微元法，提升物理解題效率

李興典

摘要：高中物理的題目邏輯性非常強，因此解題時的技巧非常的關鍵。物理的傳統方法就是分析關系，但是為了提高解題效率，在解題時也可以運用數學的方法，比如微元、積分等。本文通過介紹微元方法在解題中的應用，探討提升物理解題效率的途徑。

關鍵詞：微元法；高中物理；人教版

微元這個概念在物理中是比較常見的，但是在高中物理的課本中，很少運用微元的思想去演繹推理，所以在物理解題中學生也很少用到這種方法。運用微元思想實際上是一個能力的拓展，通過極限、微分、積分等一系列微元法，物理解題將更有效率。

一、 精準取元，抓住瞬間

微元法將某些物理量拆分成微元，這其實運用了極限的思想。當我們需要處理某個時刻或者某個位置的物理狀態時，有時候用整個過程不能有效求解，這時候就需要抓住狀態的瞬間，精確取元，求導得解。

以一道例題進行說明。在一個足夠長的豎直墻面上，設置一個點光源S，距離光源d處有一個平面鏡O，鏡子中心與光源在同一水平線上。初始狀態下鏡子平面與墻面平行。當平面鏡以角速度w繞中心勻速轉動時，光源經平面鏡反射的光斑在墻面上會上下移動。經過時間t后，光斑P在墻壁上移動的速度是多少？分析這道題目，我們可以發現，光斑在墻面上的移動情況不是勻速運動，不能用位移與時間的比值直接求得。我們反觀速度的表達式，可以了解到瞬時速度，它實際上是時間取無窮小時的情況，用表達式表示為v=st2-t1（當t2和t1非常接近時的情況），即v=limt2→t1st2-t1。因此，解決這道問題時，我們要抓住瞬間，可以通過導數的形式將過程微分取元，確定速度狀態。經過時間t，光斑在墻面上的位移為s。當時間為t時，反射光線轉過的角度θ1=wt。經分析幾何關系知，SO與OP的夾角θ2=2θ1。在三角形SOP中，可得s=dtanθ2=dtan（2wt）。對上式進行求導，可得光斑P的移動速度。對于求解速度，實際上是求解瞬時速度，瞬時速度的物理意義決定了它可以精準地取用微元，利用導數的方法進行求解。

確定研究過程是解決物理問題的一個步驟，但是在一些題目中，僅僅探究物體變化的過程是不能夠解決問題的。微元法的優勢就在于不依賴于一個確定的研究過程，只靠一個狀態，一個已知的關系式就能進行求導，從而得出結果。

二、 建立模型，確定關系

微元法看似很簡單，其實選取微元的過程并不是簡單的。首先需要建立合適的模型，或者說分析是否需要采取微元法。微元法也代表了求導一類的方法，通過對等式關系的微分、求導進行演變，或許就能確定出解題所需的數量關系。

以教學中一個經典的繩子拉船問題為例進行說明。繩子的物理性質非常特殊，在力學問題中是一個很難處理的物體，在解題中往往進行理想化處理。即便如此，很多學生仍然苦于其中的數量關系難以建立，理解起來比較困難。換一種思路思考，我們可以適當引入幾何關系，通過建立模型、微分求導來確定數量關系。引入一個例題，如圖所示，在高度為h的河岸上，一人用繞過定滑輪O的輕質細繩勻速拉動水面上的一條小船。假設人拉動船的速度大小為v。當繩子OA與水平面的夾角為θ時，此時小船的速度為多少？首先假設一系列的變量，設小船距離岸邊的長度為x，繩子OA的長度為r。根據勾股定理，我們對h、x和r列出等式關系h2+x2=r2。針對上式，對時間求導，2rdrdt=2xdxdt+2hdhdt=2xdxdt+0=2xdxdt。代入已知的數量關系，v=drdt，v船=dxdt，得出v船與v的關系為v船=vrx。再由幾何關系cosθ=xr，最終可得v船=vcosθ。如此一來，建立并分析小船過河的模型之后，本身比較難以分析的題目就迎刃而解了。

微元法只是一種解題的工具，并不是萬能的解題方法，因此好的工具使用起來還依賴于好的分析方法。高中物理是“模型”中的物理，建立一個適宜的模型，就可以很方便地利用微元方法進行解決。

三、 積分求和，簡化計算

微分的目的是為了積分，也就是說僅僅把物理量進行微元化處理是不夠的，將處理好的微元進行積分才是最終目的。高中數學正好進行了積分知識的講解，這些知識在物理習題中應用起來已經足夠了。

以一個例題進行說明。假設在一次足球訓練當中，某時刻有一個運動中的足球，它的初始速度為20m/s，以加速度為2m/s2的加速度進行勻減速直線運動。求解足球在5s后位移是多少。我們可以運用常規的平均速度法進行求解，由于運動過程為勻變速運動，因此可設足球的平均速度為v，初始速度為v0，5s后的速度為v1，加速度為a。由速度與加速度的關系v=at，則，v平均=v0+v0+at2=20+20+2×52=25m/s，那么位移s=v平均t=25×5=125m。將物體的運動過程進行等效轉化，是物理學解決問題的主要手段，也是分析能力的體現。但是在本題中，速度與加速度的關系已知，求解位移，我們運用積分的方法，可以大大簡化計算過程。速度是位移關于時間的函數，因此速度在時間上的積分就是位移。從另一個角度講，微積分用數學公式的形式表達了復雜的變化過程，實現了根源化。本題則是∫5020+2t=20t+t2|50=20×5+5×5=125m/s，與上述解法完全符合。運動學中的計算題變化豐富，在運用積分計算時必須仔細審題，以免盲目套用公式出現錯誤。

積分是一種高階的數學知識，但是在物理習題中的積分主要涉及的是一次、二次函數，它們的積分公式都非常簡單，也就意味著這樣的積分方式可以作為一種快速解題的方法。解決問題的效率是非常關鍵的，所以簡化計算是一種重要的優勢。

微元法也不是某種特定的解題技巧，而是一種物理思想。在物理的研究中，微元思想被廣泛應用，當然它在高中物理解題中也同樣適用。巧妙運用微元法，能夠將復雜的題目簡單化，可以極大地提高解題的效率。endprint