基于濾波反投影重建成像及CT系統參數標定

榮亞亞 郭子健 吉 督 趙旭東

(1.華北理工大學經濟學院 河北 唐山 063210;2.華北理工大學理學院 河北 唐山 063000)(3.華北理工大學機械工程學院 河北 唐山 063210;4.華北理工大學建筑工程學院 河北 唐山 063210)

基于濾波反投影重建成像及CT系統參數標定

榮亞亞1郭子健2吉 督3趙旭東4

(1.華北理工大學經濟學院 河北 唐山 063210;2.華北理工大學理學院 河北 唐山 063000)(3.華北理工大學機械工程學院 河北 唐山 063210;4.華北理工大學建筑工程學院 河北 唐山 063210)

CT即計算機斷層成像技術，是對物體進行不同角度的掃描投影重建而獲得物體截面信息的成像技術。本文利用X射線、探測器與標定模板幾何信息對一維CT系統進行研究，通過濾波反投影重建算法對斷層圖像進行處理，實現了濾波反投影圖像重建，給出了一種新型的標定模板。

R－L濾波器;Radon逆變換;反投影圖像重建

針對問題一，首先，解決探測器單元的距離問題:以標定模板的橢圓中心為坐標原點，橢圓圓心和小圓圓心連線所在直線為X軸建立直角坐標系;對探測器接收信息數據矩陣進行分析，建立了小圓實際半徑與小圓投影的探測器接收信息數據矩陣關系，求解得出探測器單元之間距離為0.2808mm，總長為143.4388mm;其次，解決X射線的180個方向問題:建立了基于橢圓方程和歐式距離公式等幾何關系的轉角計算模型，求解出轉角中X射線的初始位置約為－58.6900°;最后，解決CT系統的旋轉中心問題:當X射線分別平行于X軸和Y軸時，對探測器中心，兩圓中心及坐標軸進行幾何分析，確定旋轉中心坐標為 (－9.5356， －6.3180)。

針對問題二，首先，對探測器的接收信息矩陣數據進行分析處理，選取各個方向的投影;其次，用R－L濾波器對數據進行濾波處理，建立Radon逆變化模型，進行反投影圖像重建，對重建的圖像分析，通過坐標系轉換對重建圖像進行調整修復;最后，確定出未知介質在正方形托盤中幾何位置及幾何形狀，對重建圖像矩陣進行像素壓縮，壓縮為256*256的圖像矩陣，建立壓縮后的矩陣與正方形托盤中實際坐標的映射關系，得出正方形托盤上任意位置的吸收率。針對題中所給10個位置，求解出吸收率分別為0.0012，0.5103，－0.0002，0.4912，0.4936，0.4932，0.4952，0.5585， －0.0027， －0.0021。

針對問題三，對未知介質的接收信息矩陣，建立基于問題二的濾波反投影圖像重建模型，采取相同技術處理路線，確定此未知介質在正方形模板的幾何位置，幾何形狀和吸收率信息。計算得出10個位置的吸收率分別為 0.3976，0.4943，0.7050， －0.0424，1.2388，0.5597， －0.0738，1.0336，0.2364，0.2505。

針對問題四，首先，對原始模板的參數標定進行精度分析，結果表明探測器單元間距離誤差為0.0015、CT系統旋轉中心在X，Y軸的坐標誤差為0.4050，0.3077。創新模板采用菱形與圓形組合的模板與矩形模板，對探測器單元距離和旋轉中心參數進行標定，提高了原始模板的參數標定值精度;其次，分別對參數標定的穩定性和系統穩定性進行優化分析，對原始模板存在參數標定時會有波動范圍和吸收率的噪聲點的出現;最后，針對噪聲點給出解決方案:引入反饋調節，對噪聲點數據進行識別處理，選取合適的模板材料。最終，模擬繪制出3種創新組合模板和對應標定模型。

一、問題分析

問題一的分析:確定以及該CT系統使用的X射線的180個方向。首先，由于小圓在探測器上的投影是不變的，根據小圓的直徑與投影的關系計算得出探測器單元之間的距離。CT系統旋轉中心在正方形托盤中的位置的確定轉化成特殊位置求解，垂直于X軸和垂直于Y軸兩個位置。再根據實際距離和探測器單元之間的距離的關系求出旋轉中心的坐標。

問題二的分析:利用問題一得到的標定參數，解決確定未知介質在托盤中的位置，幾何形狀，吸收率和托盤上10個位置點的吸收率。使用濾波反投影圖像重建的方法，采用的技術路線為:(1)取投影 (2)數據濾波處理 (3)坐標系變換 (4)運用Radon逆變換 (5)圖像反投影重建。使用了Matlab等相關工具包進行編碼繪制圖像的幾何形狀，在坐標系中的幾何位置，并計算出180次選擇，各個位置處的吸收率。

問題三的分析:基于問題二，給出未知介質的幾何形狀，幾何位置，吸收率，對問題三的數據進行相同技術手段的處理，對其技術路線和原理不再進行相同闡述，文中給出了對應信息的結果及其結果分析。

二、問題假設

1.忽略X射線的體積和形狀，以質點處理。

2.忽略X射線的衍射，將其視為直線傳播。

3.假設X射線由單一能量 (波長相同)的光子組成。

4.假設忽略探測器所探測到的一次或多次散射光子。

?

其中，λ1為通過小圓測得的探測器單元之間的距離，d為小圓的直徑，n1為小圓所占探測器單元的個數。橢圓與小圓之間的距離為x=26mm，橢圓的長半軸為a=40mm，橢圓的短半軸為b=15mm。

三、模型的建立與求解

(一)問題一模型的建立與求解

CT系統的X射線是平行等距光線，整個發射－接受系統繞一固定中心逆時針方向旋轉180次，在每一個X射線方向，具有512個等距單元探測器。

運用Excel將附件2中的數據進行處理，將大于0的數據單元格與等于0的數據單元格進行不同顏色區分標識，找出數據中的最大值、最小值、近似值。

得出結論1:基于透射原理分析可知，即探測器的接受信息數據最大值位置是X射線穿過橢圓的長軸處。

圖像數據處理:將小圓數據和橢圓的數據非重疊區域，進行分離。

1.探測器單元之間距離問題求解

進行數據預處理，將單元格列寬調整為與行高相同的值，得到512×180個點，不難發現探測器逆時針共旋轉了180°，起始方向由下斜向左上方向。由于正方形托盤上放置兩個均勻固體介質，一個為橢圓，一個為半徑為4mm的圓，由該模板的接收信息可以分析得到小圓的投影在旋轉180次均為直徑，用軟件計算出共有29個接收點，共有28個探測器單元

其中，n2為橢圓邊界與小圓邊界之間最短距離情況下所占的探測器單元個數;n3為橢圓長軸所占的探測器單元個數;n4為橢圓短軸所占的探測器單元個數。求出ni的個數，計算出λi，然后求取平均值珔λ。珔λ即為探測器單元之間的距離。

計算得出各情況下所占的探測器單元個數:

n2=93;n3=288;n4=107

可以求解出各情況下的探測器單元之間的距離:

求取λi的平均值:

將各組數據代入上式得:

珔λ=0.2808mm

(二)問題二模型的建立與求解

1.模型建立

圖1 濾波反投影的具體步驟

(1)濾波反投影算法:

Step1:對某 θ角度下的投影 pθ(t)作一維傅里葉變換，記為 Sθ(w);

Step2:對S0(w)乘以一維傅里葉權重因子ρ;

Step3:對第二步結果作一維傅里葉反變換，記作Qθ(t);

Step4:將0°～180°的所有修正過的投影函數Qθ(t)作為直接反投影計算，得到斷層圖像f(x，y)。

與濾波函數LRL(ρ)相對應的卷積函數lRL(R)為:

R－L濾波函數形式簡單、實用，用它重建圖像清晰。

2.模型求解

CT系統得到某未知介質的接收信息，由問題一的標定參數分析，即解決CT圖像重建問題，問題分支為:

(1)物體在正方形托盤中的幾何位置

(2)物體的幾何形狀

(3)物體的吸收率

幾何位置、幾何形狀的求解。基于問題一的參數標定，建立濾波反投影重建模型，解決問題二中 (1)(2)問題分支，步驟如下:

Step1:加載數據，取投影

原始附件3數據給出了探測器在180個方向上的接收信息。因為在每個方向上，探測器接收的數據，即代表在這個方向上未知介質的投影信息。

Step2:濾波

使用Matlab里的Iradon函數中‘Ram－Lak’濾波器，對數據進行濾波運算處理。

Step3:坐標系變換

原始坐標系是以正方形托盤中心 (即問題一中的橢圓中心)為原點，現以CT系統旋轉中心為原點，需將原始坐標系進行平移變換。

Step4:修正原始數據

填充探測器接收信息數據，為了更正確一條X射線在180個方向的吸收率與投影關系，將180個方向上的512組探測器單元填充至712組，填充數據用0來填充。即在上下分別增加一組100行180列的0矩陣。

Step5:Radon逆變化重建圖像

將修正后的數據，在180個方向上進行Radon變化，同時改變坐標系的單位，其中

分別為X，Y軸的坐標系取值范圍，假設在180個方向上，每次改變相同角度1度，進行反投影重建。并使用Matlab將正方形托盤模擬繪制在坐標系中。

Step6:針對幾何位置和幾何形狀得出結果

從重建后的圖像結合相關資料分析可知，未知介質的圖像的幾何形狀是人類頭部。即CT系統對人頭部的掃描結果。其幾何位置關系對應實際坐標系如圖13所示。

(三)問題三模型求解

針對問題三的要求，提出了基于問題二的模型建立與求解的方法。

結果分析，提取未知介質的幾何位置，幾何形狀，吸收率等相關信息進行定性定量分析:

A.幾何位置:由圖15可知反投影重建后的圖像，分布在正方形托盤上的不均勻位置處，定性的分析，具體位置坐標結果結合附件problem3。

B.幾何形狀:圖形分布較為渙散，是一種分布無規則的網織狀圖形

［1］郭立倩.CT系統標定與有限角度CT重建方法的研究 ［D］.大連理工大學，2016.

［2］吳孟達.數學建模教程 ［M］.高等教育出版社，2011.

［3］駱巖紅.CT圖像重建濾波反投影算法中指數濾波器的研究［J］.計算機科學，2014，41(S1):220－223.［2017－09－17］.

［4］張俊，閆鑌，陸利忠，李磊，張峰.一種錐束CT系統幾何參數標定方法［J］.核電子學與探測技術，2014，34(02):235－238+242.［2017－09－17］.

［5］黃亞，張祥志，祝江威，劉海崗，邰仁忠.CT斷層圖像重建的新濾波函數 ［J］.核電子學與探測技術，2012，32(12):1388－1393.［2017－09－17］.

榮亞亞 (1996.5－)，女，漢族，河北省石家莊市，華北理工大學經濟學院經濟統計學專業;郭子健 (1998.3－)，男，漢族，湖南省冷水江市，華北理工大學理學院，應用統計學專業;吉督(1997.10－)男，漢族，湖南省長沙市瀏陽，華北理工大學機械工程學院，機械設計制造及其自動化;趙旭東 (1996.11－)，男，漢族，河北省石家莊市。華北理工大學建筑工程學院，物流工程專業。