復(fù)數(shù)高考考點解讀

王璐??

摘要：通過梳理2016年全國各省對復(fù)數(shù)的考查內(nèi)容，結(jié)合考試大綱，對考點內(nèi)容進行知識點深挖.由于高考中復(fù)數(shù)考題的難度非常低，是考生最易得分的題目，所以復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)的方向應(yīng)為重視基礎(chǔ)，不作過多補充和延伸，盡量避免繁瑣的計算和技巧的訓(xùn)練.

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；高考題；知識點深挖

一、 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1. 定義

例1（2016年江蘇卷）復(fù)數(shù)z=（1+2i）（3-i），其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是.

解：復(fù)數(shù)z=（1+2i）（3-i）=5+5i，則復(fù)數(shù)z的實部是5.

知識點深挖：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做實部，b叫做虛部，i為虛數(shù)單位.在這里應(yīng)注意b稱為虛部而不是虛部系數(shù).由實部和虛部是否為零，又進一步對復(fù)數(shù)進行了分類：1. b=0a+bi為實數(shù)；2. b≠0a+bi為虛數(shù)；3. a=0且b≠0a+bi為純虛數(shù).由此可以看出實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集.

2. 復(fù)數(shù)相等的充要條件

例2（2016年天津卷）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位.若（1+i）（1-bi）=a，則ab的值為.

解：由（1+i）（1-bi）=（1+b）+（1-b）i=a且a，b∈R，可知1-b=0，則b=1.又a=1+b=1+1=2.則ab=21=2.

知識點深挖：兩個復(fù)數(shù)a+bi，c+di相等的充要條件實際上就是兩個復(fù)數(shù)相等的定義.即a+bi=c+dia=c且b=d（a，b，c，d∈R）.還應(yīng)強調(diào)，這里不僅給出了判斷兩個復(fù)數(shù)是否相等的依據(jù)，同時給出了求復(fù)數(shù)值的依據(jù).利用復(fù)數(shù)相等的條件：實部與實部相等，虛部與虛部相等，可得到關(guān)于實數(shù)的方程或方程組，通過解方程或方程組得到a，b的值.需要特殊說明的是，通常情況下兩個復(fù)數(shù)只能探討是否相等，而不能比較大小.當(dāng)然，如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，可以比較大小，如果不是，則不能比較.其原因是無論怎樣定義兩個復(fù)數(shù)之間的一個關(guān)系，都不能使這種關(guān)系同時滿足實數(shù)大小關(guān)系的以下四條性質(zhì)：

①對于任意實數(shù)a，b，a

②如果a

③如果a

④如果a

3. 共軛復(fù)數(shù)

例3（2016年山東卷）若復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3-2i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）

A. 1+2i

B. 1-2i

C. -1+2iD. -1-2i

解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則z=a-bi.

則2z+z=2（a+bi）+（a-bi）=3a+bi=3-2i.

可知3a=3b=-2，解得a=1b=-2，則z=1-2i.故選B.

知識點深挖：a+bi與c+di共軛a=c，b=-d（a，b，c，d∈R）.從代數(shù)形式上看為實部相等，虛部互為相反數(shù)；從幾何意義上看，互為共軛的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面關(guān)于x軸對稱.關(guān)于共軛復(fù)數(shù)運算的幾個重要結(jié)論：①|(zhì)z|=|z|，即|a+bi|=|a-bi|；②z+z=2a；③z-z=2bi；④zz=|z|2=|z|2=a2+b2.

4. 復(fù)數(shù)的模

例4（2016年全國Ⅰ卷）設(shè)（1+i）x=1+yi，其中x，y是實數(shù)，則|x+yi|=（）

A. 1B. 2

C. 3D. 2

解：由（1+i）x=x+xi=1+yi，可知x=y=1.則|x+yi|=|1+i|=12+12=2.

知識點深挖：復(fù)數(shù)z=a+bi的模為向量OZ的模，用|a+bi|或|z|來表示，運算法則為|z|=|a+bi|=a2+b2（a，b∈R）.其幾何意義為復(fù)平面上一點（a，b）到原點的距離.關(guān)于復(fù)數(shù)的模的重要結(jié)論：①|(zhì)z1z2|=|z1|·|z2|；②||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

二、 復(fù)數(shù)的幾何意義

例5（2016年全國Ⅱ卷）已知z=（m+3）+（m-1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A. （-3，1）

B. （-1，3）

C. （1，+

SymboleB@ ）

D. （-

SymboleB@ ，-3）

解：由z=（m+3）+（m-1）i可知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（m+3，m-1）.由題意，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則有m+3>0m-1<0，解得-3

知識點深挖：復(fù)數(shù)的幾何意義為：復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z（a，b）及平面向量OZ=（a，b）（a，b∈R）是一一對應(yīng)關(guān)系.值得注意的幾個問題：1. 引入復(fù)平面時不過多強調(diào)復(fù)平面與普通坐標(biāo)平面的區(qū)別.只需說明x軸為實軸，y軸為虛軸.實軸上的點為實數(shù)，虛軸上除原點外都表示虛數(shù)；2. 復(fù)數(shù)z=a+bi用復(fù)平面內(nèi)的點Z（a，b）表示，而不是（a，bi）.說明復(fù)平面的縱坐標(biāo)軸上的單位長度是1，而不是i；3. 復(fù)數(shù)的運算、性質(zhì)以及應(yīng)用可在復(fù)平面內(nèi)借助向量方法來研究.

三、 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算

例6（2016年全國Ⅲ卷）若z=1+2i，則4izz-1=（）

A. 1B. -1

C. iD. -i

解：由z=1+2i可知，4izz-1=4i（1+2i）（1-2i）-1=4i-4i2=i，故選C.

知識點深挖：運算法則：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R.

（1） z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i.在復(fù)數(shù)加法法則中需要注意1. 當(dāng)b=0，d=0時，復(fù)數(shù)加法法則與實數(shù)加法法則一致；2. 實數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍然成立.

（2） z1·z2=（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i.在復(fù)數(shù)乘法法則中需要注意1. 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則是直接規(guī)定的，可按照多項式相乘類似的辦法進行運算，不必強化記憶公式；2. 復(fù)數(shù)的乘法運算滿足交換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律.

（3） z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i（c+di≠0）.在進行復(fù)數(shù)的除法運算時，如果每次都按做乘法的逆運算求商，過程十分麻煩.可類比根式除法，將分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母“實數(shù)化”進而簡便計算.