基于EGM2008重力場(chǎng)球諧模型的水平重力擾動(dòng)計(jì)算方法

鐵俊波，吳美平，蔡劭琨，張開(kāi)東，練軍想

（國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073）

基于EGM2008重力場(chǎng)球諧模型的水平重力擾動(dòng)計(jì)算方法

鐵俊波1，吳美平1，蔡劭琨1，張開(kāi)東1，練軍想1

（國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073）

垂線偏差數(shù)據(jù)對(duì)于提高慣性導(dǎo)航精度具有重要意義，闡述了使用重力場(chǎng)球諧模型計(jì)算水平重力擾動(dòng)的方法，使用EGM2008重力場(chǎng)球諧模型計(jì)算水平重力擾動(dòng)，并將其與美國(guó)國(guó)家地理空間情報(bào)局提供的全球2.5′2.5′× 垂線偏差網(wǎng)格數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所述水平重力擾動(dòng)計(jì)算方法的正確性。將水平重力擾動(dòng)計(jì)算結(jié)果用于航空、車(chē)載慣性導(dǎo)航數(shù)據(jù)離線處理，結(jié)果表明EGM2008模型計(jì)算的水平重力擾動(dòng)可用于補(bǔ)償慣性導(dǎo)航；將水平重力擾動(dòng)計(jì)算結(jié)果用于長(zhǎng)航時(shí)船載慣性導(dǎo)航數(shù)據(jù)離線處理，結(jié)果表明慣性導(dǎo)航精度最大提升1.5 n mile，平均提升0.8 n mile。

慣性導(dǎo)航；重力擾動(dòng)；重力場(chǎng)球諧模型；垂線偏差補(bǔ)償

為進(jìn)一步提高慣性導(dǎo)航精度，補(bǔ)償水平重力擾動(dòng)對(duì)慣性導(dǎo)航的影響是必須要解決的問(wèn)題[4-7,15-18]，而獲取高精度的水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)就是首先要面對(duì)的問(wèn)題。水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)的測(cè)量是困難的，使用天文方法可以靜態(tài)、單點(diǎn)測(cè)量，但效率很低，難以獲取區(qū)域數(shù)據(jù)。捷聯(lián)式重力矢量測(cè)量方法有望在未來(lái)成為高效的水平重力擾動(dòng)測(cè)量手段，通過(guò)直接求差法[2-3]或姿態(tài)求差法[19-21]可以獲得水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)，但其對(duì)水平姿態(tài)測(cè)量精度要求非常高，為提高重力矢量測(cè)量精度需進(jìn)一步研究姿態(tài)誤差分離、傳感器漂移補(bǔ)償?shù)葐?wèn)題[3]。目前獲取大面積水平重力擾動(dòng)的可行方法是利用全球重力場(chǎng)球諧模型計(jì)算水平重力擾動(dòng)，近年來(lái)國(guó)內(nèi)學(xué)者研究了使用重力場(chǎng)模型計(jì)算水平重力擾動(dòng)用于提高慣性導(dǎo)航精度的方法。文獻(xiàn)[4-5]以美國(guó)國(guó)家大地?cái)?shù)據(jù)測(cè)量局（National Geospatial-Intellgence Agency, NGA）提供的垂線偏差網(wǎng)格數(shù)據(jù)對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行了補(bǔ)償，但使用網(wǎng)格數(shù)據(jù)需要插值及延拓處理。文獻(xiàn)[6-7]使用重力場(chǎng)球諧模型直接計(jì)算水平重力擾動(dòng)，但其給出的水平重力擾動(dòng)計(jì)算方法不完整。為此本文闡明了使用球諧模型計(jì)算重力擾動(dòng)的方法，將計(jì)算結(jié)果與NGA官方提供的垂線偏差網(wǎng)格數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，并結(jié)合航空、車(chē)載及船載激光陀螺捷聯(lián)慣性導(dǎo)航數(shù)據(jù)對(duì)所計(jì)算的水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)能否提高慣性導(dǎo)航精度進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 擾動(dòng)重力位與水平重力擾動(dòng)

其中：δgN、δgE為北向、東向重力擾動(dòng)；θ為計(jì)算點(diǎn)的地心余緯度，又稱(chēng)為極距（Polar Distance）；λ為計(jì)算點(diǎn)經(jīng)度；ρ為計(jì)算點(diǎn)到參考橢球球心的距離。擾動(dòng)重力位滿足拉普拉斯方程，可用球諧函數(shù)展開(kāi)：

圖1 垂線偏差示意圖Fig.1 The definition of vertical deflection

由重力擾動(dòng)位與水平重力擾動(dòng)關(guān)系(1)(2)及重力擾動(dòng)位的球諧函數(shù)表達(dá)式(3)，可以得到水平重力擾動(dòng)計(jì)算公式[1,10-12]：

完全正常化勒讓德函數(shù)通過(guò)地推的方式進(jìn)行求解，需要注意的是，計(jì)算以階n為順序遞推，即n為變量、m為常量，其遞推公式如下（根據(jù)n與m的取值關(guān)系，遞推時(shí)分為3種情況）[7,9]：

完全正常化勒讓德函數(shù)遞推初值為

由式(4)(5)看到，使用球諧模型計(jì)算東向重力擾動(dòng)僅需要完全正常化勒讓德函數(shù)，但求解北向重力擾動(dòng)還需要完全正常化勒讓德函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)[7]給出的求解完全正常化勒讓德函導(dǎo)數(shù)的公式是相對(duì)于cosθ的導(dǎo)數(shù)，而由公式(4)看到，計(jì)算北向水平重力擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)是相對(duì)于θ的導(dǎo)數(shù)，使用如下遞推公式計(jì)算[8]：

2 擾動(dòng)重力位球諧函數(shù)計(jì)算水平重力擾動(dòng)方法

完全正常化勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是使用球諧模型計(jì)算水平重力擾動(dòng)的關(guān)鍵，由公式(6)～(11)可以看到：m=n的完全正常化勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)可以直接遞推計(jì)算，將其計(jì)算過(guò)程稱(chēng)之為“等階次完全正常化勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)計(jì)算”；而m＜n的完全正常化勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算有賴(lài)于等階次完全正常化勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算結(jié)果，將此計(jì)算過(guò)程稱(chēng)之為“非等階次完全正常化勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)計(jì)算”。水平重力擾動(dòng)算法流程如圖2所示。

圖2 球諧模型計(jì)算水平重力擾動(dòng)算法流程圖Fig.2 The calculation scheme of vertical deflection based on gravity harmonic model

第一步：參考橢球參數(shù)初始化

根據(jù)給定的參考橢球的4個(gè)基本參數(shù)，計(jì)算其它參數(shù)，4個(gè)基本參數(shù)包括：長(zhǎng)半軸a、橢球的扁率f或2階帶狀球諧系數(shù)J2、地心引力常數(shù)GM及地球自轉(zhuǎn)角速率Ω。這4個(gè)基本不僅決定了參考橢球的形狀，還確定了與此參考橢球?qū)?yīng)的正常重力場(chǎng)。NGA官方提供的球諧系數(shù)是在WGS-84橢球模型下計(jì)算得到，慣性導(dǎo)航一般也是以WGS-84為參考橢球，當(dāng)使用其它橢球模型時(shí)，NGA提供的球諧系數(shù)模型需要進(jìn)行一定處理，WGS-84橢球坐標(biāo)系的4個(gè)基本參數(shù)取值如表1所示。

表1 WGS-84橢球模型基本參數(shù)Tab.1 Fundamental parameter of WGS-84

第二步：讀取球諧模型系數(shù)并處理

EGM2008官方網(wǎng)站[10]給出了無(wú)潮汐假設(shè)（Tide-Free）下EGM2008重力場(chǎng)球諧模型系數(shù)文件：系數(shù)文件的第1列為階n；第2列為次m；第3、4列為與完全正常化勒讓德函數(shù)對(duì)應(yīng)的球諧系數(shù)該系數(shù)是在WGS-84坐標(biāo)系下計(jì)算得到，當(dāng)使用的參考橢球非WGS-84時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)行改正。水平重力擾動(dòng)是與擾動(dòng)重力位相關(guān)，NGA提供的EGM2008球諧系數(shù)是重力位球諧系數(shù)而非擾動(dòng)重力位球諧系數(shù)，因此需要將正常重力場(chǎng)從其中扣去后得到所需的擾動(dòng)重力位球諧系數(shù)。令正常重力位球諧系數(shù)中與cosmλ相關(guān)項(xiàng)為使用如下公式(14)將其從EGM2008球諧系數(shù)中扣除，得到擾動(dòng)重力位的球諧系數(shù)

e為橢球的第一離心率，可由扁率f計(jì)算得到：

第三步：讀取計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)及非勒讓德函數(shù)項(xiàng)計(jì)算

重力場(chǎng)擾動(dòng)位球諧模型公式中的θ為地心余緯度，當(dāng)輸入計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)為地心緯度時(shí)可以直接用π/2減去地心緯度后得到地心余緯度θ。而慣性導(dǎo)航、衛(wèi)星導(dǎo)航中一般使用大地緯度，因此需要將大地緯度轉(zhuǎn)換為地心緯度。擾動(dòng)位球諧函數(shù)中的項(xiàng)與完全正常化勒讓德函數(shù)無(wú)關(guān)，可以單獨(dú)計(jì)算。需要注意的是，在計(jì)算時(shí)，NGA的官方程序中給項(xiàng)乘以了系數(shù)乘以此系數(shù)的目的是為了提高完全正常化勒讓德函數(shù)的數(shù)值計(jì)算精度[13]。

第四步：等階次完全正常化勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)計(jì)算

第五步：非等階次完全正常化締合勒讓德多項(xiàng)式及其導(dǎo)數(shù)計(jì)算

第六步：水平重力擾動(dòng)計(jì)算將第二步得到的球諧系數(shù)，第三步得到的計(jì)算點(diǎn)地心余緯度、非勒讓德函數(shù)項(xiàng)，第四、五步得到的完全正常化勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入公式(4)(5)得到計(jì)算點(diǎn)處的水平重力擾動(dòng)。

3 與NGA提供垂線偏差網(wǎng)格數(shù)據(jù)比較

將水平重力擾動(dòng)計(jì)算結(jié)果與 NGA官方提供的全球垂線偏差網(wǎng)格數(shù)據(jù)比較，以驗(yàn)證所述算法計(jì)算結(jié)果的正確性。NGA官方提供了全球分辨率為2.5′2.5′× 的垂線偏差網(wǎng)格數(shù)據(jù)，需要注意的是，該網(wǎng)格數(shù)據(jù)是橢球面上的垂線偏差網(wǎng)格數(shù)據(jù)，將其乘以正常重力γ后即可得到水平重力擾動(dòng)，正常重力計(jì)算公式參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]，水平重力擾動(dòng)與垂線偏差關(guān)系為

取 NGA 提供的網(wǎng)格數(shù)據(jù)中范圍為 10°N～11°N（大地緯度），110°E～112°E 的網(wǎng)格垂線偏差數(shù)據(jù)，利用公式(12)(13)將其轉(zhuǎn)換為水平重力擾動(dòng)。獲取其坐標(biāo)后使用所述方法計(jì)算水平重力擾動(dòng)，兩者差異如表 2、圖 3～4所示，存在差異的主要原因在于NGA給出的網(wǎng)格數(shù)據(jù)是該網(wǎng)格區(qū)域的平均值，而使用球諧模型計(jì)算的水平重力擾動(dòng)是計(jì)算點(diǎn)處的單點(diǎn)值，因此存在微小差別。

表2 水平重力擾動(dòng)計(jì)算結(jié)果差異統(tǒng)計(jì)Tab.2 Differences between grid datum and computation

圖3 水平重力擾動(dòng)南北向分量差異Fig.3 Differences of north-south component

圖4 水平重力擾動(dòng)?xùn)|西向分量差異圖Fig.4 Differences of east-west component

4 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

計(jì)算水平重力擾動(dòng)的目的是提高慣性導(dǎo)航精度，使用航空及車(chē)載試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)所述水平重力擾動(dòng)計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證。車(chē)載數(shù)據(jù)為湖南某地90型激光捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)車(chē)載試驗(yàn)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)車(chē)向西北方向行駛，時(shí)間約4 h；航空數(shù)據(jù)為山東某沿海地區(qū)的90型激光捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)，載機(jī)沿東西向往返飛行，時(shí)間約4 h。根據(jù)采樣率為2 Hz的差分GPS給出的大地緯度、經(jīng)度及高度，以所述算法計(jì)算載體出發(fā)點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)路徑上的水平重力擾動(dòng)，如圖5～6所示。兩次試驗(yàn)路徑上的水平重力擾動(dòng)統(tǒng)計(jì)信息見(jiàn)表3所示。

圖5 飛行試驗(yàn)路徑上的水平重力擾動(dòng)Fig.5 Gravity disturbance on the airborne trajectory

圖6 車(chē)載試驗(yàn)路徑上的水平重力擾動(dòng)Fig.6 Gravity disturbance on the terrestrial trajectory

表3 飛行、車(chē)載試驗(yàn) 水平重力擾動(dòng)統(tǒng)計(jì)值Tab.3 Statistical value of gravity disturbance

由水平重力擾動(dòng)計(jì)算結(jié)果及正常重力構(gòu)成重力矢量用于慣性導(dǎo)航，以差分GPS定位結(jié)果作為位置基準(zhǔn)，得到未補(bǔ)償及補(bǔ)償后的慣性導(dǎo)航位置誤差，用未補(bǔ)償情況的位置誤差減去補(bǔ)償后的位置誤差，如圖7～8所示。

文獻(xiàn)[4]中定量分析了在4 h慣性導(dǎo)航條件下，在一般區(qū)域及異常較大區(qū)域，水平重力擾動(dòng)對(duì)慣性導(dǎo)航精度的影響，飛行及車(chē)載試驗(yàn)的慣性導(dǎo)航時(shí)間也恰好是4 h，因此文獻(xiàn)[4]中的仿真分析結(jié)論對(duì)此處的實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果分析有較大參考意義。將表3統(tǒng)計(jì)結(jié)果與文獻(xiàn)[4]進(jìn)行比較，飛行及車(chē)載試驗(yàn)區(qū)域應(yīng)屬于文獻(xiàn)[4]所定義的水平重力擾動(dòng)一般區(qū)域，在水平重力擾動(dòng)一般區(qū)域，水平重力擾動(dòng)造成的慣性導(dǎo)航位置誤差在百米量級(jí)。如圖6～7所示，4 h飛行及車(chē)載試驗(yàn)中，在使用計(jì)算的水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)對(duì)慣性導(dǎo)航進(jìn)行補(bǔ)償后，慣性導(dǎo)航定位精度最大提高120 m及110 m，與文獻(xiàn)[4]中的仿真分析結(jié)論一致。為進(jìn)一步驗(yàn)證長(zhǎng)航時(shí)情況下水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)對(duì)慣性導(dǎo)航精度的提升效果，使用南海某海域24 h船載激光捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，使用GPS精密單點(diǎn)定位結(jié)果作為位置基準(zhǔn)，使用位置基準(zhǔn)信息及所述方法計(jì)算航路上的水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)，如圖9、表4所示。

圖7 飛行試驗(yàn) 補(bǔ)償前后定位誤差比較Fig.7 Position error comparison of airborne test

圖8 車(chē)載試驗(yàn) 補(bǔ)償前后定位誤差比較Fig.8 Position error comparison of terrestrial test

圖9 船載試驗(yàn)路徑上的水平重力擾動(dòng)Fig.9 Gravity disturbance on the shipborne trajectory

表4 船載試驗(yàn)中水平重力擾動(dòng)統(tǒng)計(jì)值Tab.4 Statistical value of gravity disturbance

圖10 船載試驗(yàn) 北向誤差對(duì)比Fig.10 Latitude error comparison of shipborne test

圖11 船載試驗(yàn) 東向誤差對(duì)比Fig.11 Longitude error comparison of shipborne test

使用水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)構(gòu)建重力矢量用于慣性導(dǎo)航，將補(bǔ)償后位置誤差與未補(bǔ)償時(shí)的位置誤差對(duì)比，緯度誤差、經(jīng)度誤差及位置誤差對(duì)比如圖10～12所示。由誤差對(duì)比圖可以看出，在使用了水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)補(bǔ)償后，慣性導(dǎo)航精度高于使用正常重力模型情況，因此認(rèn)為所計(jì)算的水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)可用于提高長(zhǎng)航時(shí)慣性導(dǎo)航精度。對(duì)比表3、表4可以看到，相比于航空、車(chē)載試驗(yàn)區(qū)域，船載試驗(yàn)區(qū)域的水平重力擾動(dòng)變化更大，因此使用水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)補(bǔ)償后，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)精度提升更加明顯。

為定量評(píng)估垂線偏差數(shù)據(jù)對(duì)長(zhǎng)航時(shí)船載慣性導(dǎo)航系統(tǒng)精度補(bǔ)償效果，將圖12中補(bǔ)償前后在時(shí)間上對(duì)應(yīng)的最大位置誤差相減作為評(píng)估的依據(jù)，慣性導(dǎo)航精度最大提升1.5 n mile，平均提升0.8 n mile。

圖12 船載試驗(yàn)位置誤差對(duì)比Fig.12 Position error comparison of shipborne test

5 結(jié) 論

為解決高精度慣性導(dǎo)航對(duì)水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)需求，闡明了使用 EGM2008重力場(chǎng)球諧模型計(jì)算水平重力擾動(dòng)的方法，水平重力擾動(dòng)計(jì)算結(jié)果與 NGA官方提供的網(wǎng)格數(shù)據(jù)基本一致。

將水平重力擾動(dòng)計(jì)算結(jié)果用于航空、車(chē)載及船載激光捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)數(shù)據(jù)離線處理，計(jì)算結(jié)果表明，使用所述的水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)計(jì)算方法得到的水平重力擾動(dòng)數(shù)據(jù)可用于提升慣性導(dǎo)航精度。

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[20]Dai D, Wang X, Zhan D, et al.Dynamic measurement of high-frequency deflections of the vertical based on the observation of INS/GNSS integration attitude error[J].J.Appl.Geophys, 2015, 119: 89-98.

[21]Zhu J, Zhou Z B, Li Y, et al.Further development of the attitude difference method for estimating deflections of the vertical in real time[J].Measurement Science and Technology, 2016, 27: 075004.

Gravity disturbance calculation method based on Earth Gravitational Model 2008

TIE Jun-bo1, WU Mei-ping1, CAI Shao-kun1, ZHANG Kai-dong1, LIAN Jun-xiang1
(College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology,Changsha 410073, China)

Vertical deflection can be used to improve the performance of inertial navigation system.The calculation method of vertical deflection based on harmonic model is described.EGM2008 is used to calculate vertical deflection.Comparison between the calculation result and 2.5′ 2.5′× DOV grid data from NGA verifies the validity of the described calculation method.Through the airborne and terrestrial strapdown inertial navigation calculation, it is shown that the gravity disturbance from EGM2008 can be used to improve the position accuracy of inertial navigation system, and the maximum and average location accuracies of inertial navigation system are increased by 1.5 n mile and 0.8 n mile, respectively, in the longtime shipborne test.

inertial navigation; gravity disturbance; gravity harmonics model; compensation for vertical deflection

U666.1

A

1005-6734(2017)05-0624-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.05.012

2017-05-27；

2017-09-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61603401）；國(guó)土資源部航空地球物理與遙感地質(zhì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 青年創(chuàng)新基金課題（2016YFL06）

鐵俊波（1989—），男，博士研究生，從事慣性導(dǎo)航系統(tǒng)研究。E-mail: tiejunbo11@nudt.edu.cn

聯(lián) 系 人：吳美平（1970—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: meipingwu@263.net