同源共流，把握計(jì)算教學(xué)本質(zhì)

羅鳴亮

學(xué)生在學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這一知識(shí)之前，已經(jīng)歷了兩位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)，本節(jié)課與其說(shuō)是一節(jié)新授課，不如說(shuō)是一節(jié)乘法計(jì)算的練習(xí)拓展課。當(dāng)面對(duì)學(xué)生“不學(xué)而會(huì)”的教學(xué)現(xiàn)狀，我們?cè)撟鍪裁矗拍艽龠M(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的深刻理解？

一、于無(wú)疑中追問(wèn)，理解筆算的“理”與“法”

計(jì)算教學(xué)從低年級(jí)開(kāi)始，算理的分析和算法的掌握伴隨運(yùn)算教學(xué)的始終，兩者總是交錯(cuò)進(jìn)行、互相促進(jìn)的。教師在教學(xué)中要關(guān)注算理和算法的縱向貫通，與學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有效銜接。面對(duì)三位數(shù)乘兩位數(shù)這樣類(lèi)似舊知的新授課，很多教師往往忽略對(duì)算法的引導(dǎo)，而直接讓學(xué)生自主探究，總結(jié)算法。似乎學(xué)生都會(huì)計(jì)算了，也都基本能算對(duì)了，可細(xì)細(xì)思考，他們真的都懂了嗎？學(xué)生的思維有發(fā)生變化嗎？在對(duì)學(xué)生的前測(cè)中，筆者發(fā)現(xiàn)90%的學(xué)生已經(jīng)能掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法，個(gè)別錯(cuò)誤源于進(jìn)位的問(wèn)題。針對(duì)這一情況，本課直接從回顧舊知入手。

師：關(guān)于筆算乘法，過(guò)去我們學(xué)過(guò)哪些知識(shí)？

生：兩位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

師：（出示習(xí)題）怎么計(jì)算的？誰(shuí)上來(lái)說(shuō)說(shuō)？（圖1）

學(xué)生板書(shū)。（圖2）

師：在計(jì)算的時(shí)候，你有什么需要提醒大家的呢？

生：相同數(shù)位要對(duì)齊，“3”要寫(xiě)在十位。

師：為什么“3”要寫(xiě)在十位呢？

生：因?yàn)槟莻€(gè)“3”是10乘3。

師：什么意思？

生：因?yàn)椤?”在十位，表示1個(gè)十。“3”在個(gè)位，表示3個(gè)一。1個(gè)十乘3就等于3個(gè)十。

師：也就說(shuō)這個(gè)“13”，它表示的是？

生：它表示的是13個(gè)十。

師：這個(gè)“26”表示26個(gè)？

生：26個(gè)一。

教師形成板書(shū)。（圖3）

師：三位數(shù)乘兩位數(shù)呢？432×12，自己動(dòng)手試試。

師：有很多同學(xué)會(huì)，你們學(xué)過(guò)了嗎？沒(méi)有學(xué)過(guò)你們?cè)趺磿?huì)？

生：我用老師教的，來(lái)分析這個(gè)現(xiàn)在學(xué)的。根據(jù)以前學(xué)過(guò)的乘法來(lái)算的。

師：和過(guò)去學(xué)的幾位數(shù)乘幾位數(shù)有關(guān)系？

生：兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

學(xué)生利用已有認(rèn)知遷移，自主嘗試計(jì)算“432×12”。當(dāng)學(xué)生在闡述算法時(shí)，我們看到了絕大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)掌握了三位數(shù)乘兩位數(shù)的算法了，本課教學(xué)并無(wú)知識(shí)難點(diǎn)及障礙。可數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不簡(jiǎn)單地停留在學(xué)生會(huì)做就好，而應(yīng)是適時(shí)地追問(wèn)“你們學(xué)過(guò)了嗎”“沒(méi)學(xué)過(guò)為什么都會(huì)了”。這樣的追問(wèn)，逼著學(xué)生去溝通已有舊知與新知的聯(lián)系，深入思考兩者之間的異同處。學(xué)生在思考交流中，發(fā)現(xiàn)了三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法都是一樣的。課到這里，我們很清楚地看到，學(xué)生已經(jīng)能夠自主地把已有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)。通過(guò)深入追問(wèn)，學(xué)生不再停留在表面的計(jì)算層次去理解乘法計(jì)算，而是深入剖析舊知與新知之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在運(yùn)算的過(guò)程中理解算理、探求算法，在感受算理、建立聯(lián)系的過(guò)程中發(fā)展思維，提升能力。

二、向未知處追溯，明晰計(jì)算道理

三位數(shù)乘兩位數(shù)是整數(shù)乘法筆算的最后一課，此后教材并無(wú)再出現(xiàn)三位數(shù)乘三位數(shù)或者四位數(shù)乘三位數(shù)的教學(xué)內(nèi)容。為什么不再學(xué)習(xí)？多數(shù)教師認(rèn)為，計(jì)算教學(xué)在避免繁、雜、難，后續(xù)的多位數(shù)計(jì)算學(xué)生可以憑借計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，無(wú)需再涉及此方面的內(nèi)容。教材不編寫(xiě)還有其他原因嗎？這一問(wèn)題是需要教師深思的。

師：過(guò)去我們學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)，現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了三位數(shù)乘兩位數(shù)，未來(lái)我們還可能學(xué)習(xí)？

生：可能學(xué)習(xí)三位數(shù)乘三位數(shù)。還可能學(xué)習(xí)四位數(shù)乘三位數(shù)或者四位數(shù)乘四位數(shù)。

師：對(duì)不起，五年級(jí)、六年級(jí)到初中都沒(méi)有再學(xué)這些內(nèi)容了，為什么呢？

生■：我認(rèn)為我們已經(jīng)懂得了其中的道理，所以不用再學(xué)了，以后不管幾位數(shù)乘幾位數(shù)，計(jì)算的道理都是一樣的。

生■：我補(bǔ)充他的。就是不管幾位數(shù)乘幾位數(shù)，我們只要按個(gè)位去乘、十位去乘、百位去乘這樣的方法來(lái)計(jì)算就可以了。

給學(xué)生思考的空間，給他們說(shuō)理的空間，你就會(huì)收獲驚喜。利用過(guò)去、現(xiàn)在、未來(lái)溝通乘法計(jì)算的本質(zhì)，打通乘法計(jì)算的聯(lián)系，讓學(xué)生通過(guò)反思已學(xué)的筆算乘法，頓悟出：不管是幾位數(shù)乘幾位數(shù)，其計(jì)算道理是一樣的，所以不用再學(xué)了。讓學(xué)生思考教材不編的道理，促使學(xué)生自主提煉、總結(jié)乘法計(jì)算本質(zhì)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。數(shù)學(xué)就是這樣的，當(dāng)明白道理、掌握方法以后，就可以舉一反三地解決問(wèn)題。

三、在對(duì)比中求同，深刻計(jì)算本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)充滿(mǎn)了聯(lián)系的體系，計(jì)算教學(xué)也是如此，每個(gè)知識(shí)之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系。長(zhǎng)期以來(lái)，我們一直強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力的重要性，但是教師往往更多地關(guān)注運(yùn)算與方法技巧的熟練上，未必理解計(jì)算的本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值的認(rèn)識(shí)過(guò)于狹隘。其實(shí)，計(jì)算教學(xué)其本質(zhì)都是在計(jì)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，而乘法計(jì)算的本質(zhì)就是計(jì)數(shù)單位的累加過(guò)程。

課堂上展示板書(shū)（豎式計(jì)算方式的新舊對(duì)比），學(xué)生通過(guò)對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，不管是幾位數(shù)的乘法，都是先用個(gè)位去乘算一算有幾個(gè)一，再用十位去乘算一算有幾個(gè)十，再用百位去乘算一算有幾個(gè)百，以此類(lèi)推，最后再把得數(shù)加起來(lái)。課如果只停留在這里，依然還是算理和算法的溝通。此時(shí)課件展示古代歐洲的算法，追問(wèn)學(xué)生是否看懂了。學(xué)生初看時(shí)，都覺(jué)得麻煩，但是進(jìn)一步認(rèn)真理解時(shí)，發(fā)現(xiàn)了古代算法與現(xiàn)代算法都有相同本質(zhì)：都是逐步計(jì)算幾個(gè)一、幾個(gè)十、幾個(gè)百，再把它們累加而得。這一發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生感悟出計(jì)算的本質(zhì)：都是在數(shù)一數(shù)、算一算有多少個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位。同源共流，不同的算式、不同的算法其計(jì)算的本質(zhì)是相同的。讓學(xué)生從計(jì)算的源頭去尋找算理，這也為以后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)等相關(guān)計(jì)算埋下伏筆，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的本質(zhì)去尋求解決問(wèn)題的辦法。

四、于意外中說(shuō)理，溝通計(jì)算聯(lián)系

計(jì)算教學(xué)中的估算、口算、筆算、簡(jiǎn)算之間是有聯(lián)系的，運(yùn)算能力并非單一、獨(dú)立的數(shù)學(xué)能力，教師在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的時(shí)候，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的說(shuō)理活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，從而提升數(shù)學(xué)思維。如何讓枯燥的計(jì)算變?yōu)殪`動(dòng)的活動(dòng)過(guò)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，筆者創(chuàng)設(shè)了購(gòu)買(mǎi)摩托車(chē)的情境。

課件出示：摩托車(chē)分期付款，每月付款435元，還款21個(gè)月，一共需要付款多少錢(qián)？

師：你會(huì)怎么解決呢？

生：435乘21。

師：有個(gè)同學(xué)算的結(jié)果是5236，你覺(jué)得對(duì)嗎？

大部分學(xué)生開(kāi)始計(jì)算，有小部分學(xué)生不動(dòng)筆，直接舉手。

師：你在動(dòng)筆，他們沒(méi)動(dòng)筆一眼就看出來(lái)了，猜猜他們?cè)趺纯吹模?/p>

生：個(gè)位5乘個(gè)位1，結(jié)果是5，不應(yīng)該是6。

師：誰(shuí)聽(tīng)懂了？

生：只要個(gè)位相乘就知道積的個(gè)位應(yīng)該是5而不是6，所以肯定算錯(cuò)了。

師：真好，還有其他想法嗎？

生：我用最高位上的2個(gè)十和4個(gè)百乘，至少應(yīng)該是8個(gè)千，不可能等于5000多。

師：這位同學(xué)用什么方法來(lái)判斷的？

生：估算，把435當(dāng)作400，21看成20，400乘20，應(yīng)該大約是8000，說(shuō)明5236算錯(cuò)了。

師：那么正確的答案，又是多少呢？

請(qǐng)一位學(xué)生板書(shū)（圖4）。

師：算對(duì)了嗎？我們還可以請(qǐng)計(jì)算器來(lái)幫助，會(huì)用嗎？

生：計(jì)算器算出來(lái)不對(duì)，就是按鍵1壞了。

師：哦，1號(hào)鍵壞了，用這個(gè)計(jì)算器，你還能計(jì)算出435乘21嗎？同桌商量看看。

生■：用435×20+435也可以。

師：聽(tīng)懂了嗎？他是怎么想的？

生■：把21拆成20+1來(lái)算的。

師：還有不同想法嗎？

生■：也可以把21拆成3×7，計(jì)算435×7×3。

創(chuàng)設(shè)計(jì)算器壞了的情境，讓學(xué)生在尋求解決問(wèn)題的過(guò)程中，溝通不同計(jì)算方法之間的聯(lián)系，將運(yùn)算技能與推理等思維能力的培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合在一起，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提升運(yùn)算能力，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿(mǎn)了思維的靈動(dòng)和深刻。

（作者單位：福建省普通教育教學(xué)研究室）endprint