規(guī)律，根據規(guī)律推導出綜合公式，使哥德巴赫猜想得到證明（以下簡稱“猜想”，文中不涉及偶質數2，圖文中出現(xiàn)的質數一詞是奇質數的簡寫）。

二、作圖法簡介（見圖①）

1.按照圖①介紹的方法，用同比例畫出x軸、y軸、線段0—6～0—34以及斜線（輪廓線）和/斜線（輪廓線）。

2.通過查質數表和計算把6～34的偶數的全部質數之和組合得到，并在圖②中找到每個組合點的位置畫“×”表示。

3.過圖中“x”處畫出10條質數線和10條/質數線，分別命名和計算出每條直線的二元一次方程（線性方程計算過程略），例如：質數5線,y＝-2x+(5+5);/質數5線，y＝2x+(5+5)等等。

（二）圖②中x、y值取值范圍確定

1.y只標注出6～46的偶數值。

2.x取值范圍確定：

（1）圖②中每對質數線和/質數線于y軸相交，例如，質數5線和/質數5線于y軸10處相交，所以x＝0。

（2）圖②中每條質數線都與/質數3線相交，此時x＝－3，如果“猜想”正確，當線段等于0-∞時，x＝－3（∞為偶數）。

圖中：

（一）y軸只標注≥6的偶數。

（二）x軸 與y軸垂直，只標注0和大于0的自然數。

（三）線段——新增，中點過y軸并垂直y軸，總長度與y軸偶數匹配，且線段上每個點的數值都等于該線段與y軸垂直相交點位的y值。見圖中0-6,0-8,0-10,0-12線段，作大圖時繼續(xù)作0-14,0-16等線段。

（四）以上3種線段同比例。

（五）“”斜線和“/”斜線——tgα＝2的斜率線。

（六）“x”表示a、b兩質數在某線段上的交匯點。a值為線段從左端至交匯點的長度；b值為線段從右端至交匯點的長度。圖中x1讀作5+5＝10,x2讀作5+3＝8，其余類推。

三、偶數6～34的作圖過程及質數線方程式建立（見圖②）

（一）作圖過程

（3）圖②中在0—6～0—34線段上，x有許多數值，但只有x為0或其他自然數，并且位置在質數線與/質數線的交叉點上時，才是有效值。

綜上所述，如果“猜想”正確，當6≤y≤∞時，x的取值范圍是：0≤x≤－3的0和自然數（該x的正確值位于質數線與/質數線的交叉點處）。

說明：作圖法求解無限大偶數的兩質數之和組合，因受“無限大”等因素限制無法完成，創(chuàng)建數學公式為較好的解決方法。

（三）簡單分析圖形②

圖形以y軸為界，分左、右兩區(qū)，兩區(qū)以y軸為中心線，兩類質數線以及相互間的交點對稱分布（本文將右區(qū)作為討論對象）。

從圖形的發(fā)展看出，錐形以180°－2α（約為180°－2×63.4°＝53.2°)的角度向上無限延伸，錐身越來越長，錐形上部越來越寬。

圖中質數線與/質數線是成對出現(xiàn)，并在y軸形成了交叉點，該點由同值的兩質數之和組成，比如6＝3+3、10＝5+5、14＝7+7等。由于質數無窮多（歐幾里得在《幾何原本》中最早證明了質數有無窮多），所以會出現(xiàn)無窮多條質數線與/質數線，它們會在y軸上形成無窮多個質數交叉點，同時也會在0—6～0—∞的線段上形成更多個兩質數交叉點（每條質數線和每條/質數線均互相交叉），這些交點可構成6～∞偶數的全部兩質數之和組合。從圖中可計算出始于偶數6的質數線交叉點總數量，按自然數列之和，即n(1+n)不斷增加，遠多于偶數y遞增所形成的數量。

（四）關鍵部位分析

前面介紹過圖②中每條質數線都與/質數3線相交，如：6＝3+3、8＝5+3、10＝7+3、14＝11+3、20＝17+3等等，這種規(guī)律是不斷地尋求得到新質數的方法，由于“質數無窮多”，因此存在無窮大的質數，它和質數3之和會形成無窮大的偶數。另外，在完成該作圖法的過程中，那些不能構成“某質數+3”的偶數也相應地得到了全部兩質數之和組合，因為質數線和/質數線對稱交叉，如圖中12＝7+5、18＝11+7＝13+5、24＝13+11＝17+7＝19+5等等。因此在所有質數之中，質數3舉足輕重、權重較高。

從計算和繪圖過程中判斷，大于等于6的任意偶數之間與構成它們的全部兩質數之和之間應該存在著某種關系。

四、建立A、B兩類質數（線）相交的通用公式

（一）通用公式推導

圖②中，每個“×”點都由兩質數組成，以y＝26為例，26＝（13+13）＝（19+7）＝（23+3），共有3個交叉點位。選擇（19+7）交叉點，從圖得到它是兩條質數線的交點，用方程表示為：

寫成綜合式為：

①式－②式得：

0＝ -2x+(a+a)－ 2x－ (b+b)，

4x＝ (a+a)－ (b+b)，

x＝(通用公式)。

（因圖②受“無窮大”制約，該公式暫定為在大于等于6的有限大偶數中使用，能否用于大于等于6的任意偶數中使用，下面解決）

（二）公式x＝以及y之各參數取值范圍確定

對圖②分析可確定a、b、y和x的取值范圍及邊界條件：

a和b是大于等于3的質數，a≥b，a的取值范圍是≤a≤y－3內的質數；b的取值范圍是3≤b≤內的質數。

y的取值范圍：大于等于6的任意偶數（暫定）。

x的取值范圍：0≤x≤（－3）的0和自然數，且x的位置處于質數線與/質數線交叉點為有效值。

五、探索證明“猜想”

（一）根據圖②的規(guī)律建立證明“猜想”的數學公式

1．對圖②關鍵部位的再分析

前文對圖②關鍵部位的分析曾得出結論：在所有質數之中，/質數3線舉足輕重、權重較高，其原因是每條質數線都與/質數3線相交，比如質數19線與/質數3線于0—22線段上相交，構成了a+b＝22，即19+3＝22，式中19為a的最大值（因a取值為≤a≤y－3），而3為b的最小值（因b取值為3≤b≤）。

如果（a+b）該式中，b＝3不變，只變化a值，那么（a+3）可形成無限多的質數a，這種結果也說明在圖②中會繪制出不斷增多的質數a線，直至無窮多。

2．求解質數a（即質數a線）的方法

圖②中有無限多的質數線與/質數3線相交，以質數13線為例，其方程式為y＝-2x+(13+13)，它與/質數3線，其方程式為y＝2x+(3+3)可組成下面的方程組：

再以質數19線為例，它與/質數3線可組成下面的方程組：

以上無窮的方程組用綜合式表示為：

①式+②式可得到：

2y＝（a+a）+（3+3），

即y＝a+3。

該公式則是產生新質數a（即新質數a線形成）的方法。式中a為任意質數，因歐幾里得已證明質數無窮多，因此存在著3至無窮大的質數a是必然的。

3．求解質數b（即/質數b線）的方法

用與上述同樣的方法，在（a+b）式中，用質數3代替a并保持不變，只變化b值，則由（3+b）可求得3至無窮大的b也是必然的。另外，根據前文中圖形左、右兩區(qū)對稱分布的結論，也可得到同樣的結果。

由此可以繪制出當y為大于等于6的任意偶數時，兩類質數線組合的整體圖形（受無限大制約，僅能繪制有限的部分）。這樣，公式y(tǒng)＝a+3與y＝b+3相結合，可得到y(tǒng)≥6時的全部兩質數a+b組合，包括許多不能用y＝a+3計算出a+b全部組合的偶數。如12雖不能用12＝9+3表示，但圖②中已形成了12＝7+5的正確結果。

不過，用上述公式解讀證明“猜想”問題存在著缺陷，仿佛形成了新的“猜想”，需要推導建立新的綜合公式加以完善。

4．論證（y-3）+3≠a+b的修正方法

前文指出，許多大于6的任意偶數y不能構成y=(a+3)(此時a=y-3)，即（y-3）+3=a+b的結構，需要進行修正，方法是前項減少2n,后項增加2n,以使兩項形成新的兩奇數組合（n為1、2、4、5、7、8等不能被3整除的自然數），即：

（y-3）+3=（y-3-2n）+（3+2n）=[y-（3+2n）]+（3+2n），

令：y-（3+2n）=a……①

（3+2n）=b……②（a和b互相對應均是奇質數時，為正確值）

其中n的最小值為1，n的最大值為a=b時的n值，即：

y-（3+2n）=3+2n，

∴y=2（3+2n），

解之得n=（-3）/2。

例如y=38時，最大n值為n=（-3）/2=8，代入①式得a=38-（3+2×8）=19，代入②式得b=3+2×8=19（正確）。

（本例n=1、2、4、5、7、8，代入2和8時正確，其他n值均不正確）這樣用增減2n的方法，可使大于6又不能形成（y-3）+3=a+b的偶數得到修正和轉換。

5．建立證明“猜想”的方程組

（1）建立證明“猜想”的方程組

經上面的論證,可以做出兩個只含奇數方程的組合：

式中y為≥6的任意偶數，n為0～（-3）/2的0和不能被3整除的自然數，a、b均為奇質數且a≥b,取值范圍參見四（二）節(jié)。

從方程組得知，當確定了y值時，n值從0～最大值（-3）/2也可以確定。此時兩方程中只剩a和b兩個變量，可以有解，a+b的全部組合是由其中的某些n值計算得到的。

方程組的運算次數取決于y值的大小，經計算為次，大約是次。如偶數90有＝15（次），即把n從0、1、2、4、5、7……代入，經15次計算可得到偶數90的全部9組a+b組合。

（2）y、n、x、之間的關系

①式-②式得：y-2(3+2n)=a-b，

根據對圖②的分析，a和b交匯點的x值等于a和b長度之差的一半，即x=，式③可變成：=x（此處x為a和b兩質數的交匯點）。

式中當n=0時，x=（-3），即x的最大值；當n為最大值時，即x的最小值；當為偶數時，x值為奇數；當為奇數時，x值為偶數。總之，x為0≤x≤-3內的0和自然數。

經過本小結運算可做出如下推斷：方程組中確定了大于等于6的某y值，取值正確的自然數n會與相關位置的x形成a+b組合，即x＝，說明了“猜想”是正確的。

（3）y、a、b和之間的關系

由③式和②式可得：

再由①式和b=得a=y-

∴a+b＝

（二）采用數學分析法探索證明哥德巴赫猜想

（1）取值范圍確定

五（一）節(jié)已確認y為大于等于6的任意偶數；x的取值范圍是0≤x≤－3內的0和自然數。

又根據a的取值范圍≤a≤y－3及b的取值范圍3≤b≤，可得到的兩邊界值為：

除邊界值外，因a＞b,故為偶數或奇數，它們與等值的x相互對應。

從圖②可知，當y為大于等于6的某偶數時：x取值為從0～（－3）的自然數，總計有（－2）個。其中每個x對應著或偶數+偶數＝y(tǒng)，或奇數+奇數＝y(tǒng)，二者依序交錯排列。當為奇數時，奇數+奇數多占一個組合點。如偶數14有7+7、8+6、9+5、10+4、11+3組合，對應x值為0、1、2、3、4。

2．采用數學分析法探索證明“猜想”

設已知：a+b為條件且a≥b。

證明：y＝a+b（y為大于等于6的任意偶數）。

下面采用分步方法進行證明。

證明（1）：

根據前文已確定x為0～（－3）內的0和自然數值，可推導出下列證明：

很明顯，證明（1）成立。

證明（2）：

顯然，證明（2）成立。

證明（3）：

很明顯，證明3成立。

證明（4）：推導論證a+b是y的充分條件

根據前文“線段——新增，中點過y軸并垂直y軸，總長度與y軸偶數匹配，且線段上每個點的數值都等于該線段與y軸垂直相交點位的y值”，又根據x、的取值范圍為0～（－3），可確定線段0—y的有效取值范圍，以使x、和y三者的取值位置相匹配。

由于x值為從0～（－3）的0和自然數，總計有（－2）個，y值也有相應的點位（－2）個。與推導論證是x的充分條件的方法道理相同。其中只有奇數+奇數組合才能用五（一）5節(jié)的方程組，求得y值全部兩質數a+b組合。

總之，有a+b必然有y值相對應，而在y值的全部個點位中，大多數構不成a+b兩質數組合。因此，a+b是y的充分條件。

經本節(jié)證明后的綜合式為：

式中：

y為大于等于6的任意偶數。

x為0≤x≤（－3）內的0和自然數。

a為≤a≤y－3內的質數。b為3≤b≤內的質數。

綜上所述，用改動的直角坐標系繪制出圖形②，計算出含0的自然數x與任意兩質數a和b交匯點的關系式x＝，并推導出一個簡單的方程組。該方程組可求得大于等于6的任意偶數的全部兩質數a+b組合。最后又采用數學分析法證明了“猜想”是正確的結論。

另外，利用上述方程組可以解釋孿生質數的成因問題。由于任何奇質數a都可表示為y＝a+3(此時方程組中n＝0，b＝3)，當（a－2）也是奇質數時（此時n＝1，b＝5）,a和（a－2）形成了孿生質數。因a為無限多，質數（a－2）也可視為無限多。但孿生質數的絕對數量比質數的數量要少許多，因非本文內容，不再贅述。

翻轉課堂模式在五年制學前專業(yè)數學教學中的應用研究

鹽城幼兒師范高等專科學校 杭 穎 周婷婷

【摘 要】 隨著科學技術的高速進步，教育行業(yè)也在朝著信息化的方向發(fā)展，出現(xiàn)了多種多樣的新型教學模式。其中，翻轉課堂就是在這樣的背景下出現(xiàn)的新型教學模式。現(xiàn)在我國很多專家對翻轉課堂的教學模式有了很多的研究，下文筆者將根據在五年制學前專業(yè)中數學的課堂特點，對翻轉課堂的性質和內涵進行一定的研究，從而分析出翻轉課堂在數學教學過程中的可行性，并且對翻轉課堂在數學課堂中的應用進行了一定策略的探索，致力于提高專業(yè)數學教學的有效性。

【關鍵詞】 翻轉課堂；五年制；學前專業(yè)；數學；策略

在新課程教育中提出，現(xiàn)代教育應緊跟社會的步伐，積極發(fā)展教育的信息化教學。而在發(fā)展信息化教學的過程中，教師要著重于教學觀念的創(chuàng)新，以學習方式和教學過程的創(chuàng)新和改革作為核心，充分將教學方法、教學觀念和教學環(huán)境和信息技術緊密地結合在一起，從而進行不斷地創(chuàng)新和改革過程，充分優(yōu)化教學資源和學習環(huán)境。近幾年，在信息化的教學過程中，翻轉課堂的教學模式漸漸成為一種非常重要的形勢，這種方法的科學使用受到了廣大學者和教育工作者的關注。現(xiàn)在的五年制學生，俗稱高職學生，在高中階段的成績一般不太理想，對數學知識的掌握也不牢固，很多學生對于數學的學習都存在著畏懼感。所以教師要提高數學課堂的效率，首先就要提高學生對數學學習的興趣，認真掌握這門在實際生活中有很大用處的學科，從而具有比較好的數學素養(yǎng)。

一、把握翻轉課堂教學特點

翻轉課堂起源于2007年，美國某個高校的兩名化學教師將自己的授課過程錄下來，并且發(fā)布放網上，受到了教育界的廣泛關注，從而漸漸變成一種在課堂上能夠將知識進行內化的教學方式。這種教學方式是利用信息化技術，將以前在課堂中講解知識的過程通過PPT或者微視頻的方式呈現(xiàn)出來，很大程度上替代了教師在課堂上的講解過程，這種不限制空間和時間的教學方式，使教師可以提前要求學生在課下就完成對此視頻的學習和觀看，從而對大部分知識進行粗略地了解，并且對知識的深度進行探索。在課堂上，教師要積極和學生進行互動，同時引導學生進行團隊合作，并且進行相關的討論和交流，學會靈活運用理論知識，并且在現(xiàn)實中可以綜合運用，使傳統(tǒng)的教學課堂教室講解，學生課下認真完成作業(yè)的模式變成了課前認真自習，探索知識，課中教師和學生積極互動，課下學生可以通過終端設備反復觀看教師整理的教學資源，從而充分鞏固自身的知識，提高學生的學習效率和質量。同時，教師還可以對學生進行因材施教，關注學生的學習情況，對學生進行分層教學，幫助學生內化知識，提高學生的主體意識，適當培養(yǎng)學生的質疑能力，讓學生學會探索，提高自學的能力。由此可以看出，翻轉課堂是充分以學生為教學的主體，作為課堂的主人，是對以前的教學方式進行完全的改變。

在對高職院校的專業(yè)數學教學方法進行改革時，教師要充分認識到原來的教學方法和現(xiàn)在翻轉課堂之間的差別，根據翻轉課堂的概念和其特點，可以梳理出以下和傳統(tǒng)教學方式不同的地方：于教師角色，在傳統(tǒng)的教學方式中，教師是課堂的主體，而在翻轉課堂中，教師僅僅是一個引導者，引導學生去主動地接收知識，并且不斷提高自身的學習能力。于學生課堂角色來說，傳統(tǒng)的教學方式中，學生是被動接收知識的，而在翻轉課堂中，學生是課堂的主體，要充分發(fā)揮自身的主觀能動性，積極主動地去接收知識、研究知識、探索知識、在傳統(tǒng)教學中，大部分學生的學習時間都是教師講解，學生被動接收教師的知識，而在翻轉課堂中，讓學生理解、掌握的知識主要是學生主動探究得來的，需要學生擁有一定的自學能力。

二、翻轉課堂模式在五年制學前專業(yè)數學教學中的應用策略

1．立足五年制學前專業(yè)數學課程，優(yōu)化翻轉課堂設計

首先，教師在課前應該明確教學的目標，在課下提前認真準備相關的教學素材和資源，教學目標的確定是首要步驟。比如，教師在進行函數教學時，要積極按照教學大綱制定的學習目標和要求，結合學生現(xiàn)有的情況、學生的認知情況和學習的實際能力來制定相關的教學目標。教學目標可以分成學生在課前認真自主學習和課上通過師生互動交流、團結協(xié)作來完成兩種相關的教學任務。函數教學中，學生的課前任務是：（1）一次函數y=ax+b中，當a＞0時，該函數是增函數，當a＜0時，該函數為減函數；（2）二次函數的一般式、兩點式、頂點式的表達式和相應的對稱軸方程，并且了解頂點與x軸的交點的公式；（3）了解二次函數求最值問題，采用配方法，化為標準的形式。（4）二次方程實數根的分布問題，常見的一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數等。需要教師明確的是，目標的確定是教學中的首要內容。

接下來是教學視頻的精心制作過程，教師要充分考慮到學生的認知程度和自學能力，視頻的長短控制在十分鐘到十五分鐘之間，讓學生可以利用這個短小的時間集中精力，充分高效并且不容易產生疲勞感，其中的視頻內容還要充分突出，內容要短小和精悍，并且可以加入一定的數學文化和數學小實驗，吸引學生的注意，同時也激發(fā)學生的興趣，提高學生靈活地去解決實際問題的能力，提升自身的數學文化素養(yǎng)。同時，教師還要注意設計與教學視頻內容相符合的課堂導學案和課后的作業(yè)單。在導學案中，要明確指出在閱讀視頻時要完成的教學內容，而后對教學的重點和難點進行闡述，并且指導學生的課前預習，讓學生了解重點和難點的內容。在課堂部分的導學案內容中，

教師要設計相關的學習內容，幫助學生去鞏固知識，并且還可以對學生自己在課前的自學效果進行檢測對于課后導學案的內容，教師主要要注意引導學生對知識的內容進行內化的過程，所以可以選擇一些較為綜合性的問題。為了分享教學資源，讓教學資源的使用最大化，教師還可以把制作好的微視頻資源發(fā)到網絡上或者是校園共享平臺中。

2．立足五年制學前專業(yè)數學課程，優(yōu)化翻轉課堂活動

教師在翻轉課堂教學過程中，要充分發(fā)揮自身的引導者作用，結合學生在課前觀看教學視頻后提出的疑問和難點、重點進行詳細的分析和講解。另外，教師為了保證學生在課堂中的參與度，提高教學的效率，要設計出有針對性的任務，并且充分發(fā)揮問題的價值性，還要結合學生的個性特點和學習情況，對全班學生進行有機的調配，讓學生以一個小組為學習單位，共同探究問題，通過資料的收集和查找拓寬問題的廣度和深度，讓學生的個人能力和團隊合作能力結合，充分完成教師設計好的教學目標。在這個小組合作討論的過程中，可以對知識擴展出新的認知，并且學生和學生旗鼓相當地討論，很容易激起思維的火花，讓每個學生都能夠獲得一定程度的進步。在學生和小組之間的學習過程中，教師還可以根據學生學習效果和學習能力、小組學習任務完成的情況、各小組在討論中的具體情況，按照小組自評、小組互評、學生自評、學生互評的方式來對學生的學習情況進行評價，然后教師再根據自己所觀察到的學生的學習情況，并結合學生之間的評價對學生進行綜合評價，并且建立相關的學習檔案，再對學生進行及時的反饋處理，了解學生各種活動實施的效果，全面發(fā)展學生的能力，總結好學生在以后的學習中需要注意的問題和學習習慣、方式改變的方向。

在課堂的交流展示過程中，學生要充分發(fā)揮自身的主體地位，當課堂的主人。通過自我的探索和團隊之間的團結協(xié)作，將自身的學習活動情況進行歸納整理，教師再提供一個合適的平臺讓學生對自己的成果進行展示和交流，并且和同學之間進行補充，充分歸納和完善自身學習到的知識內容，比如對函數的概念、實際運用、主要特征等進行詳細歸納和整理，充分學會如何用函數去解決實際問題。學生通過這個過程的完成，充分提高了自身解決問題的能力，同時，經過長時間的小組討論和合作，很大程度上培養(yǎng)了學生的團隊精神，提升了學生的交際能力和伙伴之間的合作溝通能力，還培養(yǎng)了學生的質疑精神及批判、求異、創(chuàng)造的思維。

總的來說，翻轉課堂在五年制學前專業(yè)數學課堂中的應用實現(xiàn)了數學的功能定位。教學是一門學問，更是一門藝術，教學效果的影響因素非常復雜，課堂的教學過程只是這個過程中的關鍵部分。教師應巧妙地結合學生的學習情況和認知能力，充分使用翻轉課堂的教學方法，插入信息化的技術，把握好學生的課前和課中，創(chuàng)設相關的教學情景，活躍課堂的氛圍，吸引學生的學習熱情，提高教學過程的參與度，從而調動學生的學習熱情，讓學生充分發(fā)揮自己的主觀能動性，自主學習探索，完善全方面的能力。

[1]楊杰．翻轉課堂教學模式在高職數學課中的應用探究[J]．現(xiàn)代職業(yè)教育，2016（30）：111-112．

[2]王永麗，光琳．五年制高職數學翻轉課堂教學模式的可行性分析——以連云港財經高等職業(yè)技術學校為例[J]．包頭職業(yè)技術學院學報，2015（2）：156-157．

[3]楊旭．翻轉與傳統(tǒng)課堂在五年制高職數學教學中的對比實驗研究[J]．西北成人教育學院學報，2015（3）：171-172．