拋物線中的一個結論及推廣

韓永強+康微

2017年高考全國卷Ⅲ理科第20題的第（1）小問蘊含了拋物線中的一個重要結論，本文從一般化推廣、特殊化處理、逆向思考、橫向類比的角度對該結論進行探究。現分析如下：

一、試題再現

（2017年高考全國卷Ⅲ理科20題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C于A、B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓。

（1）證明：坐標原點O在圓M上；

（2）設圓M過點P（4，2），求直線l與圓M的方程。

二、性質結論

1.結論1-1：已知拋物線C：y2=2px，過點（2p，0）的弦交拋物線于A、B兩點，則拋物線內接△OAB是以O為直角頂點的直角三角形（O為坐標原點）。

以上命題的結論也等價于OA⊥OB？圳·=0？圳以AB為直徑的圓經過坐標原點

2017年高考全國卷Ⅲ理科第20題的第（1）小問實質上考查的就是該結論。

對于本結論的證明方法頗多，限于篇幅，下面與讀者分享一種巧設直線“另類”方程，構造齊次式的證法。

證明：設直線AB的方程為mx+ny=1（這種“另類”形式的直線方程除了不能表示經過坐標原點的直線其余皆可表示，用它表直線AB可避免斜率是否存在的討論，而且方便下一步構造齊次式。

聯立y2=2pxmx+ny=1？圯y2=2px（mx+ny）？圯y2-2pmx2-2pnxy=0（齊次式！）

？圯2-2pn-2pm=0。

設A（x1，y1），B（x2，y2），則和為以上方程的兩根，故由韋達定理知：·=-2pm。

又直線AB：mx+ny=1過點（2p，0），于是有2pm=1，所以·=-2pm=-1；

即OA⊥OB？圳·=0？圳以AB為直徑的圓經過坐標原點。

命題得證。

2.對結論1-1逆向思考，可得到結論1-1的逆命題：

結論1-2：已知拋物線C：y2=2px，以坐標原點O為直角頂點作拋物線內接Rt△OAB，則斜邊AB所在的弦恒過定點（2p，0）。

證明：設直線AB的方程為mx+ny=1。

聯立y2=2pxmx+ny=1？圯y2=2px（mx+ny）？圯y2-2pmx2-2pnxy=0？圯2-2pn-2pm=0。

設A（x1，y1），B（x2，y2），則和為以上方程的兩根；

又OA⊥OB，所以kOA·kOB=·=-2pm=-1？圯m=。

所以直線AB的方程為mx+ny=1，即x+ny=1，所以直線AB恒過定點（2p，0）。

命題得證。

3.對結論1-1進行一般化推廣：