橢圓中與焦半徑相關(guān)的最值問題探究

汪之廣

摘要：文章通過探討與橢圓焦半徑相關(guān)的一類最值問題，旨在幫助學(xué)生歸納整理出解決此類問題的方法和途徑，從而培養(yǎng)學(xué)生在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中養(yǎng)成學(xué)會轉(zhuǎn)化、歸納、概括、聯(lián)想的思維能力。

關(guān)鍵詞：橢圓；焦半徑；最大值；最小值

引言

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點，更是一個難點。筆者在高三一輪復(fù)習(xí)的過程中，講授橢圓這一節(jié)時，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)感覺到這一節(jié)有很多性質(zhì)和結(jié)論，也做了大量習(xí)題，但還是覺得知識不夠用。實際上，橢圓這一節(jié)中離不開兩個核心問題：橢圓的定義（第一定義）和橢圓的標準方程，一個是從“形”上來刻畫橢圓，另一個則是從“數(shù)”上來認識橢圓。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”本文試圖通過在解決橢圓的焦半徑的最值問題的基礎(chǔ)上，緊緊抓住橢圓的第一定義和標準方程，探究與之密切相關(guān)的一類最值問題，目的是幫助學(xué)生歸納整理出這一類問題，從而培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中養(yǎng)成學(xué)會轉(zhuǎn)化、歸納、概括、聯(lián)想的思維能力。

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞形象的指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，他們都成堆的生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個。”如在研究圓錐曲線的性質(zhì)時，以某個性質(zhì)為“生長點”，我們就可以得到很多類似的結(jié)論。如果學(xué)生能夠把這些結(jié)論理解并加以運用，將會給解題帶來很大幫助。

對于一個給定的橢圓，有兩個核心知識：一是橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a，二是橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），而很多學(xué)生在解題時不是忘記用就是不知道怎么用。下面筆者將以焦點在x軸上的橢圓為例，探究與焦半徑相關(guān)的一類最值問題。

問題1：求焦半徑|PF1|的最值。

分析：橢圓的焦半徑是學(xué)生認識橢圓最基本的一個元素。由于P為橢圓上任意一點，所以可以設(shè)坐標為（x，y），應(yīng)用兩點之間的距離公式表示出|PF1|的長度，再借助于橢圓的標準方程，把求|PF1|的最值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題。也可以由橢圓的參數(shù)方程設(shè)P點坐標為（acosθ，bsinθ），利用三角函數(shù)的有界性來處理。還可以設(shè)∠PF1F2=α，運用余弦定理用角α的余弦以及a，c表示出|PF1|，再利用三角函數(shù)的有界性來處理。上述問題看似簡單，大多數(shù)學(xué)生也都知道這個結(jié)論，但真正問起原因，卻不知道所以然。實際上，其中蘊含了豐富的函數(shù)思想，而函數(shù)的學(xué)習(xí)是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貫穿始終的一條主線。

解法1：設(shè)P點坐標為（x，y），F(xiàn)1（-c，0），則|PF1|=（x+c）2+y2，又y2=b2-b2a2x2，所以|PF1|=（x+c）2+b2-b2a2x2=c2a2x2+2cx+c2+b2=c2a2x2+2cx+a2=（cax+a）2，-a≤x≤a且對稱軸x=-a2c<-a，所以當(dāng)x=a時，|PF1|取得最大值a+c，當(dāng)x=-a時，|PF1|取得最小值a-c。

解法2：設(shè)P（acosθ，bsinθ），則|PF1|=（acosθ+c）2+b2sin2θ=（ccosθ+a）2，因為-1≤cosθ≤1，當(dāng)cosθ=1時，|PF1|取得最大值a+c，當(dāng)cosθ=-1時，|PF1|取得最小值a-c。

解法3：設(shè)∠PF1F2=α，由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+4c2-4|PF1|ccosα，又|PF2|=2a-|PF1|代入得（2a-|PF1|）2=|PF1|2+4c2-4|PF1|ccosα，化簡得|PF1|=a2-c2a-ccosα，又∵0≤α≤π，當(dāng)α=0時，|PF1|取得最大值a+c，當(dāng)α=π時，取得最小值a-c.

問題2：求|PF1||PF2|最值。

分析：如果設(shè)出P點的坐標，再用兩點間的距離公式分別表示出|PF1|和|PF2|，務(wù)必給計算帶來很大麻煩，注意到|PF1|+|PF2|=2a，可以借助基本不等式xy≤（x+y2）2（x，y∈R）求出|PF1||PF2|的最大值，再結(jié)合三角形兩邊之差小于第三邊求出|PF1||PF2|的最小值。

解：因為|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF1||PF2|≤（|PF1|+|PF2|2）2=a2，即|PF1||PF2|的最大值為a2，又||PF1|-|PF2||≤2c，|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2≤4c2，

即（|PF1|+|PF2|）2-4|PF1||PF2|≤4c2，

故|PF1||PF2|≥a2-c2=b2，即|PF1||PF2|的最小值為b2。

問題3：求|PF1|2+|PF2|2的最值。

分析：如果借助基本不等式x2+y2≥2xy得到|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1||PF2|，再由問題2的結(jié)論|PF1||PF2|≥a2-c2=b2求出|PF1|2+|PF2|2的最小值為2b2，但實際上取得最小值時需要上述兩個不等式同時取等號，第一個不等式取等號時要求|PF1|=|PF2|，而第二個不等式取等號時要求||PF1|-|PF2||=2c，這是矛盾的。實際上結(jié)合|PF1|+|PF2|=2a和||PF1|-|PF2||≤2c，可以先求出|PF1|或|PF2|的范圍，再把|PF1|2+|PF2|2表示成|PF1|或|PF2|的關(guān)系式來處理。當(dāng)然，也可以設(shè)出P的坐標（x，y），把|PF1|2+|PF2|2表示成x，y的關(guān)系式，再結(jié)合橢圓的標準方程消去y2或者x2來處理。

解法1：由|PF1|+|PF2|=2a||PF1|-|PF2||≤2c，得a-c≤|PF1|≤a+c，

所以|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+（2a-|PF1|）2=2（|PF1|2-2a|PF1|+2a2）=2（|PF1|-a）2+a2，

所以當(dāng)|PF1|=a+c或a-c時，|PF1|2+|PF2|2取得最大值2a2+2c2，當(dāng)|PF1|=a時，|PF1|2+|PF2|2取得最小值2a2。endprint

解法2：設(shè)P點坐標為（x，y），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則|PF1|2+|PF2|2=

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2x2+2y2+2c2=2（x2+b2-b2a2x2+c2）=2（c2a2x2+a2）

因為-a≤x≤a，所以x=±a時，|PF1|2+|PF2|2取最大值2a2+2c2，當(dāng)x=0時，|PF1|2+|PF2|2取最小值2a2。

問題4：當(dāng)點P處于什么位置時∠F1PF2取得最大值。

分析：求∠F1PF2的最大值，由余弦函數(shù)的單調(diào)性知，實際上就是求cos∠F1PF2的最小值，故可以運用余弦定理來求解。

解：顯然∠F1PF2∈[0，π），由余弦函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)cos∠F1PF2取得最小值時∠F1PF2取得最大值。因為

cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-4c22|PF1||PF2|=

（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|-4c22|PF1||PF2|=

4b2-2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|=2b2|PF1||PF2|-1，由問題2知b2≤|PF1||PF2|≤a2，所以當(dāng)|PF1|=|PF2|，即點P位于上（下）頂點時，cos∠F1PF2取最小值，此時∠F1PF2取得最大值。

問題5：求PF1·PF2的最值。

分析：數(shù)量積的運算在高考時常出現(xiàn)，它往往有兩種運算方式：坐標運算和向量模的運算。如果設(shè)出P點的坐標，PF1·PF2的表示式結(jié)構(gòu)很簡單，只要再借助于橢圓的標準方程消去y2或者x2來處理就可以，也可以由數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理來求解。

解法1：設(shè)P點坐標為（x，y），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則PF1·PF2=（x+c，y）·（x-c，y）=x2+y2-c2=x2+b2-b2a2x2-c2=c2a2x2+b2-c2，因為-a≤x≤a

，所以當(dāng)x=±a時，PF1·PF2取得最大值b2，當(dāng)x=0時，PF1·PF2取得最小值b2-c2。

解法2：∵PF1·PF2=|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-4c22，由問題3知2a2≤|PF1|2+|PF2|2≤2a2+2c2，故2a2-4c22≤PF1·PF2≤2a2+2c2-4c22，

即b2-c2≤PF1·PF2≤b2。

以上探究得到的結(jié)論只是橢圓中與焦半徑有關(guān)的一部分，筆者認為：我們在教授學(xué)生知識的同時，更應(yīng)該注重對學(xué)生學(xué)習(xí)能力和習(xí)慣的培養(yǎng)，所謂“教者，乃傳道授業(yè)解惑也”，要讓學(xué)生知道是什么，更要知道為什么。學(xué)生只有在學(xué)習(xí)的過程中不斷質(zhì)疑、反思、歸納、總結(jié)，才會讓自己的學(xué)習(xí)能力和思維得到根本性提高。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書》，北京：人民教育出版社，2005.

[2]花奎：《“師生角色互換”在習(xí)題課講評中的實踐》[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2015（9）：15-17.endprint