全等三角形中輔助線的添設探討

江蘇省豐縣歡口鎮育英初級中學 張 朋

全等三角形中輔助線的添設探討

江蘇省豐縣歡口鎮育英初級中學 張 朋

全等三角形作為平面幾何圖形中的一種，其知識內容不僅是中考當中的必考知識點，同時也是判斷學生是否良好掌握數學平面幾何知識的依據之一。在全等三角形的解題過程中，通過合理運用輔助線，能夠為全等三角形的解題帶來一定的幫助。為此，本文筆者將針對如何在全等三角形中添加輔助線進行介紹，并對輔助線的不同添設方式進行分析。

一、倍長中線，構造全等三角形

在驗證三角形是否屬于全等時，如果圖形當中有三角形的中線，則可以倍長中線，并延長其與原來的中線，確保長度相等，從而構成全等三角形。如圖1所示，我們已知在△ABC當中，∠ABC=∠ACB，這時延長AC到D，使AB=CD，BE則成為△ABC的中線。這時需求證2BE=BD。

圖1

在分析的過程中我們可以得知，倍長中線的方式可以用來確定其為全等三角形。而為了證明2BE等于BD，則需要確保BE是△ABC的中線，因此延長BE到F，得到BD等于2BE的結果，并將需要證明的2BE等于BD轉化成證明BF等于BD。通過這樣的方式，便可以將線段的倍和半的數量關系進行有效轉化。

證明思路如下：延長BE到F，使其BE=EF，之后連接CF。因為BE=FE，∠AEB=∠CEF，AE=CE，所以△ABE≌△CFE（SAS），所以AB=CF，∠A=∠FCE。又因為AB=CD，所以CF=CD。因為∠BCD=∠ABC+∠A，∠BCF=∠ACB+∠FCE，同時∠ABC=∠ACB，∠A=∠FCE，所以∠BCD=∠BCF，并且BC=BC，所以△BCD≌△BCF(（SAS）。所以BD=BF。因為2BE=BF，所以2BE=BD。

二、截長補短，確保特定線段與之相等，構造全等三角形

截長補短的方式可以有效構造全等三角形。其具體做法是在某一線段上進行截取，并確保截取的線段和特定線段相等，之后利用三角形全等的特點來進行分析。截長補短的驗證方式，較為適合使用在驗證線段的分、倍、差、和的題目當中。截長補短法當中的截長法是通過在長線段當中進行截取，確保截取段與兩條線段當中的一條相等，用以證明另外一條的線段長短。補短法則是通過延長其中一條線段，使其和長線段相等，從而證明延長的部分和另一條短線段相等。

如圖2所示，已知AD∥BC，點E在AB線段上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB，需要求證CD=AD+BC。

圖2

通過分析可以得知，其結論是CD=AD+BC，可以通過使用截長補短法當中的截長法來進行驗證。在CD上截取CF=CB，再對DF=DA進行驗證即可。通過這樣的方法，可以轉化成證明兩條線段相等的問題，更好地對問題進行簡化，幫助學生進行解題。

證明思路如下：首先取CF=CB。在△FCE和△BCE當中，CF=CB，∠FCE=∠BCE，CE=CE，所以△FCE≌△BCE(SAS)，所以∠2=∠1。又因為AD∥BC，所以∠ADC+∠BCD=180°，所以∠DCE+∠CDE=90°。所以∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，所以∠3=∠4。在△FDE和△ADE當中，∠FDE=∠ADE，DE=DE，∠3=∠4，所以△FDE≌△ADE(ASA)。所以DF=DA。又因為CD=DF+CF，所以CD=AD+BC。

三、合理使用角平分線的性質，從而構造全等三角形

在幾何題目當中，如果出現角平分線的條件時，則可以通過在角平分線上任意一點向角兩邊做垂線，從而對三角形進行變化，通過逆定理的方式來進行全等三角形的問題思考。

如圖3所示，△ABC的∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D點，能否在AB上確定一點，使△BDE的周長等于AB的長？

圖3

解題思路為：過D作DE⊥AB，交AB于E點，這時E點可滿足條件。因為∠C=90°，AC=BC，并且DE⊥AB，所以DE=BE。因為AD平分∠CAB，并且CD⊥AC，ED⊥AB，所以CD=DE。由HL可以驗證Rt△ACD≌Rt△AED，所以AC=AE。所以△BDE的周長=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=A C+EB=AE+EB=AB。

四、有高時將高作為對稱軸，對圖形進行對折，從而構造全等三角形

在有高的情況下，通過將高進行對折，可以得到對折虛線，借以進行全等三角形的驗證。如圖4所示，△ABC中，∠C=2∠B，AD為三角形的高。求證AC=BD-CD。

圖4

證明思路為：在線段DB當中取一點E，使DE=DC，之后連接AE，可以證明△ACD≌△AED（SAS），所以AE=AC，∠AED=∠C。又因為∠C=2∠B，并且∠AED=∠B+∠BAE，所以∠B=∠BAE，所以AE=BE，所以BE=AC。又因為BE=BD-DE，所以AC=BDCD。

在上文中我們可以看出，通過添加輔助線的方式，可以使全等三角形的解題思路更加明確，通過添設輔助線，全等三角形的求證更加清晰。而絕大多數全等三角形題目當中，通過添加輔助線都可以使學生更好地對其計算過程和求證方式進行掌握。因此，為了更好地進行全等三角形的學習掌握，應當不斷加強對各類添加輔助線的方式的學習，并在實踐的過程中逐步加強掌握熟練度。

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