探索格雷碼的奧秘

韓宏峰，吳佳耕，張亦之，袁健華

摘要：本文創作的目的是針對本科生在數字電路設計課程中初步接觸格雷碼感到困惑，并不知道如何快速書寫格雷碼或如何與其他數制轉換的情況下，提出的以多種方式快速獲取格雷碼的方法。

關鍵詞：格雷碼；數制轉化；卡諾圖；邏輯代數

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）47-0160-03

正如多數教科書所述，首先列出格雷碼和對應二進制的轉換表格，簡單說明格雷碼“每次只變一位”的穩定特性。下圖是典型的二進制格雷碼和其他數碼的轉換。

請看第二列自然二進制碼從第四行（0011）變到第五行（0100）時，電位變化了3位。我們知道，數字電路中多位數碼同時發生變化是不可能的，所以變化過程中不可避免地出現“粗大錯誤”：即0011可能先變為0111，然后逐漸變回0100。格雷碼因為相鄰數字只變化一位從而解決了“粗大錯誤”的問題。然而，教科書往往沒有提供具體實用的公式來獲得格雷碼。基于這種情況，本文的作者進行了深入研究，總結并提出了三種具體獲取格雷碼的方式，使初學者能夠簡單正確地獲取格雷碼。同時，作者通過JAVA編程語言實現這一轉換過程[核心代碼參見III]并提供了GUI，擁有更好的用戶交互體驗，可以將任意非負整數轉換成格雷碼。本文的研究是結合概念分析（卡諾圖的原理和基本門電路的計算）和編程實現。

對于數字電路的初學者，常常接觸諸如二，八，十六進制，格雷碼等數字系統和轉化。每種編碼都有優點和適用范圍。除格雷碼外，大部分的進制轉換規則相似，所以初學者往往對格雷碼感到陌生，不能快速準確處理格雷碼。所以本文總結了三種方法準確快速獲取格雷碼。

一、圖形觀察法：基于卡諾圖原理

對于n變量代數，我們通過卡諾圖得以簡化。下面以四變量卡諾圖為例。（表格1）

通常，我們學習卡諾圖僅僅是為了進一步地簡化操作。但實際上它為我們提供了更多的信息。如果嘗試從0000按照S型順序：

0000-0001-0011-0010-0110-0111-0101-0100-1100-1101-1111-1110-1010-1011-1001-1000的方向，所得到的結果序列就是對應的十進制數字0—15。

這種方法的提出是基于概念的支持。由于格雷碼是使錯誤最小化的轉換，相鄰值僅改變1位，因此該方法從該設計理念中受益。所以這是獲取格雷碼的最簡便的方法。優點是無須掌握額外的技能，只需要掌握卡諾圖的書寫技能。

當我們嘗試將卡諾圖拓展到五變量的時候，會發現雖然畫卡諾圖效率較低，但依然可以得出正確的與卡諾圖對應的十進制數字。（表格2）

這次我們效仿上述方法，直接將十進制數字按照S型填入卡諾圖，我們便可以直接獲得格雷碼和十進制數字的轉化關系。比如：格雷碼“01000”對應十進制的15，十進制的“22”對應格雷碼“11101”。

然而，繪制卡諾圖的過程降低了有效性。因此本文提供了第二種方法。

二、邏輯代數：通過應用異或門電路

方法一給出的策略是簡單的，但隨著位數的增加效率會降低。因此掌握代數運算是至關重要的。

規定如下：（表格3）

Bi=Gi？茌Bi+1（n-1≥i≥0）

（G：格雷碼 B：二進制碼）

采取如下規則：給定隨機二進制碼，第一位數字保持相同，通過異或運算將第二位與第一位進行比較，為真則第二位標記1，否則標記0。同理比較第三位和第二位，直到最后一位。簡言之，我們將第（i+1）位與第i位進行比較，如果它們相同，則標記為0，如果不同則標記為1。通過此方法我們可以簡單又快速地由任意二進制數快速獲取對應的格雷碼。

現如今隨著計算機科學的發展，計算機逐步融入人們的生活，所以本文作者基于上述異或門電路原理通過JAVA GUI進行了開發。

三、基于Java編程語言開發的GUI界面

由于JAVA具有友好的交互界面和通用性的特點，因此采用了JAVA來實現編程。在圖形界面中，用戶可以通過鍵盤任意輸入一個十進制數的非負整數然后點擊轉換按鈕，界面將直接呈現出對應的格雷碼。

核心算法如下：

四、結論

本文總結出三種二進制碼和格雷碼的轉換方式，讀者可根據自己的理解選擇最適合自己的方法。第一種方法提供了準確的解法，第二種方法最高效，而最后的JAVA圖形界面是最實用的。希望這項研究能為初學者深入了解格雷碼打下堅實基礎。

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