例談數學思想方法的滲透

胡玉秦

[摘 要]有效滲透數學思想方法有兩條線，一條是明線，即數學知識的教學，一條是暗線，即數學思想方法的教學。數學思想方法是數學的精髓，是學生構建和完善認知結構的憑借，是知識轉化為能力的橋梁，是培養學生良好的數學觀念和創新思維的載體。教師必須重視滲透數學思想方法的教學。

[關鍵詞]數學思想方法；植樹問題；滲透；情境

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）32-0071-03

教學有兩條線，一條是明線，一條是暗線。明線，即知識與技能的教學；暗線，即數學思想方法的教學。教學的目的就是讓學生體驗和感悟數學思想方法，從而向學生滲透數學思想方法。本文以“植樹問題”為例，簡要探討數學思想方法的滲透。

【教材分析】

“植樹問題”是人教版教材五年級上冊“數學廣角”的內容。教材將“植樹問題”分為兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽、環形等幾種情況，本節課主要研究兩端都栽的情況。教材以學生比較熟悉的植樹活動為線索，讓學生選用自己喜歡的方法來探究植樹的棵數和間隔數之間的關系，經歷猜想、試驗、推理、驗證等數學探索過程，滲透“數形結合”“一一對應”的數學思想，啟發學生透過現象發現其中的規律，建立數學模型，幫助學生逐步積累數學活動經驗，培養學生的應用能力和創新意識。同時，由規律回歸生活，使學生在運用中體驗模型思想，提高學生以數學思維分析實際問題的能力，培養學生形成有條理、有邏輯的思維習慣與表達能力，養成做事條理分明、嚴謹細致、嚴肅認真的個性品質。

【學情分析】

從學生的思維特點看，五年級學生仍以形象思維為主，但抽象思維能力已有了初步的發展，具備一定的分析綜合、抽象概括、歸納梳理數學活動經驗。

【教學目標】

1.通過動手操作，讓學生發現間隔數與植樹棵數之間的關系，并能夠借助圖形，找出規律。

2.通過小組合作、交流，培養學生從實際問題中發現規律、應用規律解決問題的能力，同時滲透數形結合、一一對應的數學思想方法，使學生的思維更具條理性與邏輯性。

3.通過實踐活動激發學生熱愛數學的情感，感受日常生活中處處有數學，體驗學習成功的喜悅。

【教學重點】

1.引導學生在觀察、操作和交流中探索兩端都栽時，間隔數與植樹棵數之間的規律，并能運用規律解決實際問題。

2.運用規律解決類似的實際問題。

【教學難點】

理解間隔數與棵數之間的關系，能運用關系模型解決抽象的植樹問題。

【教學過程】

一、創設情境

師：第一次和同學們一起上課，誰愿意到前面來介紹一下自己？只要介紹名字和愛好就可以了。

（三位學生做了自我介紹）

師：這三位同學很勇敢，他們已經組成一支小分隊了。瞧，他們的隊伍前后相鄰的兩位同學之間——對！有一個空隙，或者說有間隔。請同學們觀察一下，這支小分隊有幾個人、幾個間隔？

（學生回答：3個人，2個間隔）

師：誰愿意加入這支隊伍？

（有一位學生加入）

師：現在有幾個人、幾個間隔？

（學生回答：4個人，3個間隔）

師：如果老師加入這支隊伍中呢？如果咱們全班同學組成這樣的隊伍，有幾個人、幾個間隔？

【設計意圖：在植樹問題教學中，“兩端都植”是重點內容，而這一教學內容的關鍵落腳點在于教師要密切關注學生對“間隔”概念的理解，這是解決植樹問題的基礎和起點。教師從生活中創設熟悉的情境，讓學生親身體驗與感悟理解間隔，初步滲透“數量與間隔”的一一對應思想，激發了學生的學習興趣，為深入學習“植樹問題”做好鋪墊和準備。】

二、動手操作，初步感知

師：連日的霧霾給我們的生活帶來了不便，為了凈化空氣、美化環境，學校準備請同學們設計植樹方案。

（出示題目：在20米長的小路一邊栽樹，每隔5米栽1棵，要準備幾棵樹？）

（學生回答：4棵、5棵）

師：一名優秀的設計師會預設植樹時可能出現的各種狀況。到底要準備幾棵樹呢？用什么方法來驗證？請大家用一條線段代表20米的小路，并用你認為最簡潔的圖案表示樹，把你們設計的方案畫一畫。

（學生在作業紙上操作）

師：大部分同學都已經完成了，讓我們一起欣賞幾份設計方案吧！

（展示栽5棵樹的方案）

師：根據他們的設計，一共需要5棵樹。用一條線段表示小路，用小豎線表示樹，把條件和問題呈現出來，這就是我們解決數學問題時常用的線段圖，簡潔明了。

（展示栽3棵樹、4棵樹的方案）

師：他們小組的設計原來并沒有偷工減料，而是考慮了其他情況。為了表達方便，我們給這些方案分別起個名字吧，一定要名如其法。

（學生答：兩端都栽、兩端都不栽、一端栽一端不栽）

師：對于同一個要求，同學們竟然能設計出這么多不同的方案，真有創造力！看來你們都有成為設計師的潛質。今天我們就一起來研究兩端都栽的植樹問題，看這種方法里存在什么樣的秘密！

三、合作探究，構建模型

師：只有4個間隔為什么栽5棵樹呢？

生：1個間隔跟著1棵樹，每棵樹前都有1個間隔，有4個間隔就有4棵樹。這時棵數和間隔是一一對應的，但有1棵樹前面沒有間隔，所以還要加上它，列式就是4+1=5。

師：通過分析線段圖，我們用算式求出了兩端都栽樹時的棵數。如果將小路分別延長到25米、30米、35米，間隔長不變，棵數會隨間隔數的變化而變化嗎？

師：觀察表格，你有什么發現？endprint

■

（生交流）

■

師：如果改變間隔長度，是否也存在這種規律呢？請大家小組合作，取出作業紙，根據兩端都種的要求，設計一份植樹方案。

（生交流、匯報）

師：通過匯報和驗證，你能發現間隔長、間隔數、路全長之間的關系嗎？請完成棵數與間隔數的表格（略），比一比誰的速度快。在兩端都栽的情況下，8個間隔要栽幾棵樹？10個間隔栽幾棵樹？6棵樹有幾個間隔？10棵樹有幾個間隔？

【設計意圖：數學模型是數學知識與數學應用之間的橋梁，通過觀察和填寫表格，引導學生發現植樹問題中間隔數與棵數的關系，從而構建解題模型，使之深刻體會建模思想。】

四、開放練習，應用方法

師：在20米的小路上植樹是個小工程，老師這里還有一個大工程，你們敢不敢挑戰？在全長1000米的小路一邊栽樹，每隔10米栽1棵，兩端都栽，一共需要多少棵樹？你能列式解答嗎？

（生列式計算）

師：這么個大工程，為什么同學們這么快就解決了呢？看來當我們遇到問題時，不妨從小方面入手，通過畫圖，找到規律，以此類推，就能迅速解決大問題。這就是我們研究問題時常用到的“以小見大”思想！

師：其實植樹問題并不只與植樹有關，生活中還有許多現象和植樹問題類似。想一想，樹可以換成什么？

（生舉例：電線桿、桌椅……）

師：間隔的存在可以帶給我們美的享受，也可以帶給我們意想不到的震撼。例如我們生活中的隊列問題、公交站牌問題、斑馬線問題，它們在數學中被統稱為“植樹問題”。

師：你們掌握了今天的知識嗎？能不能獨立解決下面這些問題？

1.小路一旁有25棵柳樹，每2棵柳樹之間停1輛小汽車，一共停了（ ）輛小汽車。

2.在一條全長160米的街道一旁安裝路燈（兩端都安裝），每隔8米安裝1盞，一共要安裝多少盞路燈？如果是兩旁都裝呢？

3.課間操排隊時，每隔1米站1人，一列隊伍有25人，那么這列隊伍長多少米？

【設計意圖：植樹問題的模型是現實世界中一類相近事件的概括，它源于現實，又高于生活，在現實中有著重要的應用價值。由植樹問題推廣到與之相近的一些問題，可訓練學生逆向思維的能力，培養學生把握數學知識的來龍去脈及舉一反三的能力，使之形成有條理、有邏輯的思維習慣與表達能力，養成做事條理分明、嚴謹細致、嚴肅認真的個性品質。】

五、課堂小結，課外延伸

■

師：本節課我們學習了植樹問題中兩端都栽的情況，你有什么收獲？知識重要，方法更重要。我們從生活中的植樹問題入手，用“畫、找、推”的方法構建解決問題的模型，并運用它去解決生活中的問題，這正是數學來源于生活并服務于我們的生活！其實植樹問題里還有許多有趣的知識，如數學史上“有20棵樹，若每行4棵，怎樣種植，才能使行數更多？”的植樹問題。古代的人們給出了兩種方法（如圖1、2）；20世紀時，人們利用電子技術找到了一種新的方法（如圖3）。跨入21世紀，20棵樹，每行4棵，你能想出新的方法嗎？希望同學們能從小學好數學，掌握本領，勇攀科學高峰！

■

【設計意圖：引入數學史上的植樹問題，增強了植樹問題的新穎性、豐富性、獨特性、美觀性，從而提高學生感受美、欣賞美、創造美的意識和能力。】

本節課蘊含的核心素養有：

1.模型思想

植樹問題的模型是現實世界中一類相近事件的概括，它源于現實，又高于生活，在現實中有著廣泛的應用。向學生滲透模型思想，可鍛煉其推理、歸納、總結的能力，使之形成做事條理分明、嚴謹細致、嚴肅認真的個性品質。

2.一一對應思想

1個間隔跟著1棵樹，每個間隔都跟著1棵樹，有4個間隔就有4棵樹。這時，樹的數量和間隔是一一對應的，如果哪棵樹前面沒有間隔，就還要加上相應的數量。

3.滲透“以小見大”的數學思想方法

“授人以魚不如授人以漁”，課程理念有個與時俱進的顯著特點是對滲透數學思想方法的關注。在本課的教學過程中，要充分利用學生想檢驗大數目時遇到困難，如讓學生開展觀察、猜測、實驗、推理與交流等活動，從而不失時機給學生滲透常用的數學思想方法，為后續的學習積累更豐富實用的思想經驗。

4.數形結合思想

數形結合是數學解題中常用的思想方法，它能使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。在出示例題后，安排學生以小組為單位在一條線段上用小樹的模型模擬植樹的實踐活動，將數與形有機結合，棵數和間隔數之間的關系便一目了然，問題自然迎刃而解。

總之，數學模型是數學知識與數學應用之間的橋梁，根據學生的年齡特征和實際認知水平，通過猜一猜、畫一畫、想一想的活動，讓學生經歷猜測、驗證、歸納、推理的過程，從而向學生滲透解決問題的一般方法，同時使“一一對應”“化歸”“數形結合”“模型思想”等數學思想方法真正內化到學生的認知結構中。

（責編 吳美玲）endprint