淺談培養學生運用數學知識和方法解決物理問題的能力

楊明軍

摘 要：應用數學知識和方法解答物理問題是非常重要的手段，借助物理知識滲透考查數學能力是歷年來高考命題的主題，培養學生運用數學知識和方法提高解決物理問題的能力也是高中物理教學尤其是高三復習備考工作的重中之重。結合常用的數學知識和方法在全國高考物理試題中的體現，談談如何在教學實踐中培養學生運用數學知識和方法提高解決物理問題的能力。

關鍵詞：數學知識和方法；物理問題；教學實踐

一、對高考能力要求的理解

在全國高考考試說明中，對應用數學處理物理問題的能力闡述是：“能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論；必要時能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析。”根據對考試說明的理解，應用數學的能力可分以下三個層次：

第一，將“物理”問題轉變成“數學”問題的能力。學生根據題設條件與過程，結合物理概念和規律，用數學知識把具體物理量間的關系列為方程形式，并進行推導和求解。

第二，將“數學”問題回歸到“物理”問題的能力。學生用數學知識推出了物理量間的定量關系，但仍無法完整準確地得出物理結論，還需要根據一定的數學知識通過一定的數學處理，才能徹底明了所要研究的物理問題。

第三，應用幾何圖形、函數圖象表達和分析物理問題的能力。在用數學知識推導和求解得出物理結果后，有時往往還需要用圖形或函數圖象來描述和表達這個結果，反之根據圖形或圖象我們也可以定性或定量來研究物理量間的關系或物理過程的發展規律和趨勢，因此應用幾何圖形、函數圖象表達和分析物理問題的能力是物理教學必不可少的一部分，是高考能力考查的重要方面。

二、常用的數學知識和方法在物理試題中的體現

高考全國卷物理試題不僅僅考查對物理知識的掌握程度，從近年試題分析來看，也越來越重視對考生能力的考核。我們可以看到在高考選擇題、實驗題、計算論述題中都有注重考核應用數學處理物理問題的能力的試題。這就要求學生要適應全國卷物理試題的考查特點，在解決物理問題時能靈活地運用相關知識，從不同的角度或用不同的方法來處理，尤其要重視數學思想與方法的滲透和應用。

常見的數學思想有數形結合思想、方程函數思想、分類討論思想、化歸轉化思想，由以上思想衍生出常見的數學方法有圖像求解法、幾何圖形法、三角函數法、指數對數法、數學比例法、數列極限法、空間向量的坐標運算法、導數微元法、排列組合二項式定理法，都可以成為解答高考物理試題中的數學工具。

在廣東省考生失分相對較多的實驗能力考核中，要求考生有記錄、處理實驗數據的能力。全國卷高考設計性實驗和驗證性實驗試題中有具體數據，有時要在直角坐標系畫圖，經分析能得出結論，這個過程需要考生有數形結合思想、數學運算能力。

例一：如圖甲所示，一薄木板放在正方形水平桌面上，木板的兩端與桌面的兩端對齊，一小木塊放在木板的正中間。木塊和木板的質量均為m，木塊與木板之間、木板與桌面之間的動摩擦因數都為μ。現突然以一水平外力F將薄木板抽出，要使小木塊不從桌面上掉下，則水平外力F至少應為________。（假設木板抽動過程中始終保持水平，且在豎直方向上的壓力全部作用在水平桌面上）

解法一（方程函數思想）：F越大，木塊與木板分離時的速度、位移越小，木塊越不可能從桌面滑下。設拉力為F0時，木塊恰好能滑至桌面的邊緣，再設木塊與木板分離的時刻為t1，在0～t1時間內有：

■·■·t12-■ μ gt12=■

對t1時間后木塊滑行的過程，有：

■=■=■-■ μ gt12解得：F0=6 μ mg.

解法二（數形結合思想）：F越大，木塊與木板分離時的速度、位移越小，木塊越不可能從桌面滑出。若木塊不從桌面滑出，則其v-t圖象如圖乙中OBC所示，其中OB的斜率為μ g，BC的斜率為-μg，t1=t2

有：S△OBC=■· μ gt12×2≤■

設拉力為F時，木板的v-t圖象為圖乙中的直線OA，則S△OAB=■

即■（v2-v1）·t1=■

其中v1= μ gt1，v2=■·t1解得：F≥6 μ mg

三、提高學生運用數學處理物理問題能力的教學實踐

1.在高一、高二的概念、規律教學中滲透數學知識與方法，提高學生在建立概念、推導規律中應用數學知識的能力，領會數學與物理的緊密聯系。如：在速度、加速度、電場強度、電容等概念建立過程都用到了比值定義的方法，平均速度的概念用到極限的思想；勻變速直線運動由基本公式可推導出多個結論，牛頓定律推導得出動能定理，動能定理推導得出機械能守恒定律與功能關系，歷史上牛頓的萬有引力定律就是在開普勒定律基礎上用數學推導得來的；勻變速直線運動位移公式的推導用到了函數圖象與微元法，向心加速度公式推導用到了向量求解、微元法、平面幾何知識等。

2.在習題教學中滲透數學思想與方法，在習題練習后幫助學生總結一些典型物理問題中所需的數學知識與處理方法，如，平衡問題通常需要用到三角函數知識；帶電粒子在磁場中運動通常用到平面幾何知識（定圓心、半徑、圓心、軌跡）；平拋或類平拋通常分解到兩方向然后聯立方程求解；在相同或相似的物理過程、物理模型中來比較某個量往往用到求比例的思想、數學求極值的思想等等。

3.在實驗教學中滲透數學思想與方法，培養學生在實驗的基礎上，運用數學方法分析實驗數據、得出物理結論的能力，特別是作圖能力、函數圖象處理數據的能力及分析實驗結論的能力。如，胡克定律在探究彈簧伸長與彈力的實驗基礎上通過作F—ΔX圖象得到；通過實驗數據描繪出小燈泡的U—I圖象來定性得出金屬電阻率與溫度的關系；牛頓第二定律中研究a與m關系時，先通過實驗獲得實驗數據，再描a—m圖象，非線性不能得出定量關系，猜測成反比，再作a—1/m圖象，線性，得出定量關系，等等。函數思想和函數圖象是高考重點考查的數學能力，只有在平時重視培養才能在高考中做到游刃有余。

4.在高考復習中進行相應數學知識解決物理問題的專題訓練，是提高學生應用數學知識解決物理問題能力的有效方式。專題訓練不必面面俱到，要有重點有計劃，不必大量訓練，關鍵要典型、有針對性，不要為了練而練，而要引導學生總結歸納，切實有效地提高自身的能力。筆者所任教班級一般每年都設計“方程組求解”專題、“求極值”專題、“函數圖象”專題，然后幫助學生總結相應的方法。

5.在學生的作業中挖掘一些典型的錯誤，教師與學生一起互動討論，找出誤區，總結注意點，明確正確做法，往往會起到事半功倍的作用。

在物理教學過程中，老師要有意識地培養學生運用數學知識和方法解決物理問題的能力，決不能等到高三復習備考再進行強調和重視，在基礎年級階段的概念、規律、習題和實驗教學中滲透數學知識與方法，提高學生在建立概念、推導規律中應用數學知識的能力，領會數學與物理的緊密聯系，在接下來的高三復習備考中順勢而為，強化用相應數學知識解決物理問題的專題訓練，做好分析、討論、反饋、評價和提升等教學環節。這樣，學生運用數學知識和方法解決物理問題的能力才能得到實質提高。

參考文獻：

[1]楊春發.數學思想在高中物理解題中的應用[J].數理化學習（高中版），2015（1）.

[2]趙文萍.培養高中生運用數學知識解決物理問題能力的實踐[D].內蒙古師范大學，2013.

編輯 郭小琴endprint