發現數學：改造教與學的方式

【摘要】學生數學抽象、推理、模型等核心素養的發展，需要重視其學習過程的展開。倡導數學發現學習，改造教與學的方式，就是要沿著學科知識發生發展的過程來轉變教與學的方法觀，按照學生建構知識的規律來形成新的學習觀，根據知識鑲嵌在情景中的觀點來重塑知識觀。

【關鍵詞】數學發現學習；教與學的方式；展開過程

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）65-0015-03

【作者簡介】陸志洪，江蘇省無錫師范學校附屬小學（江蘇無錫，214001）教師，高級教師，無錫市數學學科帶頭人。

培養學生的數學核心素養，需要讓學生帶著豐富的情感和鮮活的經驗進入數學課堂學習，在強烈的好奇心和求知欲的驅使下，發現并獲得經驗和方法，培養數學思維方式，發展抽象、推理能力和模型思想。怎樣實踐這樣的數學教學呢？我們認為，讓學生在發現中展開數學學習之旅，就是要在數學課堂上引領學生經歷發現數學的過程，包括發現數學規律、發現數學之美、發現數學問題解決的意義、發現自我的成長等。發現數學學習的教與學，不僅使我們對數學教學中的方法觀、學習觀、知識觀有了新的認識，更對學生將來從事科學發現和創意發明具有現實意義。

一、沿著學科知識發生發展的歷程，展開數學發現學習的過程

古今中外數學知識、教學思想的漫長演變過程就是數學家們不停尋找的過程，也就是數學發現的過程。受認知能力及思維水平的限制，對小學生來說，按數學思想方法體系來實施學科知識體系的教與學有一定的困難，但小學數學教材中的每一章節，都體現著知識和思想的有機結合。如果學生追尋大師們發現數學的足跡，沿著數學概念、定理中所蘊含的數學思想的發生、發展、形成的進程來學習數學，不僅可以開啟思路、提高學習效率，還可以使教學、研究、發現同步。

1.數學史引領：找尋古今數學思想的發展脈絡。

美國數學史家莫里斯·克萊因指出：“歷史順序是教學的指南。”倡導發現數學，就是要從數學發展史角度去學習數學知識、設計教學，了解數學思想方法的演變，如數的產生發展歷史、計量單位的產生發展歷史等，又如數學發展史上的幾個關鍵點。以關鍵性問題引領學生去發現歷史中的數學知識、思想方法是怎么來的，經歷了哪幾個發展階段，其中遇到哪些困難，人們是通過什么方法解決的，從而更好地理解數學的本質和數學思維的特點。如在教學蘇教版三下《認識面積》時，教師可以通過以下步驟進行教學：（1）在不能直接比較的情況下，如何比較面積的大小？引出面積單位的必要性。（2）如何使測量出來的面積具有可比性？引出統一面積單位的必要性。（3）如何將面積單位標準化？提示數學有時要通過協商作出規定。（4）如何建立“1平方厘米”的表象？用身邊的實物或身體的一部分表示。（5）如何應用新的面積單位進行測量？引出常用的面積單位認識。以上步驟，遵循了人們認識面積單位的發現歷程，提供了學習其他計量單位的數學活動經驗和研究方法，展現了數學的魅力。

2.數學思想方法感悟：獲得概念認知、問題解決的一般途徑。

數學學習的發生應有個先決條件，就是學生需先掌握原理，教學時要充分展現知識的形成、發展過程。數學思想方法作為數學學科的“一般原理”，可以引領學生去更清晰地學習，這對他們形成數學思維、掌握數學方法的作用是不可低估的。如面積、體積公式的推導，用轉化思想、等積類比思想及猜測驗證方法引導學習過程，就可以靈活發現公式的推導線索，使新知順利地納入學生已有的認知結構中去。又如在問題解決的學習中，把從條件想起、從問題想起、列舉、畫圖、假設、轉化、嘗試驗證、從問題的簡單情形想起等解題策略作為教與學的重要內容，它們在解題上所起的引領作用，是那種“一題一解式”的方法不能替代的。

二、按照兒童建構知識的規律，展開數學發現學習的過程

數學知識學習是一個建構過程，建構不僅是個人的，也是社會的，要注重“學習共同體”的形成以及對課堂社會環境和情境的營造。順應當前教學改革的趨勢，應當從研究教師的教學模式、教學內容切換到研究學生的學習方式上來，用數學思想方法來轉換教與學方法，把研究學生學習的方法作為學與教的方法，推進學生學習方式的變革，從而達成數學課堂教學轉型。

1.做一個研究者：研究學生的認知建構方式。

要把“學生是如何學數學的”這個問題弄清楚，要研究學生的學習認知。應研究學生適應認知困境的方法：分析認知困難產生的原因，理解所產生的影響；嘗試獲得對數學學習的控制感；通過自我提升評價來恢復自信。應研究學生以已有知識和經驗為基礎的主動建構過程。同時，創設良好的學習環境（如場所環境、人文環境、網絡環境等）對學生學習認知也很重要。

2.做一個傾聽者：在學生對話中生成新的觀念。

有真正的數學發現的課堂，應是所有學生輕松自如地參與、自由地交流思考，教師傾聽他們自己的做法、想法。正如美國學者埃莉諾·達克沃斯在《精彩觀念的誕生》一書中指出的，要依據數學本身的發現過程來設計教學過程，要充分給學生提供機會，讓他們主動發現、建構自己的知識，引導兒童精彩觀念的誕生。好的數學學習，教師應認真做一個傾聽者，通過創設情境讓每一個人發現自己的問題，在持續的討論中遵循并發展自己的觀念，讓每個學生都有“精彩觀念誕生”的機會。

3.做一個反思者：引導學生在反思中再發現。

反思，是發現數學學習的一道美麗的風景。學生在傾聽、對話中反思，一邊聽講一邊思考，可以使他們的認知走向全面和深入；對知識形成過程反思，可以加深他們對數學思想方法的理解，使他們更好地發現知識間的聯系，體驗數學的本質；在解題后進行反思，可以使學生更新思考角度，發現新的解題路徑，優化解題方法，加深對數學思想方法的感悟；對一天的數學學習進行反思，可以豐富學生的學習情感，培養其對習慣轉變、目標達成的監控。endprint

三、根據知識鑲嵌在情景中的特點，展開數學發現學習的過程

數學盡管抽象，但抽象的數學必有其現實世界的源頭。教學時，還原數學這一現實背景的“來龍去脈”，和學生的現實生活相連，無疑是對數學本身的一種尊重，也是數學知識得以完整理解和發現的關鍵所在。學生的一切間接經驗均基于生活中的直接經驗，學習內容和學生的生活背景越接近，學生自覺接納的程度就越高。學生要進行發現數學學習，荷蘭數學家弗賴登塔爾為我們提供了思路，即數學應當從學生熟悉的現實生活開始和結束。

1.源于生活：從現實生活中攫取學習素材。

好的生活素材是實現發現數學學習的必要基石。數學的教與學應當從學生的生活及其感興趣的事物出發，通過營造熟悉的情境、寬松的平臺，使他們體會到數學就在身邊。同時，要努力挖掘、利用好學生已有的學習經驗和資源，為他們創造一個發現、探索的思維空間，使他們徜徉在從生活開始的數學化過程中，發展抽象、建模等能力。當前數學教材的素材本身與學生的生活是密切聯系的，教師一方面要利用好原有素材，另一方面要善于開發貼近學生現實的、有發現意義的素材，注意抓住學生心理，既要易于理解，又要具有一定的啟發性。生活實踐是學生獲取數學經驗的載體，數學經驗是學生展開數學發現的基礎。

2.高于生活：引領學生走數學化過程。

生活素材要進行必要的“數學化”才能實現發現數學學習。如教學蘇教版三上《認識幾分之一》時，教師設計了以下環節：（1）故事引入。在古代，人們是通過摘樹上的野果、外出打獵等方式來獲取食物的。這次他們的成果是4條魚、2只兔子和1頭鹿。他們應該怎樣分享呢？現在平均分的結果不滿“1”了怎么辦？諸如這一類的問題，在現代生活中我們也會遇到。（2）初步感知“二分之一”。把一個蛋糕平均分成2份，其中的1份怎樣表示？（3）深入理解“二分之一”。剛才我們研究了一個蛋糕的，你能不能用紙片（正方形、等腰三角形、圓、等腰梯形等形狀的紙片）來做一個呢？你能不能找到1米的呢？（4）認識“幾分之一”。在分數王國里，除了這樣的分數外，還有其他成員。下面的畫面（法國國旗、五角星）讓你聯想到幾分之一？如果把一個圖形、一個物體平均分成7份，每份就是它的幾分之一？為什么？平均分成10份呢？以上的設計，教師從學生的現實生活出發，不斷讓知識經驗和現實問題發生認知沖突，一步步使學生建立起對分數概念的初步認識，即把一個物體、一個圖形、一個計量單位平均分成若干份，其中的一份就是它的幾分之一。

3.用于生活：把數學知識回到生活中深化。

在引導學生經歷了數學化的過程后，還需要有一個運用、體會、解釋、升華的過程，學會用數學的思想去觀察、解決新的數學問題，去觀察、發現、解讀生活現象，從而使學生的思維在現實世界與符號世界間形成一個從具體到抽象再到具體的閉合回路。如在學習蘇教版一下《認識人民幣》后，可以設計去超市購物的“小體驗”，引導學生走進超市、走進生活，學習運用有關人民幣的知識，進行一次購物付款體驗活動；學習蘇教版二下《認識毫米》后，可以設計種蒜頭的“小課題”，通過種蒜頭這個實驗，讓學生觀察蒜葉生長過程中的長度變化，體驗以毫米為單位的物體的實際長度，豐富他們對“毫米”的具體認識；結合自己的學習感受寫“小論文”；結合數學學習進行“小比賽”。形式多樣的數學活動，點燃了學生心靈深處作為一個發現者、研究者、成功者的激情，激發起學生用數學的眼光去看待生活中的問題，促使學生在鮮活生動的生活課程中經歷發現數學的過程，解釋數學現象，豐富數學學習旅程，收獲數學的理性之美與感性之美。endprint