線性代數(shù)微課設(shè)計(jì)思想應(yīng)用于課堂教學(xué)的實(shí)踐與探索

鄭瑩+王發(fā)興

【摘要】微課以“短而全、簡(jiǎn)而精”的顯著特點(diǎn)促進(jìn)著互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的教學(xué)，通過微課設(shè)計(jì)，使得抽象難懂的線性代數(shù)變得清晰簡(jiǎn)單，打造出“淺、顯、易、趣”的數(shù)學(xué)課堂，文章以線性代數(shù)中“矩陣的相似對(duì)角化”微課設(shè)計(jì)為例，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的教授做作了完美的詮釋，通過將微課思想應(yīng)用于傳統(tǒng)教學(xué)，極大的提高了課堂教學(xué)效果，使得學(xué)生提升了本節(jié)知識(shí)和線代代數(shù)思想內(nèi)涵的理解，同時(shí)極大的提升了教師的教學(xué)水平。

【關(guān)鍵詞】微課；設(shè)計(jì)；相似對(duì)角化；教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G642.4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）39-0166-02

一、引言

這是一個(gè)互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)代，無處不在的網(wǎng)絡(luò)影響著我們的生活，教育作為興國(guó)之本，也已悄悄融入到互聯(lián)網(wǎng)的浪潮中。教育是一個(gè)系統(tǒng)的工程，上好一堂課、上好一門課，需要教育者付出很大努力；學(xué)好一堂課、學(xué)好一門課，需要學(xué)習(xí)者認(rèn)真的對(duì)待。微課是一種符合信息時(shí)代和教育教學(xué)規(guī)律的全新教學(xué)形式，適用于新的教學(xué)模式，它極其短小，但卻富含思想，經(jīng)過精心設(shè)計(jì)的微課對(duì)于推進(jìn)教育信息化的內(nèi)涵發(fā)展，變革教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)廣大教師的專業(yè)成長(zhǎng)，具有非常重要的意義。

“線性代數(shù)”作為理、工、文、經(jīng)、管諸學(xué)科的重要公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課，其課程的基本概念、理論和方法較其他數(shù)學(xué)課程又具有更強(qiáng)的邏輯性和抽象性，定義、定理難以理解，且這是一門富含哲理思想的學(xué)科，因此其教學(xué)內(nèi)容更需要精心設(shè)計(jì)，讓學(xué)習(xí)者能學(xué)會(huì)其內(nèi)容方法，并體會(huì)其哲理思想，從而將其應(yīng)用于生活、生產(chǎn)及科學(xué)研究中。

二、“矩陣的相似對(duì)角化”微課設(shè)計(jì)

矩陣對(duì)角化理論相當(dāng)于對(duì)一類矩陣在相似意義下給出了其最簡(jiǎn)單的等價(jià)形式。可對(duì)角化矩陣作為一類特殊的矩陣，在理論上和應(yīng)用上都有著十分重要的意義，例如求方陣的高次冪、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩陣、判斷矩陣是否相似等。

1.提出問題：用冪的定義計(jì)算一般階矩陣A的次冪較為困難，但對(duì)角矩陣的次冪較為容易，如何較為容易求得？

2.猜想假設(shè)：則若，即可得，進(jìn)而。

注：將矩陣的計(jì)算轉(zhuǎn)化為的計(jì)算，

3.確定目標(biāo)：建立一類階矩陣與對(duì)角矩陣的相似關(guān)系，并利用這種相似關(guān)系求解。

4.給出定義：階矩陣A可對(duì)角化，當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣P，使得，P稱為相似變換矩陣，為對(duì)角矩陣，記作。

5.提出問題：（1）A可對(duì)角化的條件是什么？（2）若A可對(duì)角化，則P和如何求？

6.分析討論（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

（1）條件分析

①由A可對(duì)角化定義出發(fā)分析得：

若，則的對(duì)角元為A的個(gè)特征值，P為A的特征值對(duì)應(yīng)的個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣。

②由A有個(gè)線性無關(guān)的特征向量分析得：

以A的個(gè)特征值作為對(duì)角元構(gòu)成對(duì)角矩陣，特征值對(duì)應(yīng)的個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成相似變換矩陣P，則有，即A可對(duì)角化。

（2）判定定理：

①充要條件：階矩陣A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)A有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

②充分條件：若階矩陣A有個(gè)互不相等的特征值，則A一定可對(duì)角化。

（3）求解步驟

①解得特征值；②求的基礎(chǔ)解系得屬于的特征向量；③A的線性無關(guān)特征向量總數(shù)=，則可對(duì)角化（<則不能）；④若A能對(duì)角化，特征值構(gòu)成，對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)解系構(gòu)成P。

7.舉例應(yīng)用

例1.設(shè)矩陣A=（1，0，0； -2，5，-2；-2，4，-1），①證明A可對(duì)角化；②求相似變換陣矩陣P，使；③求。解：（過程略）

注：通過該題完全演繹對(duì)角化的求解判定步驟，并體會(huì)化繁為簡(jiǎn)的思想。

例2.設(shè)3階矩陣的特征值是1，-1，0，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為：p1=（1，0，0）T， p2=（0，1， -1）T ， p3=（3，2，-1）T，求矩陣。解：（過程略）

注：通過該題體會(huì)何為矩陣的特征值、特征向量，如何利用矩陣特征，反向求出矩陣，從而體驗(yàn)出利用事物特征去描述事物的思想。

8.歸納總結(jié)：（1）階矩陣A不一定都能對(duì)角化；（2）對(duì)角化充要條件、充分條件，以及求解步驟；（3）“變難為易”求解；（4）利用特征，反向求A。

三、微課設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)踐及效果

常規(guī)教學(xué)一般直接給出定義→給出定理→給出證明→給出例題→最后總結(jié)，學(xué)生往往不知所云，究竟這是什么？為什么學(xué)？人家為什么會(huì)想到？學(xué)這個(gè)有什么用？這個(gè)對(duì)我們的生活有何指導(dǎo)？死板的教學(xué)模式只會(huì)打擊學(xué)生的積極性，從而消磨了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)學(xué)本是用數(shù)學(xué)符號(hào)描述自然現(xiàn)象和人文現(xiàn)象的學(xué)科，通過符號(hào)將一切統(tǒng)一化，進(jìn)而再理論演繹，得到結(jié)論，從而更好的指導(dǎo)我們的生活。

在實(shí)際教學(xué)中，將上述微課設(shè)計(jì)應(yīng)用于課堂教學(xué)，將理論暗含到小現(xiàn)象、小策略、小故事中，在對(duì)它們的層層剖析、梳理中，將新的理論將不知不覺地浸入到學(xué)生的大腦，改變大腦神經(jīng)組織，進(jìn)而提升了學(xué)生對(duì)相似對(duì)角化內(nèi)容的認(rèn)知和理解。同時(shí)在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，對(duì)教師的教學(xué)提出了更高的要求，如何引入、如何詮釋，如何設(shè)計(jì)例題，如何帶領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去分析，去歸納，去思考……都需要經(jīng)過反復(fù)思考，反復(fù)推敲，這在潛移默化中提升了教師對(duì)知識(shí)的理解和教學(xué)水平的提高。

四、結(jié)語：再塑課堂 高效教學(xué)

教學(xué)始終是教與學(xué)的過程，無論微課還是MOOC最終都無法取代真實(shí)的課堂，因?yàn)檎鎸?shí)的課堂是有溫度的，教育的終極目標(biāo)是學(xué)會(huì)做人。當(dāng)我們擁有了優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，需要教師自身具備應(yīng)用現(xiàn)代教學(xué)設(shè)備的能力和教學(xué)設(shè)計(jì)組織的能力，經(jīng)過教師的組織，教學(xué)過程便有了溫度，溫度越好，現(xiàn)場(chǎng)氣氛越好，師生的互動(dòng)性便越好，現(xiàn)場(chǎng)便也有了爭(zhēng)辯，在爭(zhēng)辯和互動(dòng)的過程中便有了進(jìn)一步的互相學(xué)習(xí)，了解了同伴們新的不同體會(huì)，因而學(xué)習(xí)到更多的思想和方法，潛移默化之中學(xué)生便不知不覺的提高了：知識(shí)吃透了，思維清晰了，變得自信了，敢于表達(dá)了，懂得尊重了，懂得分享了，學(xué)會(huì)團(tuán)結(jié)了。

未來的互聯(lián)網(wǎng)教育時(shí)代，對(duì)教師將提出更高的要求，如何將現(xiàn)有知識(shí)內(nèi)化加工，如何通過高科技的手段高效傳授給學(xué)生，讓學(xué)生成為有用之才，都是我們要進(jìn)一步去努力探索的，這個(gè)過程必將是一個(gè)復(fù)雜的藝術(shù)創(chuàng)作的過程！

參考文獻(xiàn)：

[1]王發(fā)興，鄭瑩. 應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)教學(xué)改革的幾點(diǎn)構(gòu)想[J]. 課程教育研究，2014，08：149.

[2]鄭瑩，王發(fā)興. 工科院校線性代數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀及幾點(diǎn)建議[J]. 學(xué)苑教育，2014，24：52.

[3] 王發(fā)興，鄭瑩.線性代數(shù)微課程在獨(dú)立學(xué)院教學(xué)中的應(yīng)用分析[J]. 課程教育研究，2016，15 142-143.

基金項(xiàng)目：南京郵電大學(xué)通達(dá)學(xué)院教學(xué)改革項(xiàng)目，編號(hào)：JG30915010。

作者簡(jiǎn)介：鄭瑩（1979-），女，漢族，河南安陽，講師，南京郵電大學(xué)，江蘇南京。研究方向：微分方程、數(shù)學(xué)教育。endprint