發展四種能力，提升復習質量

劉娟

[摘 要] 初三數學總復習不僅是對初中整個階段課程所要求的知識內容的回顧與再現，更重要的是對學生知識梳理、嚴密審題、數學思維以及歸納探究能力的訓練與培養. 本文結合具體的例題對學生各方面能力培養與訓練進行了研究.

[關鍵詞] 初三數學；總復習；能力

初三數學總復習如果只是對之前所學知識進行簡單地回憶與再現，那就大錯特錯了，整個初中階段各數學知識點的學習已經初步完成，總復習就應該通過各知識點的系統復習進行各個章節的聯系，使得學生在初中最后階段建立起豐滿、完整的知識體系. 學生將所有知識融會貫通并建立起一定的數學能力之后，數學教學以點成線、以線成面、以面成體的最終目的才能實現. 本文從初三數學知識系統復習著手，結合具體的數學教學案例著重研究了學生數學學習中各種能力的訓練與培養.

知識梳理能力

中考總復習的目標是對基礎知識進行有效梳理，從而使學生的整個知識儲備更系統，脈絡更分明. 基礎性試題在每一份試卷中所占的比例一般會是總題量的60%～70%，有時候甚至會更多. 這部分基礎試題對于學生來說是主要的得分區域，因此，基礎知識的整理與復習最為重要. 初中數學復習根據課程設置所包含的內容分為以下11大類：（1）數與式；（2）方程與方程式；（3）不等式與不等式組；（4）函數及其圖像；（5）統計初步；（6）線與角；（7）三角形；（8）四邊形；（9）相似形；（10）解直角三角形；（11）圓. 在初三總復習階段，學生應該對所有概念的含義形成準確的理解并能及時查漏補缺，以往模糊的概念應一并理清；在這個階段，學生還應清楚每個知識點在初中數學學習中所占據的地位與價值. 比如，在因式分解這個內容的復習中，其定義、方法以及一般步驟都應該是學生牢固掌握的內容，除此以外，因式分解在代數式恒等變形、分式運算、根式運算以及方程變形中所有的應用也應該是學生能夠具體掌握以及應用的. 同時，因式分解在數學知識中的基礎性地位及其所具有的思想與方法方面的價值學生也應該建立認知. 這只是一個知識點復習的實例，以點代面，學生只有在基礎知識縱橫歸納與梳理完全通透以后，才能對知識之間的聯系形成更加深入的理解，思路才會更廣、更深遠.

嚴密的審題能力

教師應在復習進程推進的過程中注重對學生的各種錯誤進行積累，并在各知識板塊中將錯誤進行分類歸納并再次呈現，使學生對產生錯誤的原因能夠深入研究，并以此為訓練陣營，提高學生嚴密審題的能力. 學生常見的錯誤如下.

1. 概念不清，理解不透

例1 已知方程x2+3x+a=0有整數根，其中a為非負整數，試求該方程的整數根.

2. 忽視附加條件或隱含條件

3. 思維固化，漏解

例3 已知一直角三角形的三邊長分別為3，4，c，求c.

簡析 本題中的c可以是直角三角形的任意一條邊，但有部分學生卻先入為主地將c認定為是直角三角形的斜邊，與勾股定理中的c等同起來，最終導致漏解.

例4 已知點A（1，1）是拋物線y=x2上一點，直線l與該拋物線相交于唯一的一點A，求直線l的解析式.

簡析 大多數學生設直線l的方程為y=kx+b，并將之與y=x2組成方程組，消去y并結合題意得出直線l的方程為y=2x-1，不過其實直線x=1也是符合題意的一條特殊直線，k在此特殊直線中不存在，因此，按照上述思路解題就會漏解.

由此可見，嚴密審題在學生解題中的重要性非同一般，教師在初三數學總復習中一定要加強學生在審題方面的訓練，使學生對命題關鍵詞、外顯與內隱條件都能尤為關注并準確獲取，以確保自身解題思考時的縝密性與周全.

例5 已知∠BAC，D是射線AC上一點，AD=10，以點D為圓心、5為半徑作圓，點E，F為該圓與射線AB的交點，EF=6，另在射線AC上取一點P，并以此點為圓心作一個既與射線AB相切又與圓D相切的圓，圓P的半徑應該為多少？

“射線”與“相切”是本題中關鍵的兩個詞眼，尤其是“相切”一詞，它值得我們進行全面地分類討論. “外切”與“內切”兩種情況是我們考慮的方向，另外，與圓D相切的位置也是我們需考慮的方面. 因此，解決本題時，圓P的位置情況應考慮四種.

數學思維能力

數學能力訓練與培養的核心是數學思維，數學思維的提高對于數學能力的提高有著決定性的影響. 因此，我們在初三數學總復習中應注意做到以下幾方面.

1. 超越具體與個別，于問題淺顯處入手

每一個問題的解決只是簡單意義上的答案求解，注重思維能力培養應在解題后對自身解題思維做進一步思考，尋求數學思想的內涵以及其他更好的方法. 很多個別的例題、具體的例題只是對一定概念、定理、法則的探究與鞏固，例題蘊含的本質和規律值得我們更加深入地探尋，適當的變式訓練也可穿插其中，這樣，思維的深刻性才會由此得到有效鍛煉.

2. 發散深度與廣度思維，于問題發散處入手

思維訓練的綜合性還表現在不同角度與層面上的思維培養以及學生創優意識的形成. 初中數學中的很多定理、公式以及法則還存在著很多的逆向應用，解題中所運用的反面求解、逆向推理等都是學生逆向思維鍛煉的有效方法，教師在初三數學總復習階段應注重這些逆向應用的引導與實踐，使學生的思維空間不斷得到開發.

例6 已知拋物線y=ax2+bx+c，將其向左和向下各平移2個單位長度得到拋物線y=2x2+8x+3，試求a，b，c的值.

簡析 部分學生在解決本題時將原圖像變化作為自己思考的起點，解題時往往發現難度較大，如果引導學生從結論出發進行逆向探究，就會發現解題容易很多. 學生根據教師的引導與提醒可以將新的拋物線y=2x2+8x+3=2（x+2）2-5向右和向上各平移2個單位長度，便可得到原拋物線，接著將系數比較法運用進本題的求解中，a，b，c各值便可以很快確定.

歸納探究能力

教師在初三數學總復習中還應將歸納方法教給學生，使學生能夠自主進行基礎知識的歸納與整合，尤其要使學生發現一些有共性、有聯系的知識的規律，從具體到抽象、從一般到歸納能力的形成，正是在這樣不斷的歸納與總結中形成的. 另外，一些例題、習題的分析與探究也是培養學生歸納、探究能力的好方法.

例7 在平面直角坐標系中有一邊長為2的正方形OABC，其中點A在y軸正半軸上，點C在x軸正半軸上，點O為坐標原點. 已知直線y=x，現將此正方形繞點O順時針旋轉至點A首次落在直線y=x上時停止，設點M是AB邊在旋轉過程中與直線y=x的交點，點N是BC邊在旋轉過程中與x軸的交點（如圖1）.

（1）試求旋轉過程中邊OA掃過的面積；

（2）當旋轉至MN∥AC時，正方形OABC一共旋轉了多少度？

（3）假如△MBN的周長為p，p的值隨著正方形的旋轉會有變化嗎？請證明你的觀點.

簡析 （1）邊OA旋轉掃過的圖形為扇形，其半徑為OA，圓心角為45°.

（2）求出∠AOM的度數便是求出了正方形OABC旋轉的度數.

（3）將BA延長至其與y軸相交，交點記作E，可證得△OME≌△OMN，于是有ME=MN，所以△MBN的周長p根據線段的等量代換即可得出p=AB+BC=4.

圖形的折與展、割與補、平移與旋轉等變換在本題的具體解題過程中都得到了應用，本題的解決對于學生的空間想象、推理以及創新能力等都是一種考查和挑戰，既涵蓋了實踐操作，又涵蓋了理性思考，既有中等難度的小型題，也有必須借助數學思想方法才能解決的探索性問題. 圖形變化中關鍵的不變性是此題解決中最為關鍵的思考著力點，學生在一步一步的思考中能很好地鍛煉層次分明、層層遞進的探究能力.endprint